Интегрирование ФКП

[Pripyat]

Всем добрый день. Помогите пожалуйста, и не кидайте сразу тапками)) Я запутался.
1. Буду интегрировать $\int\limits_{A}^{B}\frac{1}{z}dz$ в односвязной области D1, в которой функция аналитическая.
Значит, $\int\limits_{A}^{B}\frac{1}{z}dz = F(B) - F(A)$

2. Теперь проинтегрирую $\int\limits_{B}^{A}\frac{1}{z}dz$ в односвязной области D2, в которой функция аналитическая.
Значит, $\int\limits_{B}^{A}\frac{1}{z}dz = F(A) - F(B)$

3. Можно ли записать теперь, что интеграл по замкнутому контуру ABA:
$\oint\frac{1}{z}dz = \int\limits_{A}^{B}\frac{1}{z}dz + \int\limits_{B}^{A}\frac{1}{z}dz =F(B) - F(A) + F(A) - F(B) = 0 $
Это же очевидно ошибка, должно быть $$\oint\frac{1}{z}dz = 2 \pi i$

Собственно говоря, прошу указать ошибку. Я знаю, что область не должна содержать особых точек, что в точке $z = 0$ функция не аналитична. И значит способа "обойти" односвязными областями без таких точек, в которых функция аналитична, как в моём примере, быть не должно.

Возможно, нельзя применять аддитивность, т.е. контурный интеграл разбить на два в разных областях?
Возможно, мои предположения в пунктах 1,2 неверны (но вроде по теоремам, так можно)?
Всем заранее спасибо.

[worm2]

В данном случае функция $F$ — это логарифм.
А логарифм — функция многолистная. $\mathrm{Ln}\ 1$ равно не только 0, но и $2\pi i$, поскольку $e^{2\pi i}=1$.
При переходе по пути от $A$ до $B$ в области $D1$, а в обратном направлении — в области $D2$ первообразная "перескочит" на другой лист.
Это можно образно пояснить, что вы поднимаетесь по винтовой лестнице. Вы сделали полный круг, но при этом оказались не в исходной точке, а этажом выше, как раз на $2\pi i$.
Поэтому сумма интегралов не даст 0.

[Pripyat]

worm2, спасибо большое за ответ. Некоторая ясность появилась!

[мат-ламер]

Pripyat в сообщении #1623786 писал(а):

Значит, $\int\limits_{A}^{B}\frac{1}{z}dz = F(B) - F(A)$

Откуда вы взяли такую формулу? Отнюдь не в каждом учебнике она есть. Хотя я где-то её видел.

[Pripyat]

мат-ламер
У меня есть книги серии "Математика в техническом университет" от МГТУ им. Баумана. Том XX, Морозова, ТФКП.

Если $f(z)$ - аналитическая в некоторой односвязной области, от для любых точек A, B из этой области инеграл вдоль кусочно гладкой кривой, соединяющей эти точки не зависит от пути интегрирования. А зависит только от начальной и конечной точки. И можно записать интеграл в виде:
$\int\limits_{A}^{B}f(z)dz$ или $\int\limits_{z_A}^{z_B}f(z)dz$

[Mikhail_K]

Pripyat
У Вас область $D_1\cup D_2$ неодносвязная. Из-за этого и ошибка.
Области $D_1$ и $D_2$ односвязные, но им соответствуют разные функции $F$ (разные ветви логарифма).
Даже если Вы выберите первообразные так, чтобы они совпадали в одном участке, где $D_1$ пересекает $D_2$, эти первообразные будут различаться в другом участке.
Потому что на всей комплексной плоскости (однозначной) первообразной вообще не существует. Логарифм - многозначная функция.

[мат-ламер]

Pripyat в сообщении #1623904 писал(а):

мат-ламер
У меня есть книги серии "Математика в техническом университет" от МГТУ им. Баумана. Том XX, Морозова, ТФКП.

Если $f(z)$ - аналитическая в некоторой односвязной области, от для любых точек A, B из этой области инеграл вдоль кусочно гладкой кривой, соединяющей эти точки не зависит от пути интегрирования. А зависит только от начальной и конечной точки. И можно записать интеграл в виде:
$\int\limits_{A}^{B}f(z)dz$ или $\int\limits_{z_A}^{z_B}f(z)dz$

Посмотрел. Да, пар. 5.4 - формула Ньютона-Лейбница. Также нашёл эту формулу в пар. 17 учебника Эйдермана. Что-то у меня сильно большие сомнения насчёт корректности такого изложения. Только может читателя сбить с толку.

-- Вт дек 26, 2023 19:34:35 --

Mikhail_K в сообщении #1623908 писал(а):

У Вас область $D_1\cup D_2$ неодносвязная. Из-за этого и ошибка.

Да, но сначала он рассматривает сугубо область $D_1$ . И она односвязна. И тут встаёт вопрос, а верна ли формула

Pripyat в сообщении #1623786 писал(а):

Значит, $\int\limits_{A}^{B}\frac{1}{z}dz = F(B) - F(A)$

конкретно в этой области? Ведь у подынтегральной функции особых точек в этой области нет. Если следовать изложению учебника, то да, верна. Но тогда стоит вопрос, а какой смысл придаётся тут символу разности?

[Combat Zone]

мат-ламер в сообщении #1623925 писал(а):

Только может читателя сбить с толку.

