Фейнман. Опыт с пулеметной стрельбой.

[kzv]

Часть 1. В фейнмановском курсе физики (т.3) предлагается ряд мысленных экспериментов, среди которых «опыт с пулеметной стрельбой». Для этого опыта Фейнман предлагает рассмотреть стреляющий в случайные стороны пулемет, пули от которого могут попасть на экран с двумя щелями, проходя через щели, пули случайным образом летят дальше в разные стороны, пока не попадут в детектор на оси $X$
Когда открыты обе щели, в книге Фейнмана изображена вероятность

$$P_{12} = P_1 + P_2$$

Это распределение нарисовано с единственным максимумом в точке, равноудаленной от первой и второй щели.

С математической точки зрения совершенно неясно, почему максимум должен быть единственным. Если мы складываем две функции, каждая из которых имеет свой максимум то, в общем случае, у результирующей функции должно быть три максимума! Несмотря на очевидность данного факта, при желании его можно вывести строго математически.
Пусть распределения вероятностей $P_1$ и $P_2$ – нормальные. Начало координат в точке, которая равноудалена от щелей на оси $Х$, расстояние между щелями $2d$

$$P_1=P_0e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-d}{\sigma})^2}$$

$$P_2=P_0e^{-\frac{1}{2}(\frac{x+d}{\sigma})^2}$$

Ищем производную от суммы и приравниваем к нулю:

$$\frac{dP_{12}}{dx}=-\frac{P_0}{\sigma}(\frac{x-d}{\sigma}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-d}{\sigma})^2}+\frac{x+d}{\sigma}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x+d}{\sigma})^2})=0$$

Получаем три корня, которым соответствуют экстремумы:

$$x_{1,2}=\pm d$$

$$x_3=0$$

Это конечно не интерференционная картина, но все-таки более сложный рисунок, чем тот, который показан в книге Фейнмана.

Часть 2. Если открыта только одна щель, то в той же книге Фейнмана приводится распределение вероятности, похожее на нормальное распределение с одним максимумом. Действительно, если после щели пуля может лететь под любым углом с одинаковой вероятностью, то на прямой оси $Х$, плотность вероятности должна быть максимальной напротив щели и уменьшаться при удалении в бесконечность.
Возникает вопрос: а не является ли такое нормальное распределение неким усредненным по времени? Действительно, ведь зависящая от времени вероятность должна иметь, как минимум, два равноудаленных от щели максимума? Если представить, что выпустили всего одну пулю, с известной скоростью $V$ в известное время $t_0$, то если пуля пройдет через щель и продолжит движение по прямой траектории, в конкретной точке $x$ эта пуля может оказаться лишь в одно конкретное время $t$. В любое другое время, вероятность найти пулю в данной точке $x$ будет равна нулю.
В любой момент времени есть два равноудаленных от щели расстояния, которым соответствуют две точки $x_1$ и $x_2$. Путь, пройденный до этих точек за время $t_1$ одинаков:

$$x_{1,2}=\pm\sqrt{(Vt)^2-L^2}$$

Где $L$ - это расстояние от щелей до экрана, $t$ - время движения от щели до экрана.
Вероятность нахождения пули в конкретном месте, является функцией от координаты и значит функцией от времени:

$$P(x_{1,2})=P(\pm\sqrt{(Vt)^2-L^2})=P_{1,2}(t)$$

Если все верно, то открыв две щели, в зависящем от времени распределении вероятностей будет уже точно не один и даже не три, а четыре максимума.

[sergey zhukov]

kzv
Чему равна производная $y(x)=e^{-x^2}$ ? Не смущает, что если $d$ достаточно велико, то точно получаются две неперекрывающиеся кривые с явным минимумом по центру?

[Dedekind]

kzv
https://www.geogebra.org/calculator/qtzhtd5q

[sergey zhukov]

kzv в сообщении #1618334 писал(а):

в конкретной точке $x$ эта пуля может оказаться лишь в одно конкретное время $t$. В любое другое время, вероятность найти пулю в данной точке $x$ будет равна нулю.

Так значит, в других точках ее обнаружат при другом $t$. Где-же должны быть максимумы, которые мы получим по результатам всех испытаний? При каком конкретно $t$ и чем это $t$ определяется?

[kzv]

sergey zhukov в сообщении #1618358 писал(а):

kzv
Чему равна производная $y(x)=e^{-x^2}$ ? Не смущает, что если $d$ достаточно велико, то точно получаются две неперекрывающиеся кривые с явным минимумом по центру?

Согласен с вами. Максимума получается два. По центру тоже экстремум, но это минимум, а не максимум.
Да, при малых $d$ максимумы как-бы сливаются, но при увеличении расстояния между щелями, от двух максимумов никуда не деться.

sergey zhukov в сообщении #1618361 писал(а):

Так значит, в других точках ее обнаружат при другом $t$. Где-же должны быть максимумы, которые мы получим по результатам всех испытаний? При каком конкретно $t$ и чем это $t$ определяется?

Вот если у нас всего одна пуля летит через одну щель, то по результатам испытаний мы можем найти ее не где угодно с нормальным распределением в центре. Результат зависит от времени, когда проводится измерение. Так ведь? И распределение будет представлять собой два максимума в каждый (и в любой) момент измерения. Я прав?

[sergey zhukov]

kzv
Ну, при известной скорости пули $u$, летящей из щели к экрану, в конкретный момент времени $t$ ее можно обнаружить только в двух точках экрана (в одномерном случае), для которых расстояние от щели до этой точки экрана равно $S=ut$. Или, что гораздо вероятнее, можно не обнаружить ее нигде (еще летит к экрану, уже пролетела экран) Это, конечно, так. Но это имеет слабое отношение к эксперименту, про который говорит Фейнман. Ведь там нас не интересует время фиксации пули. Только точка ее попадания (да и то даже не она, а средняя плотность пуль в данной точке по результатам всех экспериментов).

