Задача с треугольными числами

[Andrey A]

scwec в сообщении #1620645 писал(а):

$t_X^2-t_Y^2=t_U^2-t_V^2=t_Z^2-t_{Z-1}^2$.

Тройного равенства не встречал. Либо $Z,$ либо $U,V.$ Последнее возможно:

Andrey A в сообщении #1533168 писал(а):

$$t_X^2-t_Y^2=t_Z^2-t_S^2. \eqno (1)$$

Равные суммы не равных последовательностей кубов. Тождество $t_{24}^2-t_6^2=t_{32}^2-t_{29}^2,$ для примера, описывает суммы $7^3+8^3+...+24^3=30^3+31^3+32^3.$

Больше я тут ничего не добавлю кроме Ваших же решений:

scwec в сообщении #1534015 писал(а):

Приведу для него 1-параметрическое решение с натуральным параметром $k$.
$X= 3k(72k^3 + 84k^2 + 26k + 3)$
$Y=(3k + 1)(72k^3 - 12k^2 - 6k - 1)$
$Z=6k(3k + 1)(6k + 1)(12k^2 + 4k + 1)$

Ещё одно
$X = (6k + 1)(36k^3 + 60k^2 + 30k + 5)$
$Y=3(2k + 1)(36k^3 + 12k^2 - 2k - 1)$
$Z=6(2k + 1)(3k + 1)(6k + 1)(6k^2 + 4k + 1)$

Можно привести и ещё пару таких решений.

Красивые полиномы, а Вы еще собирались дослать. Я бы только сделал замену $k \to k/2, k \in \mathbb{Z}.$ Решения целые останутся, но в $4$ раза подробней.

[Andrey A]

Andrey A в сообщении #1620668 писал(а):

замену $k \to k/2, k \in \mathbb{Z}.$

Замену нужно делать $k \to k/6$ и брать $k \not\equiv 2,5 \pmod 6.$ Получаем порядка $1/8$ от общего числа решений, но к сожалению результат этот уже уже известен: by Pagliani in1829 (полиномы отличаются, но решения те же). Интересно бы посмотреть на Вашу "ещё пару таких решений." Других подходов к этой задаче, возможно, и нет.

[scwec]

Задача состояла в том, чтобы найти такое число, куб которого равен сумме последовательных кубов и эта последовательность не единственна.
Мне известно только одно такое число.
Это $2856$
$2856^3=213^3+214^3+...+555^3$
$2856^3=273^3+274^3+...+560^3$
Если будет у кого-то интерес, может найдутся и другие числа.
Из двух представлений, кстати, следует
$213^3+214^3+...+272^3=556^3+557^3+558^3+559^3+560^3$
Два обещанных решения откопал и каковые были на то время, такие и отсылаю.
$X = 3(2m + 1)(36m^3 + 96m^2 + 82m + 23)$,
$Y = (6m + 5)(36m^3 + 48m^2 + 18m + 1)$,
$Z = 6(6m + 5)(3m + 2)(2m + 1)(6m^2 + 8m + 3)$

$X = (3m - 1)(72m^3 + 12m^2 - 6m + 1)$,
$Y = 3m(72m^3 - 84m^2 + 26m - 3)$,
$Z = 6m(6m - 1)(3m - 1)(12m^2 - 4m + 1)$

[Andrey A]

scwec
Я запутался слегка в Ваших полиномах, они возвращают всё те же решения, но вот $t_{365}^2-t_{212}^2=1581^3$ — вроде бы не все. Давайте я выпишу $Z$ невыражаемые этими формулами; при подстановке $k \to k/6$ их порядка половины от известных решений, насчет $1/8$ я погорячился. $Z=20,40,60,70,330,1155,2805,3876,82680,249424,273819,431548,1205750,1306620,...$ и т.д.

[scwec]

Замечу, что при $m=11/6$ из второго решения (с параметром $m$) получаем классику: сумма тысячи последовательных кубов равна кубу. С этой задачи всё и началось в 19 веке.
А из второго решения (с параметром $k$) при $k=5/6$ получаем то самое $Z=2856$ Но для него здесь только одно решение, а второе этими параметрическими решениями, здесь выложенными, не обнаруживается. Оно ищется другим методом.

[scwec]

Те же результаты получаются и при целых значениях параметров.
Из первого решения (с параметром $m$) находятся тысяча последовательных кубов, сумма которых куб, при $m=1$.
Из первого решения (с параметром $k$) находится $Z=2865$ при $k=1$

[Andrey A]

scwec в сообщении #1620925 писал(а):

Те же результаты получаются и при целых значениях параметров.

Это неудивительно: $1=6/6.$ Но плотность результатов может сохраняться только на ограниченном участке. А вот что делать с остальными?

[scwec]

Мне известно решение (да и не мне одному, наверное), объединяющее 4 выложенных параметрических решения, но новых результатов оно не даёт.

[mathpath]

scwec в сообщении #1620724 писал(а):

Задача состояла в том, чтобы найти такое число, куб которого равен сумме последовательных кубов и эта последовательность не единственна.
Мне известно только одно такое число.
Это $2856$
$2856^3=213^3+214^3+...+555^3$
$2856^3=273^3+274^3+...+560^3$
Если будет у кого-то интерес, может найдутся и другие числа.

