Парадокс равномерного распределения на нат. числах

[KhAl]

Doctor Boom писал(а):

Приведите такую задачу, для которой моего понимания "на пальцах" было бы недостаточно

Пусть $\xi_n$ — последовательность случайных величин (не независимых), принимающих значение на луче $[0; +\infty)$. Пусть событие $\xi_n \to 0$ имеет вероятность 1. Доказать, что матожидание $M[\xi_n] \to 0$.



-- 07.11.2023, 04:24 --

Doctor Boom писал(а):

mihaild
KhAl
Хорошо, что для вас представляет такой объект

Doctor Boom в сообщении #1616579 писал(а):

Случайное двоичное число вида $0,a_1 a_2 ...$ где $a_i$ СВ из множества $0$ и $1$ с равными вероятностями

он как-то связан с равномерным распределением?

То есть Вы определения можете не давать, а Вам все должны? Я так не играю.

Что-то для меня он представляет, но я-то 1) не претендую на то, что придумал что-то, эквивалентное мере Лебега, и не ссылаюсь на это понятие как на самоочевидную часть в своём определении 2) если бы претендовал, привёл бы определение мгновенно. Сейчас я его давать не буду, потому что это даёт Вам простор для мошенничества. Вытягивать из оппонентов что-то содержательное, на каждом шагу говорить "вот из этого вот очевидно следует...", а когда говорят, что не очевидно и что нужно доказать — "а Вы докажите, что нет...". Вы привели конструкцию, Вам объяснять, какие слова что значат.

-- 07.11.2023, 04:30 --

Doctor Boom писал(а):

Вообще любая СВ задается функцией распределения, этого пока хватало

1) пока Вы не привели ни одной функции распределения. 2) вообще-то нет, бывает так, что две случайные величины разные, а функции распределения у них совпадают.

[talash]

Doctor Boom в сообщении #1615571 писал(а):

Кстати, если мы будем смотреть на цифры "корректно" определенной равномерной СВ на отрезке, то они должны быть независимы и равновероятны, вот только тогда возможны события $0,01(1)$ и $0,10(0)$, т.е. как бы "вероятность" для чисел вида $\frac{1}{2^n}$ в два раза больше, чем для других. Это нормально, да?

Существование двух форм записи числа это уже "корявство". И непонятно зачем оно нужно, так как можно рассматривать бесконечную десятичную дробь или как приближённую запись, где мы можем произвольно вписать конечное количество цифр периода или как предел.

[Doctor Boom]

KhAl в сообщении #1616588 писал(а):

Пусть $\xi_n$ — последовательность случайных величин (не независимых), принимающих значение на луче $[0; +\infty)$. Пусть событие $\xi_n \to 0$ имеет вероятность 1. Доказать, что матожидание $M[\xi_n] \to 0$.

$\xi_n \to 0$ имеет вероятность 1 это означает, что для любого $\varepsilon>0$ существует такое $N_{\varepsilon}$, что для $N>N_{\varepsilon}$ $\xi_N<0$. Пусть матожидание первых $N_{\varepsilon}$ членов равно $M$, тогда матожидание первых $N$ членов ограничено сверху $\frac{MN_{\varepsilon}+\varepsilon(N-N_{\varepsilon})}{N}$, и при стремлении $N \rightarrow \infty$ оно стремится к $\varepsilon$. А раз верхнее ограничение $\varepsilon$ можно взять сколько угодно малым, то матожидание равно нулю

KhAl в сообщении #1616588 писал(а):

То есть Вы определения можете не давать, а Вам все должны? Я так не играю.

Для меня очевидно, что оно задает равномерное распределение, и это можно легко показать. Когда у нас есть равномерная СВ на отрезке, то значит вероятность попадания в любую область зависит только от меры это области, в частности от длины отрезка, поэтому легко показать, что двоичные цифры такой СВ будут независимыми случайными величинами. А значит объект, представляющий собой совокупность СВ цифр своего разложение соответствует СВ равномерного распределения.

KhAl в сообщении #1616588 писал(а):

Сейчас я его давать не буду, потому что это даёт Вам простор для мошенничества. Вытягивать из оппонентов что-то содержательное, на каждом шагу говорить "вот из этого вот очевидно следует...", а когда говорят, что не очевидно и что нужно доказать — "а Вы докажите, что нет...". Вы привели конструкцию, Вам объяснять, какие слова что значат.

