Фейнман. Опыт с пулеметной стрельбой.

[realeugene]

kzv в сообщении #1618334 писал(а):

Это конечно не интерференционная картина, но все-таки более сложный рисунок, чем тот, который показан в книге Фейнмана.

Потому что расстояние до экрана и ширина распределения электронов на экране от каждой щели гораздо больше расстояния между щелями.

[EUgeneUS]

кстати, ТС, ошибся с вычислением экстремумов суммы двух гауссиан.
Там тоже будет критичное значение, при котором одногорбое распределение становится двухорбым.

И это значение тоже выражается красиво:
$a = \frac{l}{\cos(\frac{\pi}{4})}$

[Doctor Boom]

EUgeneUS
Как вы это вычислили? (И для прошлого правильного распределения у меня такой же вопрос)

-- 18.11.2023, 19:02 --

Хотя вы правы...

[kzv]

В двумерном случае вероятность распределяется равномерно по окружности. Значит вероятность найти пулю на расстоянии $r$ от щели, обратно пропорционально длине окружности:

$$P(r)\sim\frac{1}{2\pi r}=\frac{1}{2\pi\sqrt{l^2+x^2}}$$

В трехмерном случае вероятность распределяется равномерно по шару. Значит вероятность найти пулю на расстоянии $r$ от щели, обратно пропорционально площади шара:

$$P(r)\sim\frac{1}{4\pi r^2}=\frac{1}{4\pi(l^2+x^2)}$$

Правильно?

[sergey zhukov]

kzv
Но вы ведь ищете вероятность найти пулю на элементе поверхности плоского экрана, а не на элементе поверхности окружности или шара. Возьмите достаточно большое отклонение траектории пули от перпендикуляра и посмотрите, насколько длина/площадь элемента круга/шара меньше соответствующей ему длины/площади элемента плоского экрана. Если бы экран был кругом/шаром с центром в точке щели, то вы были-бы правы.

Только нужно говорить не о вероятности попасть в точку (она всегда нулевая), а о плотности вероятности попасть в некоторый промежуток на экране длиной $dx$, расположенный в окрестности точки $x$. Тогда вероятнось попасть в $dx$ в окрестности $x$ равна произведению плотности вероятности в $x$, умноженной на $dx$.

[realeugene]

kzv в сообщении #1618705 писал(а):

В двумерном случае вероятность распределяется равномерно по окружности.

По какой ещё окружности? Нет никакой окружности.

[EUgeneUS]

Doctor Boom в сообщении #1618626 писал(а):

Как вы это вычислили? (И для прошлого правильного распределения у меня такой же вопрос)

Для "правильного" распределения - там обычная (хотя и нудная) задача с параметром.
А для двух гауссиан - подобрал в вальфраме.

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1618626 писал(а):

Как вы это вычислили?

Достаточно найти координаты точек перегиба у гауссиан.

[Doctor Boom]

realeugene в сообщении #1618810 писал(а):

Достаточно найти координаты точек перегиба у гауссиан.

Ага

[kzv]

Вероятность найти пулю - это функция от координаты на экране, она не равна нулю в конкретной точке. В двумерном случае эта функция обратно пропорциональна расстоянию от щели до детектора:

$$P(x)=\frac{P_0}{2\pi\sqrt{l^2+x^2}}$$

Где $P_0$ - коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент можно найти.
Плотность вероятности - это вероятность, приходящаяся на единицу длины, она находится по формуле:

$$\rho(x)=\frac{dP}{dx}=-\frac{P_0}{2\pi} x (l^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}$$

Если вероятность найти пулю хоть где-нибудь на экране, равна единице, то можно записать условие нормировки и найти коэффициент $P_0$:

$$2\int\limits_{0}^{\infty}{\rho(x)dx}=2\int\limits_{0}^{\infty}{dP}=-\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{P_0}{\pi} x (l^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}dx}=\frac{P_0}{\pi\sqrt{l^2+x^2}}\bigg|_0^\infty=1$$

О чем тут говорит знак минус, который получается при подстановке пределов, я не знаю. Если минус не учитывать, то находим:

$$P_0=\pi l$$

В итоге, зависимость вероятности от координаты детектора:

$$P(x)=\frac{l}{2\sqrt{l^2+x^2}}$$

[sergey zhukov]

kzv
Ну, как вам будет угодно.

[EUgeneUS]

sergey zhukov
Понимаю, что есть некоторая усталость от попыток объяснить очевидные вещи.
Но так тоже нельзя

kzv
Вы написали чуть менее, чем полностью, чушь.

[manul91]

sergey zhukov, kzv
У меня для плотности в двумерном случае получилось вот что.

$k$ - коеффициент пропорциональности
$l$, $x$, $r$ соответно расстояния: от щели до экрана, на экране по вертикали с центра экрана вверх до точки попадания на экране Q, радиус с щели до точки попадания Q; $r^2 = l^2 + x^2$
$\alpha$ - угол между $r$ и $l$
$ds$ - элемент длины окружности на расстоянии $r$ от щели

Тогда для вероятности $P$ попадания в элементе $ds$ окружности радиусом $r$ будет:

(1) $P = k d\alpha = \frac{k}{r}ds$

Но в окрестности точки попадания Q имеем
(2) $ds = \cos(\alpha)dx = \frac{l}{r}dx$,
и подставляя $ds$ из (2) в (1) получаем

3) $P= k d\alpha = \frac{k}{r}ds = \frac{kl}{r^2}dx = \frac{kl}{l^2 + x^2}dx$

Коеффициент $k$ ненужно определять по-сложному, из (1) и факта что частица обязана появиться где-то на полуокружности после щели очевидно $k = \frac{1}{\pi}$

Итого окончательно имеем:

$P= \frac{l}{\pi(l^2 + x^2)}dx$
или для плотности вероятности $\rho(x)$:
$\rho(x)= \frac{l}{\pi(l^2 + x^2)}$

[EUgeneUS]

manul91
В целом-то верно.
Но приравнивать конечные и бесконечно малые величины - не комильфо.
Начиная отсюда:

manul91 в сообщении #1618898 писал(а):

(1) $P = k d\alpha = \frac{k}{r}ds$

Должно быть: $d P = k d\alpha = \frac{k}{r}ds$

И заканчивая тут:

manul91 в сообщении #1618898 писал(а):

Итого окончательно имеем:

$P= \frac{l}{\pi(l^2 + x^2)}dx$
или для плотности вероятности $\rho(x)$:
$\rho(x)= \frac{l}{\pi(l^2 + x^2)}$

должно быть
$dP= \frac{l}{\pi(l^2 + x^2)}dx$
$\frac{dP}{dx} = \rho(x)= \frac{l}{\pi(l^2 + x^2)}$

[manul91]

EUgeneUS Да все так, спасибо!