и
Возведём оба выражения в квадрат, знак неравенства не изменится. Так как
и
, выражения можно переписать в виде
и
Теперь надо воспользоваться неравенством
(основания логарифма опустил, они тут не важны). Оно доказывается с помощью AM-GM в решении задачи 3.4 в книге:
Седракян, Авоян. Неравенства. Методы доказательства.
(при
; при
другой метод)
Хорошее решение.
Я приблизительно оценил школьными методами. Решение нестрогое, поэтому вкратце.
Поделив произведение логарифмов нечётных чисел на произведение логарифмов четных чисел. Оценка
от
до
.
Первый множитель приблизительно
. Немного больше
. Каждый последующий множитель в цепочке меньше единицы и приближается к единице. В итоге
Следовательно, произведение логарифмов четных чисел больше.