Вроде относительно разобрался.
1) если всё коэффициенты равны нулю, то получаем
![$\mathbb R[x]$ $\mathbb R[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/3/a73e481a97c752fbb60371e92f0da38f82.png)
т.к идеал, порождённым нулём охватит всё кольцо.
2) если
![a=0,b=0$ a=0,b=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/9/5099de18b7c807a509407f28558c5af882.png)
, то будет 0 тк каждый элемент делится на каждый с остатком 0 и других классов нет.
3) если
![a=0$ a=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/2/e423ec4113a58efef59882591490d1f282.png)
, то будет
![$\mathbb R$ $\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0baa1bd1772406881ea71a3524054d82.png)
, тут очевидно.
4) если
![a\ne 0$ a\ne 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/9/5897d26fcacba9a389e2647706b6e78582.png)
и есть 2 разных корня, то будет
![$\mathbb R \times \mathbb R$ $\mathbb R \times \mathbb R$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/a/91a8a44b759730d1393c0fb70b70b15e82.png)
т.к тут будет прямое произведение колец
![$\frac{\mathbb R[x]}{x-x_1} \times \frac{\mathbb R[x]}{x-x_2} $ $\frac{\mathbb R[x]}{x-x_1} \times \frac{\mathbb R[x]}{x-x_2} $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/b/5bb5e7ceb0e05f3f089b1a66f2b33e3d82.png)
, каждое из которых изоморфно
![$\mathbb R$ $\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0baa1bd1772406881ea71a3524054d82.png)
.
5) если
![a\ne 0$ a\ne 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/9/5897d26fcacba9a389e2647706b6e78582.png)
и есть 1 повторный корень, то тут будут некие дуальные числа, с ними пока не разобрался что это, слышал про них на лекции.
6) если
![a\ne 0$ a\ne 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/9/5897d26fcacba9a389e2647706b6e78582.png)
и нет корней в
![$\mathbb R[x]$ $\mathbb R[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/3/a73e481a97c752fbb60371e92f0da38f82.png)
, то будут комплексные числа. Идейно понимаю почему, но над изоморфизмом пока думаю
Ничего не упустил?