Вы превышаете границы своей компетентности.
Просто не просвещайте других в темах, которыми не владеете или давно забыли. Вас ни разу не просили еще об этом? Тогда я вперед.
Так я и не понял, что же такого я тут наговорил, что превысил некие границы? Терминология в разных книгах может отличаться. Где-то функция
определена для всех
(как пример, в цитируемом учебнике Морозовой, или в книге Лунца и Эсгольца). Где-то определена вне луча, исходящего из нуля. (Это, если требуется, что эта функция была аналитическая в своей области определения). Причём этот луч может смотреть в разные стороны. Например, у Привалова он смотрит вправо.
Но сказать даже про одну ветвь логарифма, что она разрывна на разрезе, как это было выше - это как-то больно. Она там не разрывна. Ее там дальше нет.
И я писал сугубо про функцию
, а не про ветвь логарифма.
Формула Ньютона-Лейбница не очень-то кажется интересной, если первообразная - многозначная функция, так как значения в точках A и B в зависимости от расположения могут не попадать под одну и ту же формулу.
Я чуть поясню. Функцию
можно считать первообразной для функции
в области
. Только такая теория в учебнике Морозовой не рассматривается. А рассматривается первообразная для односвязной области. И для разных односвязных областей, которые содержат эти две точки, первообразные могут отличаться. (Так у нас для области
и верхней части области
первообразная будет иметь вид
. А для нижней части области
она будет иметь вид
. Здесь функция
имеет смысл, как она определена у Морозовой). Что приводит к мысли, что формула Ньютона-Лейбница для односвязной области не очень то и востребована. А если брать область не односвязную, то там эту формулу в таком виде уже не запишешь, поскольку непонятно, что значит разность значений многозначной функции. И требуется учёт пути интегрирования, что сделано в других книгах.