Интегрирование ФКП

[Combat Zone]

мат-ламер в сообщении #1623950 писал(а):

Там требовалось проверить, что функция $F(z)=\ln z$ является аналитической

мат-ламер в сообщении #1623950 писал(а):

Возвращаемся к упражнению 4.1. Наверное напрягло оно меня не просто так. Надо было указать и область определения функции (в параграфе 3.5 об этом ничего).

Напрягло оно вас просто так. Когда просят доказать аналитичность (непрерывность, дифференцируемость), не указывая область определения - просят доказать выполнение этого свойства на области определения.

-- 26.12.2023, 21:29 --

мат-ламер в сообщении #1623967 писал(а):

Я сейчас спать ложусь. Давайте я вам уже завтра отвечу.

Не надо, спасибо. Просто не просвещайте других в темах, которыми не владеете или давно забыли. Вас ни разу не просили еще об этом? Тогда я вперед.

-- 26.12.2023, 21:33 --

Так вот логарифм - аналитическая (многозначная, ну и что) функция на всей области определения, то есть исключая ноль, точку ветвления. Синяя область лежит в области определения полностью. Логарифм там голоморфен и, уж тем более, непрерывен.

[Mikhail_K]

Combat Zone
Часто различают функции $\ln z$ и ${\rm{Ln}}z$.
Вы говорите про функцию ${\rm{Ln}}z$ - она аналитическая, многозначная, непрерывная всюду кроме нуля.
мат-ламер говорит про функцию $\ln z$ - это одна однозначная ветвь логарифма, определённая на комплексной плоскости с разрезом.
См., например, Шабат. Введение в комплексный анализ

[Combat Zone]

Mikhail_K
Конечно, это известные все вещи. Но разрез вдоль положительной полуоси - условность, при желании можно строить листы римановой поверхности с разрезом в любом другом месте, - особенно это логично в тех курсах, в которых главное значение аргумента меняется от $-\pi$ до $\pi$.
Поэтому и по ряду других причин я логарифм предпочитаю воспринимать сразу многозначным, это, как минимум, удобнее.
Но сказать даже про одну ветвь логарифма, что она разрывна на разрезе, как это было выше - это как-то больно. Она там не разрывна. Ее там дальше нет.

-- 26.12.2023, 23:28 --

Давайте по-честному. Пусть кривая $\Gamma_1$ - верхняя полуокружность $r=1$, контур $\Gamma_2$ - нижняя. Точки $A=1, B= -1$.
Вдоль первой кривой
$\int_A^B \dfrac{dz}z=\int_0^{\pi} \dfrac{i e^{i\varphi}}{e^{i\varphi}}d\varphi =i\pi$.
Вдоль второй кривой:
$\int_B^A \dfrac{dz}z=\int_\pi^{2\pi} \dfrac{ie^{i\varphi}}{e^{i\varphi}}d\varphi =i\pi$.
Первый интеграл + второй интеграл не равно нулю. А ТС считает, что равно. Затык у него в этом месте, а не в ветвях логарифмов, которые, конечно, можно вспомнить, но им ни разу не вспоминались.

[мат-ламер]

Mikhail_K в сообщении #1623977 писал(а):

мат-ламер говорит про функцию $\ln z$ - это одна однозначная ветвь логарифма, определённая на комплексной плоскости с разрезом.
См., например, Шабат. Введение в комплексный анализ

Извиняюсь, я говорил про функцию $f(z)=\ln z$ , основываясь на том, что про неё пишут в учебнике Морозовой. В этом учебнике символ $\ln$ впервые появляется в пункте 3.5, но не как функция, а как "значение". Это "значение" можно подсчитать по формуле 3.36 для любого $z\ne 0$ . Далее функция $f(z)=\ln z$ трактуется как функция, заданная для любого $z\ne 0$, и которую для этого $z$ можно вычислить по формуле 3.36. У Шабата в пункте 30.2 функция $f(z)=\ln z$ является неопределённой для действительных $z\le 0$ .

Combat Zone в сообщении #1623969 писал(а):

Напрягло оно вас просто так. Когда просят доказать аналитичность (непрерывность, дифференцируемость), не указывая область определения - просят доказать выполнение этого свойства на области определения.

Просто так или непросто - не мне судить. А напрягло оно меня потому как по Морозовой функция $f(z)=\ln z$ определена всюду в открытой области $z\ne 0$ . Но, уже как я считаю, эта функция не является аналитической (опять же в смысле Морозовой, а не Шабата) в этой области. И она не является аналитической в красной области $D_2$ из первого поста.

