2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение22.11.2023, 13:30 
Аватара пользователя


22/07/22

897
мат-ламер
А теперь посчитайте ускорение для произвольной точки эллипса :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение22.11.2023, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
EUgeneUS в сообщении #1619258 писал(а):
А это бездоказательное утверждение, хотя и верное в данном случае.

В данном случае выполняется $f'(0)=0$ . Что будет в общем случае, посмотрим после того, как решу задачу, предложенную Doctor Boom .

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение22.11.2023, 14:46 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
мат-ламер в сообщении #1619266 писал(а):
В данном случае выполняется $f'(0)=0$


И как это связано с Вашим утверждением о том, чему равна кривизна?
Связь-то есть, но она Вами не показана, а значит утверждение остаётся бездоказательным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение22.11.2023, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
На вопросы буду отвечать постепенно.
EUgeneUS в сообщении #1619267 писал(а):
И как это связано с Вашим утверждением о том, чему равна кривизна?
Связь-то есть, но она Вами не показана, а значит утверждение остаётся бездоказательным.

Тут вопрос упирается в нахождение кривизны параболы в её вершине. Этот вопрос составляет первый пункт в задаче 1.42 из Иродова (мы рассматривали второй пункт). Во-первых, это вопрос можно решить с помощью формулы, которую EUgeneUS привёл в начале второй страницы обсуждения. Предположим, однако, что мы эту формулу не знаем. Пусть у нас есть парабола $y=\alpha x^2$ . Стоит задача найти окружность, которая будет касаться нашей параболы в начале координат. Окружность будем искать в виде $y^2-2Ry+x^2=0$ . Легко видеть, что в окрестности нуля решение нашего уравнения (относительно $y$ ) представляется в виде $y=x^2/2R+o(x^2)$ . Отсюда видно, что для касания необходимо выполнения условия $\alpha = 1/2R =k/2$ , где $k$ - кривизна как параболы в вершине, так и окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение22.11.2023, 18:31 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
мат-ламер в сообщении #1619281 писал(а):
Отсюда видно, что для касания необходимо выполнения условия $\alpha = 1/2R =k/2$ , где $k$ - кривизна как параболы в вершине, так и окружности.


Вообще-то, для касания, равенство кривизны не обязательно. :wink:

Но если подчистить все неточности изложения и собрать мысли в кучу, то из всего этого можно собрать решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение22.11.2023, 18:33 


05/12/21

138
Doctor Boom в сообщении #1619260 писал(а):
А теперь посчитайте ускорение для произвольной точки эллипса

Модуль ускорения $A$ при постоянной скорости $V$ равен
$A = \frac{{Vab{(x^2+y^2)}}^3}{{(b^2x^4+a^2y^4)}^{1.5}}$
(Если не ошибся :roll: )

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение22.11.2023, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Doctor Boom в сообщении #1619260 писал(а):
мат-ламер
А теперь посчитайте ускорение для произвольной точки эллипса :roll:

Поставим вопрос так. У нас есть эллипс $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ . По нашему эллипсу движется точка с постоянным модулем скорости $v$ . Требуется найти вектор скорости $\vec{}v$ и вектор ускорения $\vec{a}$ точки в зависимости от её положения $\vec{r}=\{x,y\}$

Для начала разберёмся со скоростью. Пусть у нас есть некоторая другая (фиктивная) точка, которая движется по эллипсу по закону $\vec{R}=\{a\cos t, b\sin t\}$ . Понятно, что она движется по эллипсу с непостоянной скоростью. Однако, предположим, что в некоторый момент времени $t$ её положение совпадает с положением нашей точки. Тогда нормированный вектор скорости фиктивной точки будет равен $\vec{V}_n= \frac{ \{ -a^2y, b^2x \}  }{\sqrt{a^4y^2+b^4x^2}} $ . А вектор скорости исходной нашей точки будет равен $\vec{v}= v\frac{ \{ -a^2y, b^2x \}  }{\sqrt{a^4y^2+b^4x^2}} $

-- Ср ноя 22, 2023 19:42:36 --

EUgeneUS в сообщении #1619283 писал(а):
Вообще-то, для касания, равенство кривизны не обязательно. :wink:

В этой теме имеется в виду, что касание имеет второй порядок.

-- Ср ноя 22, 2023 20:08:42 --

Переходим опять к задаче от Doctor Boom. Наша фиктивная точка имеет ускорение $\vec{A} = \left\{ -x,-y \right\}$ . А проекция этого ускорения на скорость нашей исходной точки будет $\vec{a_1}=\frac{ \left\{ a^2xy,-b^2xy \right\}  }{\sqrt{a^4y^2+b^4x^2}   }$ .

Чего-то меня в какие-то дебри занесло. Самому интересно - выкручусь ли?
P.S. выяснилось, что этот вектор можно было и не находить :D

-- Ср ноя 22, 2023 20:16:38 --

Пока план дальнейших действий таков. Вектор $\vec{A}-\vec{a}$ задаёт направление ускорения нашей исходной точки. А его модуль можно просто вычислить, исходя из кривизны эллипса.