Это неконструктивный подход - демонстративно не понимать каких-то очевидных вещей (или то, что имеет ввиду собеседник), требовать непонятно что, и самому отказываться приводить то, что вам надо Это вы начали дискуссию, а я как будто что-то вам должен

KhAl в сообщении #1616588 писал(а):

пока Вы не привели ни одной функции распределения.

$F(x)=x$ пойдет?

KhAl в сообщении #1616588 писал(а):

вообще-то нет, бывает так, что две случайные величины разные, а функции распределения у них совпадают

Да ладно, а можно пример?

-- 07.11.2023, 21:52 --

talash в сообщении #1616617 писал(а):

Существование двух форм записи числа это уже "корявство".

Попытайтесь задать такую СВ, лишенную данного недостатка

[KhAl]

Doctor Boom писал(а):

Пусть матожидание первых $N_{\varepsilon}$ членов равно $M$

так у меня не "матожидание первых $N$ членов", а матожидание $n$-й из заданных случайных величин; так и записал: $M[\xi_n]$.

Вы показали, что с вероятностью $1$ сходится к нулю последовательность $a_n = \frac{\xi_1 + \xi_2 + ... + \xi_n}{n}$. Эта величина не равна $M[\xi_n]$ и максимально далека от того.

-- 07.11.2023, 22:17 --

Doctor Boom писал(а):

Да ладно, а можно пример?

ну, например, две независимых случайных величины с одной и той же функцией распределения. Ежели это одна случайная величина, она независима сама с собой быть не может.

[dgwuqtj]

Doctor Boom в сообщении #1616731 писал(а):

$\xi_n \to 0$ имеет вероятность 1 это означает, что для любого $\varepsilon>0$ существует такое $N_{\varepsilon}$, что для $N>N_{\varepsilon}$ $\xi_N<\varepsilon$.

Так ведь тут $N_\varepsilon$ тоже будет случайной величиной в общем случае, то есть дальнейшие рассуждения не работают.

[Doctor Boom]

KhAl в сообщении #1616735 писал(а):

так у меня не "матожидание первых $N$ членов", а матожидание $n$-й из заданных случайных величин; так и записал: $M[\xi_n]$.

Тогда еще тривиальнее
$\xi_n \to 0$ имеет вероятность 1 это означает, что для любого $\varepsilon>0$ существует такое $N_{\varepsilon}$, что для $N>N_{\varepsilon}$ $\xi_N<\varepsilon$. Тогда матожидание $M[\xi_n]$ ограничено сверху $\varepsilon$, а это значит, что для любого $\varepsilon>0$ существует такое $N_{\varepsilon}$, что для $N>N_{\varepsilon}$ $M[\xi_n]<\varepsilon$, а значит $M[\xi_n] \to 0$

KhAl в сообщении #1616735 писал(а):

ы показали, что с вероятностью $1$ сходится к нулю последовательность $a_n = \frac{\xi_1 + \xi_2 + ... + \xi_n}{n}$. Эта величина не равна $M[\xi_n]$ и максимально далека от того.

Даже отсюда легко показать, что из первого следует стремлению к нулю второго

KhAl в сообщении #1616735 писал(а):

ну, например, две независимых случайных величины с одной и той же функцией распределения. Ежели это одна случайная величина, она независима сама с собой быть не может.

А, ну тривиальщина Если эти СВ рассматривать по отдельности, вы их никак не отличите на практике

-- 07.11.2023, 22:36 --

dgwuqtj в сообщении #1616738 писал(а):

Так ведь тут $N_\varepsilon$ тоже будет случайной величиной в общем случае, то есть дальнейшие рассуждения не работают.

Приведите тогда свое понимание фразы

KhAl в сообщении #1616588 писал(а):

Пусть событие $\xi_n \to 0$ имеет вероятность 1

[dgwuqtj]

Doctor Boom в сообщении #1616739 писал(а):

Приведите тогда свое понимание фразы

Берём событие $\xi_n \to 0$, оно чудесным образом попадает в сигма-алгебру, так что у него имеется вероятность.

[KhAl]

Doctor Boom писал(а):

$\xi_n \to 0$ имеет вероятность 1 это означает, что для любого $\varepsilon>0$ существует такое $N_{\varepsilon}$, что для $N>N_{\varepsilon}$ $\xi_N<\varepsilon$

а здесь уже работает замечание dgwuqtj.

