Часть 1. В фейнмановском курсе физики (т.3) предлагается ряд мысленных экспериментов, среди которых «опыт с пулеметной стрельбой». Для этого опыта Фейнман предлагает рассмотреть стреляющий в случайные стороны пулемет, пули от которого могут попасть на экран с двумя щелями, проходя через щели, пули случайным образом летят дальше в разные стороны, пока не попадут в детектор на оси
Когда открыты обе щели, в книге Фейнмана изображена вероятность
Это распределение нарисовано с единственным максимумом в точке, равноудаленной от первой и второй щели.
С математической точки зрения
совершенно неясно, почему максимум должен быть единственным. Если мы складываем две функции, каждая из которых имеет свой максимум то, в общем случае, у результирующей функции должно быть три максимума! Несмотря на очевидность данного факта, при желании его можно вывести строго математически.
Пусть распределения вероятностей
и
– нормальные. Начало координат в точке, которая равноудалена от щелей на оси
, расстояние между щелями
Ищем производную от суммы и приравниваем к нулю:
Получаем три корня, которым соответствуют экстремумы:
Это конечно не интерференционная картина, но все-таки более сложный рисунок, чем тот, который показан в книге Фейнмана.
Часть 2. Если открыта только одна щель, то в той же книге Фейнмана приводится распределение вероятности, похожее на нормальное распределение с одним максимумом. Действительно, если после щели пуля может лететь под любым углом с одинаковой вероятностью, то на прямой оси
, плотность вероятности должна быть максимальной напротив щели и уменьшаться при удалении в бесконечность.
Возникает вопрос: а не является ли такое нормальное распределение неким усредненным по времени? Действительно, ведь зависящая от времени вероятность должна иметь, как минимум, два равноудаленных от щели максимума? Если представить, что выпустили всего одну пулю, с известной скоростью
в известное время
, то если пуля пройдет через щель и продолжит движение по прямой траектории, в конкретной точке
эта пуля может оказаться лишь в одно конкретное время
. В любое другое время, вероятность найти пулю в данной точке
будет равна нулю.
В любой момент времени есть два равноудаленных от щели расстояния, которым соответствуют две точки
и
. Путь, пройденный до этих точек за время
одинаков:
Где
- это расстояние от щелей до экрана,
- время движения от щели до экрана.
Вероятность нахождения пули в конкретном месте, является функцией от координаты и значит функцией от времени:
Если все верно, то открыв две щели, в зависящем от времени распределении вероятностей будет уже точно не один и даже не три, а
четыре максимума.