-- Ср ноя 22, 2023 20:21:49 --

мат-ламер в сообщении #1619286 писал(а):
Пока план дальнейших действий таков. Вектор $\vec{A}-\vec{a}$ задаёт направление ускорения нашей исходной точки.

Ну, меня тут действительно занесло в дебри. Для нахождения этого направления достаточно взять любой вектор, ортогональный к вектору $\{-a^2y,b^2x\}$ .

-- Ср ноя 22, 2023 20:23:39 --

Например, это может быть вектор $\{b^2x,a^2y\}$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение22.11.2023, 20:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Кривизна эллипса в точке ${x,y}$ равна $k =\frac{ a^4b^4 }{ (a^4y^2+b^4x^2)^{3 \slash  2} }$ . Отсюда модуль ускорения нашей точки равен $\left| \vec{a}  \right|=v^2\frac{ a^4b^4 }{ (a^4y^2+b^4x^2)^{3 \slash  2} }$ .

-- Ср ноя 22, 2023 21:15:27 --

Итак, направление вектора ускорения мы нашли, модуль его тоже. Получаем, что вектор ускорения у нас равен $\vec{a} = -\frac{ v^2a^4b^4 }{ (a^4y^2+b^4x^2)^2 }\left\{ b^2x,a^2y \right\}$ .

Выражаю Doctor Boom благодарность за интересную задачу. Если у кого есть замечания по предложенному решению, с интересом выслушаю.

-- Ср ноя 22, 2023 21:20:03 --

Что-то у меня результат не совпал с результатом от LLeonid3 . Уже завтра проверю у себя ещё раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение22.11.2023, 20:42 


18/05/15
729
мат-ламер в сообщении #1619302 писал(а):
Если у кого есть замечания по предложенному решению

А если без кривизны? Скажем, из соображения размеренности: $$\omega_x = \frac{v^2}{a}g_x(tv/a), \omega_y = \frac{v^2}{b}g_y(tv/b)$$ ($\omega$ - ускорение), а задача - найти безразмерные функции $g_x, g_y$, основываясь по возможности только на общих рассуждениях, не противоречащих здравому смыслу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение22.11.2023, 21:08 


27/08/16
10151
мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):
Частица движется равномерно со скоростью $v$ , по плоской траектории, задаваемой уравнением $(x/a)^2+(y/b)^2=1$ (это эллипс). Найти ускорение частицы в точке $x=0$ .

$$x = v t + o(t^2)$$
$$y = b\sqrt {1 - (x/a)^2} = -\frac {b x^2} {2 a^2} + o(x^2) = -\frac {b v^2 t^2} {2 a^2} + o(t^2)$$
$$y = -\frac {g t^2} 2 + o(t^2)$$
$$g = \frac {b v^2} {a^2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение22.11.2023, 21:32 


05/12/21

138
LLeonid3 в сообщении #1619285 писал(а):
Если не ошибся
Не ошибся, но опечатался :-(
Конечно $V^2$, пропустил степень.
$A = \frac{{V^2ab{(x^2+y^2)}}^3}{{(b^2x^4+a^2y^4)}^{1.5}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение22.11.2023, 22:32 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
мат-ламер в сообщении #1619286 писал(а):
Пока план дальнейших действий таков.

а ранее было:
мат-ламер в сообщении #1619286 писал(а):
А вектор скорости исходной нашей точки будет равен $\vec{v}= v\frac{ \{ -a^2y, b^2x \}  }{\sqrt{a^4y^2+b^4x^2}} $


Тут же уже можно стандартно.
$\mathbf{a} = \frac{d \mathbf{v}}{dt}$

При дифференцировании $\mathbf{v}$ по времени получим нечто вида:

$\mathbf{a} = \left\lbrace A(x,y) \dot{x} + B(x,y) \dot{y}; C(x,y) \dot{x} + D(x,y) \dot{y} \right\rbrace$

Далее воспользуемся $\dot{x} = v_x, \dot{y} = v_y$, и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение23.11.2023, 07:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
EUgeneUS в сообщении #1619327 писал(а):
Тут же уже можно стандартно.

EUgeneUS в сообщении #1619327 писал(а):
и всё.

Это у вас только план действий или вы прошли этот путь до конца?
Интересно послушать мнение о разумности этого пути от того, кто найдёт время довести этот план до конца и подтвердит (или наоборот, опровергнет) правильность моих ответов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение23.11.2023, 14:02 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
мат-ламер в сообщении #1619363 писал(а):
Это у вас только план действий или вы прошли этот путь до конца?


У Вас какие-то сомнения в возможности этого пути?
Или какие-то сложности с взятием производной $\frac{d F(x(t), y(t))}{d t}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение23.11.2023, 19:01 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):
Во втором способе я просто тупо вписал в эллипс окружность, которая касается эллипса в нужной точке. Затем я определил радиус этой окружности, исходя из требуемой степени касания.
Так оно и делается, только описывается другими словами.
Находите радиус кривизны в данной точке (элементарное упражнение на взятие производной).
Зная радиус кривизны и скорость находите ускорение по известной школьной формуле.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group