До сих пор никого не сбивала.
Но тут даже не в первообразных дело. Есть кривые $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ в областях $D_1, D_2$ соответственно. Концы и начала общие. ТФКП говорит нам, что в том случае, когда такие кривые гомотопны в односвязной области аналитичности, то интегралы совпадают. (этим пытается пользоваться ТС, а на деле, ссылается на то, что если кривую пройти в двух направлениях - прямом и обратном, то получится ноль).

Pripyat в сообщении #1623786 писал(а):

$\oint\frac{1}{z}dz = \int\limits_{A}^{B}\frac{1}{z}dz + \int\limits_{B}^{A}\frac{1}{z}dz =F(B) - F(A) + F(A) - F(B) = 0 $

Проблема в том, что такой области нет.

мат-ламер
если вас не устраивает изложение (не могу убедиться в корректности, хотя пока ничего криминального в изложенном нет), можете почитать про первообразные тут. Сидоров, Федорюк, Шабунин, Лекции по ТФКП, глава II, параграф 9, п.4. Интеграл и первообразная. Во всех подробностях и с примерами.

[мат-ламер]

Combat Zone в сообщении #1623936 писал(а):

До сих пор никого не сбивала

Очень хорошо! Видимо я вместе с ТС первые, которых изложение сбило с толку. Поясню, что мне не понравилось в цитируемых книгах (в частности у Морозовой, другие пока особо не смотрел). У Морозовой уже напрягло упражнение 4.1 в конце четвёртой главы. Там требовалось проверить, что функция $F(z)=\ln z$ является аналитической. Из дальнейшего изложения как-бы следует, что если $F'(z)=f(z)$ в односвязной области, то функция $F(z)$ является первообразной для функции $f(z)$ . В частности, функция $F(z)=\ln z$ является первообразной для функции $f(z)=1/z$ в любой односвязной области, не содержащей нуль. Отсюда следует справедливость (теорема 5.7, пар. 5.4, формула 5.21)

Pripyat в сообщении #1623786 писал(а):

1. Буду интегрировать $\int\limits_{A}^{B}\frac{1}{z}dz$ в односвязной области D1, в которой функция аналитическая.
Значит, $\int\limits_{A}^{B}\frac{1}{z}dz = F(B) - F(A)$

И также справедливость

Pripyat в сообщении #1623786 писал(а):

2. Теперь проинтегрирую $\int\limits_{B}^{A}\frac{1}{z}dz$ в односвязной области D2, в которой функция аналитическая.
Значит, $\int\limits_{B}^{A}\frac{1}{z}dz = F(A) - F(B)$

Причём везде у нас $F(z)=\ln z$ - одна и та же однозначная функция. Что, понятное дело, приводит к парадоксу.

Возвращаемся к упражнению 4.1. Наверное напрягло оно меня не просто так. Надо было указать и область определения функции (в параграфе 3.5 об этом ничего).

А вообще, лучше для простоты изложения первообразные и формулу Ньютона-Лейбница определять сугубо вдоль конкретного пути.

[Combat Zone]

мат-ламер в сообщении #1623950 писал(а):

одна и та же однозначная функция. Что, понятное дело, приводит к парадоксу.

Никто не сказал, что функция одна и та же. Для каждой области первообразная может быть своя.

[мат-ламер]

Дело в том, что функция $f(z)=\ln z$ не является аналитической в синей области $D_1$ из первого поста. Поэтому она не является первообразной. Если её определить в четвёртом (нижнем) квадранте как $f(z)=\ln z - 2\pi i$, то наверное получим первообразную.

[Combat Zone]

мат-ламер в сообщении #1623959 писал(а):

Дело в том, что функция $f(z)=\ln z$ не является аналитической в синей области $D_1$ из первого поста.

Поясните.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1623950 писал(а):

А вообще, лучше для простоты изложения первообразные и формулу Ньютона-Лейбница определять сугубо вдоль конкретного пути.

Вопрос, конечно, чисто методический. Я так написал, поскольку ни первообразная, ни формула Ньютона-Лейбница не очень-то и востребованы в ТФКП в общем виде. Поэтому можно ограничиться их урезанными версиями.

-- Вт дек 26, 2023 23:19:44 --

Combat Zone в сообщении #1623961 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1623959 писал(а):

Дело в том, что функция $f(z)=\ln z$ не является аналитической в синей области $D_1$ из первого поста.

Поясните.

Дело в том, что при интегрировании функции $f(z)=1/z$ вдоль окружности (единичного радиуса, с центром в нуле, начиная с точки $1$ против часовой стрелки), мы получаем функцию $F(z)=\ln z$ на первом обороте. Но вернувшись в исходную точку, мы получаем довесок $2\pi i$ . Что говорит о том, что функция $F(z)=\ln z$ разрывна на луче, идущим из нуля вправо вдоль действительной прямой.

[Combat Zone]

мат-ламер в сообщении #1623962 писал(а):

Что говорит о том, что функция $F(z)=\ln z$ разрывна на луче, идущим из нуля вправо вдоль действительной прямой.

ничего подобного.
Вы превышаете границы своей компетентности.

[мат-ламер]

Combat Zone в сообщении #1623966 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1623962 писал(а):

Что говорит о том, что функция $F(z)=\ln z$ разрывна на луче, идущим из нуля вправо вдоль действительной прямой.

ничего подобного.
Вы превышаете границы своей компетентности.

Я сейчас спать ложусь. Давайте я вам уже завтра отвечу.