Вроде относительно разобрался.
1) если всё коэффициенты равны нулю, то получаем
![$\mathbb R[x]$ $\mathbb R[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/3/a73e481a97c752fbb60371e92f0da38f82.png)
т.к идеал, порождённым нулём охватит всё кольцо.
2) если

, то будет 0 тк каждый элемент делится на каждый с остатком 0 и других классов нет.
3) если

, то будет

, тут очевидно.
4) если

и есть 2 разных корня, то будет

т.к тут будет прямое произведение колец
![$\frac{\mathbb R[x]}{x-x_1} \times \frac{\mathbb R[x]}{x-x_2} $ $\frac{\mathbb R[x]}{x-x_1} \times \frac{\mathbb R[x]}{x-x_2} $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/b/5bb5e7ceb0e05f3f089b1a66f2b33e3d82.png)
, каждое из которых изоморфно

.
5) если

и есть 1 повторный корень, то тут будут некие дуальные числа, с ними пока не разобрался что это, слышал про них на лекции.
6) если

и нет корней в
![$\mathbb R[x]$ $\mathbb R[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/3/a73e481a97c752fbb60371e92f0da38f82.png)
, то будут комплексные числа. Идейно понимаю почему, но над изоморфизмом пока думаю
Ничего не упустил?