Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом

[matwey]

Добрый день,

Подскажите, как можно было бы продвинуться в аналитическом решении следующей задачи Дирихле на плоскости:

$$\begin{align} \Delta u &= 0 \\ u|_{x = \pm 1} &= 0 \\ u|_{x^2 + y^2 = \rho^2} &= 1 \end{align}$$

Область представляет из себя вертикальную полосу $-1 \le x \le 1$ с вырезанным кругом радиуса $\rho < 1$ и центром в начале координат.

Метод отражений и формула Грина не срабатывают, потому-что пробный источник начинает бесконечно отражаться относительно всех прямых. Конформное отображение и замену переменных тоже не удаётся подобрать.

[mihiv]

Метод разделения переменных?

[matwey]

Если бы не было границы $u|_{x^2+y^2=\rho^2}=1$, то переменные легко бы поделились в любом порядке.
А с этой границей получается, что граничные условия задачи Штурма-Лиувилля для $X(x)$ зависят от того при каком $y$ мы взяли разрез.

[mihiv]

Уравнение можно записать в цилиндрических координатах.

[matwey]

Я всё-равно не понимаю. В полярных координатах граничные условия $\left\,u\right|_{x=\pm 1} = 0$ окажутся на кривой r = \pm \csc \varphi и снова помешают удобно сформулировать задачу Штурма-Лиувилля.

[mihiv]

То есть проблема осталась?
С точки зрения физики - это цилиндрический проводник между проводящими плоскостями, между цилиндром и плоскостями разность потенциалов, поэтому решение должно быть.

[matwey]

В декартовых координатах мешает окружность, в полярных координатах мешают прямые. Может быть где-то есть экзотическая система координат, в которой переменные разделяются, но я до такой не додумался.

[Утундрий]

Кажется, что задача не имеет решения.

[Утундрий]

Нужны подробности? Я просто выписал общее ограниченное решение внешней задачи Дирихле для круга. При заявленных данных на круге, это тупо константа. Что не вяжется с остальными граничными условиями.

[KhAl]

Утундрий, общее ограниченное решение внешней задачи Дирихле для круга предполагает, что решение определено всюду вне круга.

Ну и ограничено, конечно...

Не всюду определённых решений может быть больше.

[Утундрий]

KhAl
У нас область индефинитна. Короче, я не вижу решений.

[KhAl]

Утундрий,

Цитата:

Область представляет из себя вертикальную полосу $-1 \le x \le 1$ с вырезанным кругом радиуса $\rho < 1$ и центром в начале координат.

[Утундрий]

KhAl
И что? Общее решение -сумма произведений целых степеней радиуса на круговые функции соответствующей частоты. Неограниченность области убивает положительные степени, а постоянство на круге убивает всё остальное, кроме константы.

Мораль: задача поставлена криво и решений не имеет.

[svv]

Утундрий, а физическая интерпретация, данная mihiv, Вас не убеждает? Потенциал плоскостей нулевой, потенциал цилиндра единичный. И что, при таких условиях поле в области скажет "вы требуете от меня невозможного"?

[Утундрий]

svv в сообщении #1621135 писал(а):

а физическая интерпретация

Цитата:

Вошь, оно, конечно, что ж?
Вошь, оно неплохо тож!
Но на энтой насекомой
Далеко не уплывешь!

Задача, напоминаю, математическая.