[kzv]

sergey zhukov в сообщении #1618403 писал(а):

kzv
Ну, при известной скорости пули $u$, летящей из щели к экрану, в конкретный момент времени $t$ ее можно обнаружить только в двух точках экрана (в одномерном случае), для которых расстояние от щели до этой точки экрана равно $S=ut$. Это, конечно, так. Но это имеет слабое отношение к эксперименту, про который говорит Фейнман. Ведь там нас не интересует время фиксации пули. Только точка ее попадания (да и то даже не она, а средняя плотность пуль в данной точке по результатам всех экспериментов).

Мой вопрос возник в тот момент, когда я решил написать программку, которая бы визуализировала этот опыт. К моему удивлению, послушный компьютер не стал рисовать нормальное распределение когда пуля с одинаковой вероятностью летит от щели в любом направлении. Максимум напротив щели возникает только если считать не число, а частоту попаданий пуль. То есть в эксперимент нужно вводить время, малыми отрезками. Отрезки должны быть много меньше чем вся продолжительность эксперимента.
Вот если максимально упростить эксперимент, то становится ясным, почему компьютер рисовал у меня прямую линию. Одна пуля, через одну щель, может попасть куда угодно с одинаковой вероятностью, ибо это условие задачи. Однако, если учесть время, то максимумы получить удается, но их два.
А если одна пуля и две щели, то максимумов четыре и главное, величина этих максимумов вроде как должна быть одинаковая?

[sergey zhukov]

kzv
Так это просто программа неправильно написана.

-- 17.11.2023, 08:58 --

kzv в сообщении #1618405 писал(а):

Одна пуля, через одну щель, может попасть куда угодно с одинаковой вероятностью, ибо это условие задачи

Нет, одна и та же вероятность у пули (по условию) полететь из щели под любым углом. Но не попасть в любую точку экрана. Это не одно и то же.

[kzv]

Интуитивно я понимаю, что если одинаковая вероятность под разными углами, то должно получиться нормальное распределение. Математически не могу понять как получить единственный максимум у распределения, если в эксперименте участвует одна пуля?

[sergey zhukov]

kzv
Вообще совсем не факт, что должно получиться нормальное распределение. Просто горбатое распределение какое-то получится.

Нужно делать так: в любом малом угле $\Delta \varphi$ (угол с вершиной в щели) плотность пуль одинаковая (пуля равновероятно летит во все стороны). Она (плотность пуль) распределяется на основание треугольника (кусочек экрана) напротив вершины $\Delta \varphi$. Чем больше отклонение от перпендикуляра к экрану, тем больше основание треугольника при той же вершине $\Delta \varphi$, поэтому плотность пуль с отклонением от точки экрана напротив щели падает. Можно отсюда найти распределение.

С одной пулей нужно так же рассуждать. Вероятность пули полететь внутри малого угла $\Delta \varphi$ не зависит от $\varphi$, а основание треугольника, вершина которого есть $\Delta \varphi$ , а основание - кусочек экрана, зависит от $\varphi$. Отсюда можно вычислить вероятность попадания пули в конкретный кусочек на экране.

[Утундрий]

sergey zhukov в сообщении #1618411 писал(а):

Отсюда можно вычислить вероятность попадания пули в конкретный кусочек на экране.

$$\sim \frac{1}{\sqrt{l^2+r^2}}$$

[EUgeneUS]

Утундрий
У меня получилось:

$$ \sim \frac{1}{l(1+(\frac{x^2}{l^2}))}$$

А у Вас ус отклеился и интеграл разошелся.

[EUgeneUS]

И получается,

при $a \le \frac{l}{\cos \frac{\pi}{6}}$ распределение одногорбое,
а при $a > \frac{l}{\cos \frac{\pi}{6}}$ распределение двугорбое.
Где $a$ - расстояние между пулеметами.

[Утундрий]

Да, ерунду написал. Откуда-то на последнем шаге выскочил внезапный радикал.

[Doctor Boom]

kzv в сообщении #1618334 писал(а):

математической точки зрения совершенно неясно, почему максимум должен быть единственным

Там смысл в том, что в случае интерференции картина от двух щелей не является "механической" суммой картин от каждой щели по отдельности, как в классике. Например когда "накладываются" две одинаковые плотности электронов, то может получиться плотность, в четыре раза больше каждой (а не в два, как с пулями), или вообще ноль, там не будет электронов, потому что складываются амплитуды с фазой, а плотности (интенсивности) считаются как квадраты модуля амплитуд

-- 17.11.2023, 17:04 --

kzv в сообщении #1618334 писал(а):

Действительно, ведь зависящая от времени вероятность должна иметь, как минимум, два равноудаленных от щели максимума?

Время вообще не нужно, нам главное только координаты попадания пуль на экран. Если вводиться время, то будет вероятностное распределение по времени, а в пространстве (на экране) две равновероятностные симметричные точки для каждого момента времени. Но это только все усложняет

-- 17.11.2023, 17:12 --

EUgeneUS в сообщении #1618428 писал(а):

получается,

при $a \le \frac{l}{\cos \frac{\pi}{6}}$ распределение одногорбое,
а при $a > \frac{l}{\cos \frac{\pi}{6}}$ распределение двугорбое.
Где $a$ - расстояние между пулеметами.

Теперь хорошо бы найти распределение амплитуд для электронов и посчитать скалярное произведение, для $a=0$ должно быть единица, а для $a>0$ ноль