2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение20.11.2023, 08:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
Моё внимание привлекла задача 1.42.б из сборника Иродова.

Частица движется равномерно со скоростью $v$ , по плоской траектории, задаваемой уравнением $(x/a)^2+(y/b)^2=1$ (это эллипс). Найти ускорение частицы в точке $x=0$ .

Задачу я решил. Причём двумя способами. В первом способе я ввёл некоторую параметризацию эллипса. Она хоть и не была натуральной (а у нас ведь частица движется равномерно), но позволила применить стандартную формулу для кривизны плоской кривой.

Во втором способе я просто тупо вписал в эллипс окружность, которая касается эллипса в нужной точке. Затем я определил радиус этой окружности, исходя из требуемой степени касания.

Хоть мой ответ совпал с ответом задачника, но сомнения всё же остались. Дело в том, что задача предлагается студентам в самом начале обучения в ВУЗе. Они могут ничего не знать ни о кривизне кривой, ни о касании кривых. Нет ли тут элементарного решения, имеющего простой физический смысл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение20.11.2023, 09:29 
Аватара пользователя


01/11/14
1940
Principality of Galilee
мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):
Во втором способе я просто тупо вписал в эллипс окружность, которая касается эллипса в нужной точке.
мат-ламер
Этот способ непонятен. У Вас вписанная окружность касается только одной точки эллипса? Как это?
В эллипс можно вписать лишь одну окружность, радиус которой равен малой полуоси эллипса, она имеет общий центр с эллипсом и касается его в двух точках — концах малой оси.
А иначе что Вы понимаете под вписанной окружностью?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение20.11.2023, 09:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5074
мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):
Дело в том, что задача предлагается студентам в самом начале обучения в ВУЗе. Они могут ничего не знать ни о кривизне кривой, ни о касании кривых.

Ситуация при изучении физики вполне характерная. Некоторые элементы математики приходится рассказывать непосредственно на физике, на "физическом уровне строгости". Скажем, физики-первокурсники в процессе решения физических задач нередко составляют и решают простенькие дифференциальные уравнения, хотя систематическое изучение обыкновенных дифференциальных уравнений у них начнётся лишь на втором курсе. С кривизной и радиусом кривизны - аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение20.11.2023, 09:45 
Заслуженный участник


02/08/11
7013
\begin{gather*}
(x/a)^2+(y/b)^2=1\\
x = a \cos \varphi \\
y = b \sin \varphi \\
v_x = -a \sin \varphi \left(\frac {d\varphi} {dt}\right) \\
v_y = b \cos \varphi \left(\frac {d\varphi} {dt}\right) \\
v^2 = v_x^2 + v_y^2 = (a^2 \sin^2 \varphi + b^2 \cos^2 \varphi) \left(\frac {d\varphi} {dt}\right)^2 \\
\frac {d\varphi} {dt} = \frac v {\sqrt{a^2 \sin^2 \varphi + b^2 \cos^2 \varphi}} \\
\frac {d^2\varphi} {dt^2} = \frac { v^2 (b^2-a^2)\sin\varphi\cos\varphi } {(a^2 \sin^2 \varphi + b^2 \cos^2 \varphi)^{2}}\\
a_x = -a \cos \varphi \left(\frac {d\varphi} {dt}\right) -a \sin \varphi \left(\frac {d^2\varphi} {dt^2}\right)\\
a_y = -b \sin \varphi \left(\frac {d\varphi} {dt}\right) +b \cos \varphi \left(\frac {d^2\varphi} {dt^2}\right)
\end{gather*}
Подставляем $\varphi=\frac {\pi} 2$ и находим всё без формул кривизны и касания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение20.11.2023, 09:51 
Заслуженный участник


28/12/12
7944
Gagarin1968 в сообщении #1618888 писал(а):
Этот способ непонятен. У Вас вписанная окружность касается только одной точки эллипса? Как это?
В эллипс можно вписать лишь одну окружность, радиус которой равен малой полуоси эллипса, она имеет общий центр с эллипсом и касается его в двух точках — концах малой оси.