В диапазоне до 200000 таких кубов больше нет
Для квадратов:
$143$
$143^2=38^2+39^2+...+48^2$
$143^2=7^2+8^2+...+39^2$

$2849$
$2849^2=854^2+855^2+...+864^2$
$2849^2=294^2+295^2+...+367^2$

[mathpath]

Для биквадратов в диапазоне до 200000 таких решений вообще нет

Но зато можно разложить квадрат на кубы
$8778$
$8778^2=144^3+145^3+...+164^3$
$8778^2=1^3+2^3+...+132^3$

$10296$
$10296^2=133^3+134^3+...+164^3$
$10296^2=1^3+2^3+...+143^3$

[scwec]

mathpath
Благодарю за интерес. Разложить квадраты на кубы - это круто. Я, во всяком случае, этот пример пифагорова
треугольника, у которого длины всех сторон - треугольные числа (из Серпинского стр.36), до сих пор помню наизусть.
А то, что аналог числа $2856$ не найден, так это ожидаемо было. Я тоже не нашёл, правда, давно это было.
Вообще, двойное представление часто - это косвенный признак отсутствия общего решения. Хотя это, конечно, интуиция, а не доказательство.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1621107 писал(а):

Разложить квадраты на кубы - это круто.

Чтобы ответить на вопрос когда частная сумма кубов является целым квадратом, достаточно двух треугольников: $t_X^2-t_Y^2=Z^2.$ Вопрос этот был полностью закрыт здесь:

Andrey A в сообщении #1531413 писал(а):

... разделим почленно уравнение на $t_Y^2: \left ( \dfrac{t_X}{t_Y} \right )^2-1=\left ( \dfrac{Z}{t_Y} \right )^2.$ Соответствующее уравнение в рациональных числах имеет полное $1$-параметрическое решение: $\left ( \dfrac{m^2+1}{2m} \right )^2-1=\left ( \dfrac{m^2-1}{2m} \right )^2.$ С другой стороны, если для произвольного рационального аргумента $m$ находятся $X,Y$ такие, что

$$\dfrac{t_X}{t_Y}=\dfrac{m^2+1}{2m}, \eqno(6')$$

видим: $\left ( \dfrac{t_X}{t_Y} \right )^2-1=\left ( \dfrac{m^2-1}{2m} \right )^2$. Домножая последнее на $t_Y^2$, получаем в правой части рациональный квадрат, который не может не быть целым числом, ведь в левой части у нас разность целых квадратов. Отсюда определено $Z^2$, и задача полностью сводится к уравнению $(6')$, которое можно записать еще так: $\dfrac{(2X+1)^2-1}{(2Y+1)^2-1}=\dfrac{m^2+1}{2m}.$ Некоторые его решения следуют из разложения $\sqrt{\dfrac{m^2+1}{2m}}$: если дробь $a_1,a_2,...,a_n$ соответствует ур. Пелля, то дробь $a_1,a_2,...,a_n,a_1 \pm 1$ возвращает нужные пары $\dfrac{2X+1}{2Y+1}$. Решений как минимум две бесконечные серии, но могут быть и другие, хотя бы потому что пара $(2X+1,2Y+1)$ не обязана быть взаимно простой. Подробней об этом было здесь. Пост написан давно и несколько сумбурен. Но уж как есть.

Для $m=\dfrac{5}{2}$, к примеру, имеем $ \dfrac{m^2+1}{2m}=\dfrac{29}{20}=\dfrac{t_{29}}{t_{24}}.$ Отсюда $t_{29}^2-t_{24}^2=315^2$ и $25^3+26^3+27^3+28^3+29^3=315^2.$

[Andrey A]

scwec в сообщении #1621107 писал(а):

... пример пифагорова треугольника, у которого длины всех сторон - треугольные числа (из Серпинского стр.36),

P.S. Это мы тоже умеем — $t$-тройка пропорциональная примитивной Пифагоровой $133^2+156^2=205^2:$

$$\dfrac{t_{132}}{133}=\dfrac{t_{143}}{156}=\dfrac{t_{164}}{205} \to t_{132}^2+t_{143}^2=t_{164}^2.$$

Вроде бы наименьшая. Не помню у Серпинского этой задачи, обязательно посмотрю.

[scwec]

Речь ведь шла о двойном представлении $2856^3$ суммой последовавтельных кубов.. Попытка была сделана,
(и за это благодарность) и других таких чисел пока не нашлось.
Что касается двойного представления квадрата суммой последовательных кубов, то ответ mathpath
с улыбающимся смайликом, я, наверное, правильно понял и поэтому отослал к 36 стр. книги В. Серпинского, откуда он проистекает.

[mathpath]

scwec в сообщении #1621172 писал(а):

Речь ведь шла о двойном представлении $2856^3$ суммой последовавтельных кубов.. Попытка была сделана,
(и за это благодарность) и других таких чисел пока не нашлось.

А таких кубов скорее всего больше и нет - ну или число их конечно
Равно как и того факта, что биквадратов, и 5 степеней, и 6-х степеней, и т.д., которые раскладываются более одного раза
Если они не находятся в начале числовой оси (менее 200000), то вероятность их нахождения для бОльших чисел, как я понимаю, стремится к нулю, это же как-то можно алгоритмически вычислить и показать