Канат падает на весы

[мат-ламер]

Есть такая задача:

Однородный гибкий канат, висевший вертикально, падает на площадку весов. Определить показания весов, как функцию от времени.

На весы в данный момент времени $t$ с одной стороны давит вес той части каната, которая уже находится на весах. С другой стороны, на весы действует сила реакция каната. Масса той части каната, которая в данный момент находится в воздухе (обозначим её как $M=M(t)$ ) и движется как единое целое со скоростью $v=v(t)$ , испытывает замедление и давит на весы с силой $M\dot{v}$ . Кроме того, на весы давит в текущий момент сила от той части каната, скорость которой в данный момент замедлилась до нуля. Она равна $\dot{M}v$ . Итого получаем, что сила реакции между канатом (который ещё не лежит на весах) и весами равна $F=\dot{M}v+M\dot{v}$ (это производная от импульса висящей части каната). Для части каната, которая висит в воздухе, исходя из второго закона Ньютона, имеем $F=(Mv)_t=Mg-F$ . Если мы обозначим удельную погонную массу каната как $m$ , то к данному уравнению ещё надо добавить соотношение $\dot{M}=mv$ .

Подскажите, я на правильном пути? Нет ли ошибок в написанном?

[sergey zhukov]

мат-ламер
Вес складывается из того, что уже лежит на весах + "массовый расход" каната (скорость на линейную плотность), умноженный на его скорость (т.е. произведение $mv^2$). Скорость каната растет с ускорением свободного падения. Вес того, что уже лежит на весах, будет интегралом от $gmvdt$.

[мат-ламер]

sergey zhukov в сообщении #1619870 писал(а):

мат-ламер
Вес складывается из того, что уже лежит на весах + "массовый расход" каната (скорость на линейную плотность), умноженный на его скорость. Скорость каната растет с ускорением свободного падения.

Извиняюсь, только что (не видя вашего сообщения) внёс поправку в одну из моих формул (второй закон Ньютона - в левую часть).

[мат-ламер]

sergey zhukov в сообщении #1619870 писал(а):

Вес складывается из того, что уже лежит на весах + "массовый расход" каната (скорость на линейную плотность), умноженный на его скорость (т.е. произведение $mv^2$).

Я бы с вами тут согласился, если бы в условии вместо слово "канат" стояло слово "нить". А канат в моём понимании, это что-то сильно толстое, способное передавать через себя силу сжатия. А, учитывая малое время падения, потерей устойчивости и искривлением падающей части каната можно пренебречь.

Может у кого есть соображения по трактовке условия задачи, а то может я условие не понял? Как будем трактовать канат?

-- Вс ноя 26, 2023 12:48:40 --

Это задача 6.33 из сборника Бельченко и др., (мне его рекомендовали в соседней ветке). Решения задачи там нет.

[EUgeneUS]

Канат, как модель, отличается от (идеальной) нити наличием массы.

[sergey zhukov]

мат-ламер
Можете заменить канат на цепь.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1619880 писал(а):

Канат, как модель, отличается от (идеальной) нити наличием массы.

Для вытянутых ("одномерных") предметов много терминов. То, что вы говорите это, скорее, "цепь". Если в двух словах то цепь это "гибкий канат" или "массивная нить".
Просто "канат" подразумевает, емнип, не только массу, но и ненулевую поперечную упругость, а часто и ненулевое трение скольжения.

[Gagarin1968]

мат-ламер в сообщении #1619867 писал(а):

Однородный гибкий канат, висевший вертикально, падает на площадку весов.

мат-ламер
А нижний конец каната в начальный момент находится на какой-то высоте над весами или же уже касается площадки весов?

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1619878 писал(а):

Как будем трактовать канат?

"Однородный гибкий канат" это одномерное тело с бесконечной жёсткостью на растяжение(нерастяжимый) и нулевой на сжатие и изгиб (абсолютно гибкий), а также с постоянной линейной плотностью (массы). То же самое, что "массивная нить" и "цепь".

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1619878 писал(а):

А канат в моём понимании, это что-то сильно толстое, способное передавать через себя силу сжатия.

Любители докопаться до столба могут открыть задачник под ред. О.Я. Савченко, задача 2.2.41 - там "цепочка" .

мат-ламер в сообщении #1619867 писал(а):

Итого получаем, что сила реакции между канатом (который ещё не лежит на весах) и весами равна $F=\dot{M}v+M\dot{v}$ (это производная от импульса висящей части каната).

Лучше писать для части, находящейся на весах тормозящейся в этот момент, тогда $F=Mg+v\dot{M}$ ($M$ - то, что уже упало). Или можно писать для всего каната

$$\frac{d(m-M)v}{dt}=mg-F.$$

Здесь $m$ - полная масса.
У вас же какая-то комбинация, которая к правильному ответу может привести, по-моему, только чудом.

[EUgeneUS]

wrest
Терминов-то куча, но нужно понимать - они применяется в ГОСТах на конопляные изделия, или в качестве названий физической модели.

Ход мысли авторов задачи вполне понятен: есть общепринятая модель - нить, которая абсолютно гибкая и не имеет массы. Как назвать модель, где объект также абсолютно гибкий, но имеет ненулевую массу? Назовем его "канатом".

Впрочем, согласен, более подходящее название модели - "цепь". Но опять же нужно указывать, какое устройство цепи подразумевается.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1619890 писал(а):

Впрочем, согласен, более подходящее название модели - "цепь".

Цепь иногда нехорошо, потому что она состоит из отдельных звеньев, из-за чего возникают дискретные эффекты (помню дискуссию с З.К. Силагадзе на эту тему).

[мат-ламер]

Gagarin1968 в сообщении #1619886 писал(а):

мат-ламер
А нижний конец каната в начальный момент находится на какой-то высоте над весами или же уже касается площадки весов?

Думаю, что касается. Привёл условие почти дословно.

wrest в сообщении #1619887 писал(а):

"Однородный гибкий канат" это одномерное тело с бесконечной жёсткостью на растяжение(нерастяжимый) и нулевой на сжатие и изгиб (абсолютно гибкий), а также с постоянной линейной плотностью (массы). То же самое, что "массивная нить" и "цепь".

Сейчас попробую так решить. Меня смутило, что в такой постановке задача становится тривиальной. А сборник задач всё же для студентов, а не для школьников.

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1619893 писал(а):

А сборник задач всё же для студентов, а не для школьников.

Это ж первый семестр первого курса, практически те же школьники...

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1619893 писал(а):

Сейчас попробую так решить.

Ну да, там суть в том что канат к весам "прилипает", т.е. не отскакивает.
Тогда сила которую показывают весы это поток импульса от падающего каната плюс вес уже упавшего (который, впрочем, тоже есть поток импульса).