2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение20.12.2023, 13:55 


14/06/22
72
Задание из вступительного экзамена прошлых лет. Сравнить:


$2 \times \log_3(3) \cdot \log_3(5) \cdot \log_3(7) \cdot \ldots \cdot \log_3(79)$ и  $\log_3(4) \cdot \log_3(6) \cdot \log_3(8) \cdot \ldots \cdot \log_3(80)$

-- 20.12.2023, 21:17 --

И еще одна из вступительных экзаменов прошлых лет.

Известно \( a^2 + 4b^2 = 4 \) и \( cd = 4 \). Доказать, что \( (a - d)^2 + (b - c)^2 \geq 1,6 \).

-- 20.12.2023, 21:23 --

Одно из решений . Есть ли другие ?


\begin{align*}
	&(a - d)^2 + (b - c)^2 + \frac{1}{2}(a^2 + 4b^2 - 4) - \frac{2\sqrt{2}}{3}(cd - 4)=\\[8pt]
	=\, &\frac{1}{6}(3a - 2d)^2 + \frac{1}{3}(3b - c)^2 + \frac{1}{3}(d - c\sqrt{2})^2 + \frac{8\sqrt{2}}{3} - 2 \\[8pt]
	\ge\, &\frac{8\sqrt{2}}{3} - 2\\[8pt]
	>\, &\frac{8}{5}
\end{align*}

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение20.12.2023, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
557
so dna
Klein в сообщении #1623120 писал(а):
И еще одна из вступительных экзаменов прошлых лет.

Известно \( a^2 + 4b^2 = 4 \) и \( cd = 4 \). Доказать, что \( (a - d)^2 + (b - c)^2 \geq 1,6 \).

-- 20.12.2023, 21:23 --

Одно из решений . Есть ли другие ?


$5(a-d)^2+5(b-c)^2-8=5(a-d)^2+5(b-c)^2+2(a^2+4b^2) - 4cd=$

$=(a+2b-d)^2 + (2a-b+c-2d)^2 + 2(c-a)^2 + 2(c-2b)^2$

-- 20.12.2023, 22:02 --

Пусть $a,b>0 $ и $ a+\sqrt{ab}+b\leq3.$ Докажите, что $$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab} +ab\geq \frac{7}{2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение21.12.2023, 11:13 


26/08/11
2097
Rak so dna в сообщении #1623191 писал(а):
Пусть $a,b>0 $ и $ a+\sqrt{ab}+b\leq3.$ Докажите, что $$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab} +ab\geq \frac{7}{2}$$

$\begin{cases} a+b \ge 2\sqrt{ab} \\ a+b \le 3-\sqrt{ab} \end{cases} \Longrightarrow \sqrt{ab} \le 1$

$(a+b)^2 \le (3-\sqrt{ab})^2 \Longrightarrow a^2+b^2 \le 9-8\sqrt{ab}+ab$

$ \Longrightarrow  a^2+b^2 \le 2$

$\dfrac{1}{a^2+b^2}+ \dfrac{1}{ab}+\left(\dfrac{1}{ab}+ab\right) \ge \dfrac{1}{2}+1+2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение21.12.2023, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
557
so dna
Shadow нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение21.12.2023, 11:55 


26/08/11
2097
Rak so dna Где конкретно "нет"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение21.12.2023, 13:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
557
so dna
Shadow в сообщении #1623275 писал(а):
$ \Longrightarrow  a^2+b^2 \le 2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение21.12.2023, 14:39 


26/08/11
2097
Мда, тупанул. Конечно максимум $9-8x+x^2, x \in (0;1]$ достигается на концах, но не тот конец проверил:)

Значит надо искать минимум $\dfrac{1}{x^2-8x+9}+\dfrac{2}{x^2}+x^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение21.12.2023, 14:50 


02/07/23
118
Klein в сообщении #1623120 писал(а):
$2 \times \log_3(3) \cdot \log_3(5) \cdot \log_3(7) \cdot \ldots \cdot \log_3(79)$ и $\log_3(4) \cdot \log_3(6) \cdot \log_3(8) \cdot \ldots \cdot \log_3(80)$

Можно узнать из какого именно вступительного экзамена (куда и в каком году) эта задача? У меня большие сомнения в том, что это решаемо школьными методами (без учета матшкол).

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение21.12.2023, 15:03 


14/06/22
72
Leeb в сообщении #1623305 писал(а):
Klein в сообщении #1623120 писал(а):
$2 \times \log_3(3) \cdot \log_3(5) \cdot \log_3(7) \cdot \ldots \cdot \log_3(79)$ и $\log_3(4) \cdot \log_3(6) \cdot \log_3(8) \cdot \ldots \cdot \log_3(80)$

Можно узнать из какого именно вступительного экзамена (куда и в каком году) эта задача? У меня большие сомнения в том, что это решаемо школьными методами (без учета матшкол).