-- 07.11.2023, 23:33 --

Doctor Boom писал(а):

Даже отсюда легко показать, что из первого следует стремлению к нулю второго

Ваш любимый ЗБЧ?

[Doctor Boom]

dgwuqtj в сообщении #1616743 писал(а):

Берём событие $\xi_n \to 0$, оно чудесным образом попадает в сигма-алгебру, так что у него имеется вероятность.

А поподробнее?
Ну тогда можно найти такое $N_{\varepsilon}$, что вероятностью $\xi_N>\varepsilon$ можно пренебречь

KhAl в сообщении #1616751 писал(а):

Ваш любимый ЗБЧ?

Ну можно и так

[KhAl]

Doctor Boom писал(а):

Ну можно и так

Ну и Вам всё равно, что ЗБЧ формулируется для последовательности независимых, одинаково распределённых случайных величин, да и то не для всех.

Doctor Boom писал(а):

Ну тогда можно найти такое $N_{\varepsilon}$, что вероятностью $\xi_N>\varepsilon$ можно пренебречь

А поподробнее?

Вы на 100% уверены в своём доказательстве?

[dgwuqtj]

Doctor Boom в сообщении #1616779 писал(а):

А поподробнее?

Все дальнейшие подробности явно используют строгое определение вероятностного пространства и случайных событий. А вы из принципа хотите обойтись без них.

[Doctor Boom]

KhAl в сообщении #1616782 писал(а):

Ну и Вам всё равно, что ЗБЧ формулируется для последовательности независимых, одинаково распределённых случайных величин, да и то не для всех.

Так я не ЗБЧ доказывал

KhAl в сообщении #1616782 писал(а):

А поподробнее?

Все дальнейшие подробности явно используют строгое определение вероятностного пространства и случайных событий, а я из принципа хочу обойтись без них

KhAl в сообщении #1616782 писал(а):

Вы на 100% уверены в своём доказательстве?

Конечно нет. Я вообще не люблю задачи на доказательство, лучше что-то посчитать (для последнего хотя бы верный ответ подкрепляет верность решения, а для первого часто докапываться можно сколько угодно)

dgwuqtj в сообщении #1616797 писал(а):

А вы из принципа хотите обойтись без них

Так я хочу ваше решение понять

[KhAl]

Doctor Boom писал(а):

Конечно нет. Я вообще не люблю задачи на доказательство, лучше что-то посчитать (для последнего хотя бы верный ответ подкрепляет верность решения, а для первого часто докапываться можно сколько угодно)

Вы просили задачу, которую Вы не сможете решить.

Вы либо решили задачу, либо нет. "Я что-то написал, но не уверен, что это решение" означает, что задачу Вы не решили.

-- 08.11.2023, 15:13 --

И вообще, почему Вы делаете столько категоричных утверждений, если уверенности в своих рассуждениях у Вас нет?

-- 08.11.2023, 15:15 --

Doctor Boom писал(а):

Так я хочу ваше решение понять

dgwuqtj вроде никакого решения не предлагал?

[dgwuqtj]

KhAl в сообщении #1616588 писал(а):

Пусть $\xi_n$ — последовательность случайных величин (не независимых), принимающих значение на луче $[0; +\infty)$. Пусть событие $\xi_n \to 0$ имеет вероятность 1. Доказать, что матожидание $M[\xi_n] \to 0$.

Кажется, это неверно, матожидания могут и неограниченно возрастать. Даже если предположить, что все они существуют.

[Doctor Boom]

KhAl в сообщении #1616858 писал(а):

Вы просили задачу, которую Вы не сможете решить

Скорее на расчет, по вышеозвученным причинам

KhAl в сообщении #1616858 писал(а):

Вы либо решили задачу, либо нет. "Я что-то написал, но не уверен, что это решение" означает, что задачу Вы не решили.

Ложный дуализм, решения бывают разного уровня строгости.
Хотел бы я глянуть на ваше решение, если похоже что доказываемое утверждение вообще ложно

KhAl в сообщении #1616858 писал(а):

И вообще, почему Вы делаете столько категоричных утверждений, если уверенности в своих рассуждениях у Вас нет?

Где вы увидели категоричность? Просто утверждения.

KhAl в сообщении #1616858 писал(а):

dgwuqtj вроде никакого решения не предлагал?

Он опубликовал часть решения