Кольца остатков от деления на многочлен

[seraphimt]

Добрый день. Подскажите, пожалуйста, с таким вопросом. Стоит задача классифицировать кольца вида $\mathbb R[x]/(ax^2+bx+c)$ т.е остатки от деления на многочлен с коэффициентами из $\mathbb R$. С точностью до изоморфизма. Насколько я понимаю, есть 8 случаев, в зависимости 0 или не 0 один из 3х коэффициентов. По крайней мере на лекции давали определение комплексных чисел через остатки от деления на $\mathbb R[x]/(x^2+1)$ и получались все возможные выражения вида $ax+b$. Значит, насколько понимаю, нет разницы, какую константу берём, всё зависит именно от ноль-не ноль. Но не понятно в чём разница между, например, $\mathbb R[x]/(ax^2+bx+c)$ и $\mathbb R[x]/(ax^2+c)$. Есть ли она вообще?
Для $\mathbb R[x]/(c)$ очевидно, что это будет аналог $\mathbb Z/n\mathbb Z$, где $x+c=x$ и в случае $с=0$ совпадёт с $\mathbb R$.

[dgwuqtj]

То есть вы думаете, что $\mathbb R[x] / (x^2 + 1)$ и $\mathbb R[x] / (x^2 - 1)$ изоморфны? Ну и $\mathbb R[x] / (0)$ точно не изоморфно $\mathbb R$.

[StepV]

seraphimt в сообщении #1615316 писал(а):

Стоит задача классифицировать кольца вида $\mathbb R[x]/(ax^2+bx+c)$ т.е остатки от деления на многочлен с коэффициентами из $\mathbb R$.

Попробуйте классифицировать в зависимости от того, разложим или не разложим многочлен в поле $\mathbb{R}$, т.е. от того, комплексные у него корни или действительные.

[dgwuqtj]

Можно ещё начать с факторизации по многочленам 1 степени, всё равно эти же случаи вылезут в вашей задаче.

[seraphimt]

dgwuqtj в сообщении #1615396 писал(а):

Можно ещё начать с факторизации по многочленам 1 степени, всё равно эти же случаи вылезут в вашей задаче.

Я не понимаю, честно говоря, что значит факторизация и почему она вылезет

[dgwuqtj]

У вас же в условии факторкольцо, ну и начните со случая $a = 0$. Я не имел в виду разложение на множители, разумеется.

[seraphimt]

Вроде относительно разобрался.
1) если всё коэффициенты равны нулю, то получаем $\mathbb R[x]$ т.к идеал, порождённым нулём охватит всё кольцо.
2) если a=0,b=0$, то будет 0 тк каждый элемент делится на каждый с остатком 0 и других классов нет.
3) если a=0$, то будет $\mathbb R$, тут очевидно.
4) если a\ne 0$ и есть 2 разных корня, то будет $\mathbb R \times \mathbb R$ т.к тут будет прямое произведение колец $\frac{\mathbb R[x]}{x-x_1} \times \frac{\mathbb R[x]}{x-x_2} $, каждое из которых изоморфно $\mathbb R$ .
5) если a\ne 0$ и есть 1 повторный корень, то тут будут некие дуальные числа, с ними пока не разобрался что это, слышал про них на лекции.
6) если a\ne 0$ и нет корней в $\mathbb R[x]$ , то будут комплексные числа. Идейно понимаю почему, но над изоморфизмом пока думаю
Ничего не упустил?

[dgwuqtj]

Примерно так, только в 1 пункте идеал, порождённый нулём, только из 0 и состоит (а не охватывает что-то там), в пункте 3 вы забыли условие $b \neq 0$. А в последних пунктах можете использовать выделение полного квадрата из квадратичного трёхчлена, чтобы потом сделать замену $x \mapsto px + q$ с $p \neq 0$.

[StepV]

Прошу прощения, что вмешиваюсь в ваш диалог, но у меня для задачи получаются другие варианты. Хотя я допускаю, что у меня неточное понимание вопроса. Тогда надеюсь, что мне объяснят, в чем ошибка.

seraphimt в сообщении #1616067 писал(а):

4) если $a\ne 0$ и есть 2 разных корня, то будет $\mathbb R \times \mathbb R$

Если оба корня в $\mathbb{R}$, то мы имеем факторкольцо с двумя делителями нуля, которые соответствуют корням многочлена. Кольцо с делителями нуля не может быть изоморфно $\mathbb{R}$.

seraphimt в сообщении #1616067 писал(а):

5) если $a\ne 0$ и есть 1 повторный корень

Тут будет факторкольцо с одним делителем нуля, соответствующим корню.

seraphimt в сообщении #1616067 писал(а):

6) если $a\ne 0$ и нет корней в $\mathbb R[x]$

Будет уже не кольцо, а поле $\mathbb{C}$.

[dgwuqtj]

StepV в сообщении #1616082 писал(а):

Если оба корня в $\mathbb{R}$, то мы имеем факторкольцо с двумя делителями нуля, которые соответствуют корням многочлена. Кольцо с делителями нуля не может быть изоморфно $\mathbb{R}$.

Ну так $\mathbb R \times \mathbb R$ и не изоморфно $\mathbb R$, в нём есть делители нуля $(1, 0) (0, 1) = 0$.

StepV в сообщении #1616082 писал(а):

Тут будет факторкольцо с одним делителем нуля, соответствующим корню.

Делителей нуля там бесконечно много, они образуют одномерное подпространство.
Ну и поле $\mathbb C$ является кольцом разумеется.

[StepV]

dgwuqtj в сообщении #1616088 писал(а):

Ну и поле $\mathbb C$ является кольцом разумеется.

Разумеется. Просто хотел выделить этот случай в отдельный от предыдущих..

[seraphimt]

dgwuqtj в сообщении #1616068 писал(а):

идеал, порождённый нулём, только из 0 и состоит (а не охватывает что-то там),

Да, неправильно сказал. Имел в виду, что при факторизации по нулю у нас в одном классе будут все элементы вида $\mathbb R[x] + 0$ т.е разные мночлены попадут в разные классы и в итоге у нас будет всё $\mathbb R[x]$ .