мехмат московского университета (1986г) . Похоже на устную часть экзамена. Некоторые задания опубликованы в 2-3 журналах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение21.12.2023, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Klein в сообщении #1623120 писал(а):
$2 \times \log_3(3) \cdot \log_3(5) \cdot \log_3(7) \cdot \ldots \cdot \log_3(79)$ и $\log_3(4) \cdot \log_3(6) \cdot \log_3(8) \cdot \ldots \cdot \log_3(80)$
Возведём оба выражения в квадрат, знак неравенства не изменится. Так как $\log_3 3 =1$ и $\log_3{81}=4$, выражения можно переписать в виде
$(\log_3 3\log_3 5)...(\log_3 79\log_3 81)$ и $(\log_3 4)^2...(\log_3 80)^2$
Теперь надо воспользоваться неравенством
$\log(a-1)\log(a+1)<(\log a)^2$
(основания логарифма опустил, они тут не важны). Оно доказывается с помощью AM-GM в решении задачи 3.4 в книге:
Седракян, Авоян. Неравенства. Методы доказательства.
$$\sqrt{\log(a-1)\log(a+1)}\leqslant \dfrac{\log(a-1)+\log(a+1)}{2} = \dfrac 1 2\log(a^2-1)<\dfrac 1 2\log(a^2)=\log a$$(при $a>1$; при $a\leqslant 1$ другой метод)

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение21.12.2023, 15:56 


14/06/22
72
svv в сообщении #1623308 писал(а):
Klein в сообщении #1623120 писал(а):
$2 \times \log_3(3) \cdot \log_3(5) \cdot \log_3(7) \cdot \ldots \cdot \log_3(79)$ и $\log_3(4) \cdot \log_3(6) \cdot \log_3(8) \cdot \ldots \cdot \log_3(80)$
Возведём оба выражения в квадрат, знак неравенства не изменится. Так как $\log_3 3 =1$ и $\log_3{81}=4$, выражения можно переписать в виде
$(\log_3 3\log_3 5)...(\log_3 79\log_3 81)$ и $(\log_3 4)^2...(\log_3 80)^2$
Теперь надо воспользоваться неравенством

$\log(a-1)\log(a+1)<(\log a)^2$
(основания логарифма опустил, они тут не важны). Оно доказывается с помощью AM-GM в решении задачи 3.4 в книге:
Седракян, Авоян. Неравенства. Методы доказательства.
$$\sqrt{\log(a-1)\log(a+1)}\leqslant \dfrac{\log(a-1)+\log(a+1)}{2} = \dfrac 1 2\log(a^2-1)<\dfrac 1 2\log(a^2)=\log a$$(при $a>1$; при $a\leqslant 1$ другой метод)

Хорошее решение.

Я приблизительно оценил школьными методами. Решение нестрогое, поэтому вкратце.
Поделив произведение логарифмов нечётных чисел на произведение логарифмов четных чисел. Оценка

$\[ 2 \cdot \prod_{n=2}^{40} \frac{\log(n-\frac{1}{2})}{\log(n)} \]$


$\[ \frac{\log(n-\frac{1}{2})}{\log(n)} \]$ от $n=2$ до $40$.

Первый множитель приблизительно $\( 0.5 \) (n=2)$. Немного больше $\( 0.5 \)$. Каждый последующий множитель в цепочке меньше единицы и приближается к единице. В итоге $\( 2 \cdot k \), \( k < \frac{1}{2} \)$

Следовательно, произведение логарифмов четных чисел больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение21.12.2023, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
557
so dna
svv в сообщении #1623308 писал(а):
при $a\leqslant 1$ другой метод
Заинтриговали...

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение21.12.2023, 16:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Rak so dna, простите, не при $a>1$, а при $a-1>1$, т.е. при $a>2$.
А при $0<a-1\leqslant 1$ просто $\log(a-1)\log(a+1)\leqslant 0$ и $(\log a)^2>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение22.12.2023, 07:03 


14/06/22
72
Shadow в сообщении #1623275 писал(а):
Rak so dna в сообщении #1623191 писал(а):
Пусть $a,b>0 $ и $ a+\sqrt{ab}+b\leq3.$ Докажите, что $$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab} +ab\geq \frac{7}{2}$$

$\begin{cases} a+b \ge 2\sqrt{ab} \\ a+b \le 3-\sqrt{ab} \end{cases} \Longrightarrow \sqrt{ab} \le 1$

$(a+b)^2 \le (3-\sqrt{ab})^2 \Longrightarrow a^2+b^2 \le 9-8\sqrt{ab}+ab$

$ \Longrightarrow  a^2+b^2 \le 2$

$\dfrac{1}{a^2+b^2}+ \dfrac{1}{ab}+\left(\dfrac{1}{ab}+ab\right) \ge \dfrac{1}{2}+1+2$



$\sqrt{ab} \leq 1 \Rightarrow ab \leq 1, \, a, b > 0 \\$

$ab \leq 1$ достигает максимального значения при $a = b$.

$\sqrt{\frac{a^4 + b^4}{2}} \geq \frac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2 \cdot b^2}. \\$

Отсюда следует $2 \geq a^2 + b^2$, $a=b=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение22.12.2023, 08:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
557
so dna
Klein повторяю, это: $2 \geq a^2 + b^2$ неверно. Подставьте $a=\sqrt{3},~b\rightarrow0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 81 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group