Уравнение в частных производных

[АленаВ]

Так когда в уранвение подставляем,то надо подставлять прям $$\sum T_n(t)X_n(x)$ или вместо них подставить то что нашли в задаче Ш-Л?

[zoo]

ewert
пилите, Шура, пилите(с)

[ewert]

АленаВ писал(а):

Так когда в уранвение подставляем,то надо подставлять прям $$\sum T_n(t)X_n(x)$ или вместо них подставить то что нашли в задаче Ш-Л?

Прям. Явный вид $X_n$ нужен только тогда, когда речь доходит до явного вычисления коэффициентов. А до тех пор явного вида следует всячески избегать.

zoo писал(а):

ewert
пилите, Шура, пилите(с)

Ну зачем же Вы столь постоянно нервничаете?

[АленаВ]

zoo это вы в каждой теме которая кажется вам легкой,все это высказываете? Рядом темка,где метод Гаусса решения систем просят объяснить,может вы туда пойдете?)

Добавлено спустя 23 минуты 56 секунд:

ewert писал(а):

Ищем решение в виде

$$u(x,t)=\sum_nT_n(t)\cdot X_n(x)$$

. Подставляем в уравнение теплопроводности и учитываем, что $X_n(x)$ -- именно собственные функции. Затем раскладываем $f(x)$ в ряд Фурье и вычисляем коэффициенты этого разложения. После того, как всё это сделано, сопоставляем коэффициенты Фурье во всех трёх слагаемых, получая тем самым дифференциальные уравнения для $T_n(t)$. И только тогда выползают наконец временнЫе экспоненты и всё прочее.

А $f(x)-$ это у нас просто $x$ ?

[ewert]

Зависимость от времени тоже нельзя не учитывать. Хотя с технической точки зрения при вычислении коэффициентов Фурье она и непринципиальна.

[АленаВ]

Тогда $f_n=\int_0^2{xsin(\frac {\pi} 4+\frac {\pi k} 2)}dx$ будут вычисляться так?

[ewert]

а где всё-таки $t$?

Вы постоянно пытаетесь что-то угадать -- вместо того, чтобы производить действия, диктуемые ситуацией. Выпишите честно формальной подстановки, причём полностью.

[АленаВ]

$f_n=\int_0^2{(4t-t^3)x\cdot{sin(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)}x}dx$
Вычислять или опять что то неправильно(

[ewert]

уфф. Вычисляйте...

[Алексей К.]

АленаВ писал(а):

$f_n=\int_0^2{(4t-t^3)x\cdot{sin(\frac {\pi} 4+\frac {\pi k} 2)}x}dx$
Вычислять или опять что то неправильно(

Стороннему наблюдателю хочется увидеть следы буковки $n$ и в правой части...

[АленаВ]

$f_n=\int_0^2{(4t-t^3)x\cdot{sin(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)}x}dx=(4t-t^3)(-1)^n\frac 1 {(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}$

Ввиду того,что очень медленно набираю на техе,все решение не выписываю

$$f(x)=\sum_n{f_n}sin(\frac \pi 4+\frac {\pi n} 2)x=\sum_n({4t-t^3)(-1)^n\frac 1 {(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}}sin(\frac \pi 4+\frac {\pi n} 2)x$$

[Алексей К.]

АленаВ писал(а):

$$f(x)=\sum_n({4t-t^3)(-1)^n\frac 1 {(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}}sin(\frac \pi 4+\frac {\pi n} 2)$$

Стороннему наблюдателю хочется увидеть следы буковки $x$ и в правой части... Или правда константа?

Во. Теперь можно немного лоску навести: всё, что от $n$ не зависит вынести за знак суммы, дроби из знаменателя другой дроби упростить, sin написать как \sin, итп.
Прийдёт ewert --- только порадуется. $\sin\left( \pi x\frac{2n+1}4\right)$.

[АленаВ]

Ну так если это правильно,то получим

$$\sum_nT'_n(t)X_n(x)=9\sum_nT_n(t)X''_n(x)+\sum_n({4t-t^3)(-1)^n\frac 1 {(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}}sin(\frac \pi 4+\frac {\pi n} 2)x$$

А что дальше? Явный вид $X_n(x)$ и $T_n(t) $ подставлять $?$

[ewert]

извините, результатов интегрирования не проверял и не буду -- лень.

А в принципе -- верно.

Явный вид $T_n$ Вы подставить не сможете, ибо пока их у Вас нет и в зародыше (ну разве что в зародыше).

$X_n$ подставить вроде и можно, но это неспортивно. Лучше вспомните, что они суть именно собственные функции, и сделайте соотв. выводы. Да, и кстати, и синусы в последнем слагаемом тоже изничьтожьте; какие там синусы, когда они -- совершенно откровенные ${X_n}$'-е ???

[АленаВ]

$$\sum_nT'_n(t)X_n(x)=9\sum_nT_n(t)X''_n(x)+\sum_n({4t-t^3)(-1)^n\frac 1 {(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}}X_n(x)$$ $$\sum_nT'_n(t)X_n(x)=9\sum_nT_n(t)X''_n(x)+(4t-t^3)\sum_n(-1)^n\frac 1 {(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}}X_n(x)$$