Имеется в виду окружность, касающаяся эллипса в одном из полюсов. Слово "вписанная", конечно, неаккуратно употреблено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение20.11.2023, 11:11 


30/01/18
645
warlock66613 в сообщении #1618890 писал(а):
$a_x = -a \cos \varphi \left(\frac {d\varphi} {dt}\right) -a \sin \varphi \left(\frac {d^2\varphi} {dt^2}\right)$
$a_y = -b \sin \varphi \left(\frac {d\varphi} {dt}\right) +b \cos \varphi \left(\frac {d^2\varphi} {dt^2}\right)$
Формулы ускорения не проходят проверку по размерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение20.11.2023, 11:14 
Заслуженный участник


02/08/11
7013
rascas в сообщении #1618902 писал(а):
Формулы ускорения не проходят проверку по размерности.
Главное чтобы идея была понятна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение20.11.2023, 11:23 
Заслуженный участник


28/12/12
7944
rascas в сообщении #1618902 писал(а):
Формулы ускорения не проходят проверку по размерности.

Должно быть $\left(\dfrac{d\varphi}{dt}\right)^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение20.11.2023, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
Gagarin1968 в сообщении #1618888 писал(а):
мат-ламер
Этот способ непонятен. У Вас вписанная окружность касается только одной точки эллипса? Как это?

DimaM в сообщении #1618892 писал(а):
Слово "вписанная", конечно, неаккуратно употреблено.

Прошу прощения у форума за корявую терминологию. Слов "вписанная окружность" я не произносил. И не знаю, что точно они обозначают. Я писал:
мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):
я просто тупо вписал в эллипс окружность, которая касается эллипса в нужной точке.

Здесь слова "тупо вписал" имеют не математический, а вульгарно-разговорный смысл. Я имел в виду, что построил нужную мне окружность.
мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):
Затем я определил радиус этой окружности, исходя из требуемой степени касания.

Здесь слова "степень касания" тоже имеют вульгарно-разговорный смысл. Правильно говорить "порядок касания".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение20.11.2023, 12:14 


29/01/09
686
Gagarin1968 в сообщении #1618888 писал(а):
Этот способ непонятен. У Вас вписанная окружность касается только одной точки эллипса? Как это?

похоже касательная окружность, и он тогда прав...
вот тебе в помощь... общий случай

https://arxiv.org/pdf/2309.02857.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение20.11.2023, 12:53 
Аватара пользователя


01/11/14
1940
Principality of Galilee
pppppppo_98 в сообщении #1618913 писал(а):
и он тогда прав
Кто он?
pppppppo_98 в сообщении #1618913 писал(а):
вот тебе в помощь
Кому именно?
pppppppo_98
На форуме принято обращаться к участнику на "Вы".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение20.11.2023, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
Gagarin1968 в сообщении #1618917 писал(а):
Кто он?

Gagarin1968 в сообщении #1618917 писал(а):
Кому именно?

А какая разница? Ведь
warlock66613 в сообщении #1618903 писал(а):
Главное чтобы идея была понятна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение20.11.2023, 13:23 
Админ форума


02/02/19
2631
 !  pppppppo_98
На этом форуме принято обращаться друг к другу на "вы" (или на "Вы", по желанию), но не на "ты".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение20.11.2023, 13:36 
Аватара пользователя


08/10/09
962
Херсон
Кстати, вот еще один похожий небезинтересный случай: движение вдоль параболы тела, брошенного под углом к горизонту. Пусть по условию задана парабола: $y=-kx^2$ и задано ускорение свободного падения $g$. Хорошо бы запомнить, что радиус кривизны параболы в ее вершине $r=1/2k$. Тогда нормальное ускорение в ней $a_n=g=v^2/r=2kv^2$. Отсюда $v=\sqrt{g/2k}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу
Сообщение21.11.2023, 12:51 


18/05/15
733
мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):
Хоть мой ответ совпал с ответом задачника, но сомнения всё же остались.

То, что в точках $x=0$ у вектора ускорения всего одна компонента, существенно упрощает задачу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group