Маленькая поправка к предыдущим сообщениям. Я раньше писал, что $f(z)$ не является аналитической в синей области. Исходя из неравенства 1.16 для $\arg z$ у Морозовой всё же в красной.

-- Ср дек 27, 2023 10:42:43 --

мат-ламер в сообщении #1623962 писал(а):

Что говорит о том, что функция $F(z)=\ln z$ разрывна на луче, идущим из нуля вправо вдоль действительной прямой.

Если учесть неравенство 1.16, то на самом деле не вправо, а влево.

[Combat Zone]

Pripyat, извините, вы решили свой вопрос или еще нет?

[Pripyat]

Мне кажется, что да.
Формула Ньютона-Лейбница не очень-то кажется интересной, если первообразная - многозначная функция, так как значения в точках A и B в зависимости от расположения могут не попадать под одну и ту же формулу.
Так если у нас $F(z) = \mathrm{Ln}(z) = \ln(z) + 2\pi ki$, то значения коэффициента k для разных точек может быть не одно и то же. И мои рассуждения в первом сообщении не имеют смысла.

[мат-ламер]

Pripyat в сообщении #1624124 писал(а):

Формула Ньютона-Лейбница не очень-то кажется интересной

В этом я с вами согласен.

Pripyat в сообщении #1624124 писал(а):

если первообразная - многозначная функция,

Откуда вы взяли, что первообразная многозначная функция? По крайней мере, так как это определено в учебнике Морозовой, первообразная, это множество однозначных функций, различающихся на константу.

worm2 в сообщении #1623800 писал(а):

В данном случае функция $F$ — это логарифм.

Я с этим не согласен. В данном случае в области $D_1$ своя первообразная - $F_1$ . А в области $D_2$ своя первообразная $F_2$ .

Pripyat в сообщении #1624124 писал(а):

И мои рассуждения в первом сообщении не имеют смысла.

Они будут иметь смысл, если в пункте 1 вместо функции $F$ иметь в виду функцию $F_1$ , а в пункте 2 иметь в виду функцию $F_2$ . Ну, ещё осталось найти эти функции.

[мат-ламер]

Combat Zone в сообщении #1623966 писал(а):

Вы превышаете границы своей компетентности.

Combat Zone в сообщении #1623969 писал(а):

Просто не просвещайте других в темах, которыми не владеете или давно забыли. Вас ни разу не просили еще об этом? Тогда я вперед.

Так я и не понял, что же такого я тут наговорил, что превысил некие границы? Терминология в разных книгах может отличаться. Где-то функция $f(z)=\ln z$ определена для всех $z\ne 0$ (как пример, в цитируемом учебнике Морозовой, или в книге Лунца и Эсгольца). Где-то определена вне луча, исходящего из нуля. (Это, если требуется, что эта функция была аналитическая в своей области определения). Причём этот луч может смотреть в разные стороны. Например, у Привалова он смотрит вправо.

Combat Zone в сообщении #1623984 писал(а):

Но сказать даже про одну ветвь логарифма, что она разрывна на разрезе, как это было выше - это как-то больно. Она там не разрывна. Ее там дальше нет.

И я писал сугубо про функцию $f(x)=\ln z$ , а не про ветвь логарифма.

Pripyat в сообщении #1624124 писал(а):

Формула Ньютона-Лейбница не очень-то кажется интересной, если первообразная - многозначная функция, так как значения в точках A и B в зависимости от расположения могут не попадать под одну и ту же формулу.

Я чуть поясню. Функцию $F(z)=\operatorname{Ln} z$ можно считать первообразной для функции $f(z)=1/z$ в области $z\ne 0$ . Только такая теория в учебнике Морозовой не рассматривается. А рассматривается первообразная для односвязной области. И для разных односвязных областей, которые содержат эти две точки, первообразные могут отличаться. (Так у нас для области $D_1$ и верхней части области $D_2$ первообразная будет иметь вид $\ln z$ . А для нижней части области $D_2$ она будет иметь вид $\ln + 2\pi i$ . Здесь функция $\ln$ имеет смысл, как она определена у Морозовой). Что приводит к мысли, что формула Ньютона-Лейбница для односвязной области не очень то и востребована. А если брать область не односвязную, то там эту формулу в таком виде уже не запишешь, поскольку непонятно, что значит разность значений многозначной функции. И требуется учёт пути интегрирования, что сделано в других книгах.

[Combat Zone]

мат-ламер
Знаете, мне все равно. Я не хочу время тратить. Так что пусть вы были все это время правы.