Откуда мнимая часть в сигнале с квадратурной ам. модуляцией?

[svv]

(Оффтоп)

Осознавая, как мало значит моё частное мнение, всё-таки скажу, что в этой дискуссии согласен с realeugene, а позицию pppppppo_98 не разделяю.

[EUgeneUS]

(Оффтоп)

svv
"плюс стопицот".

ИМХО:
Вопрос вида: если в КЭД все измеряемые - квадраты напряженности, а классическая электродинамика есть предельный случай КЭД, то как в классической электродинамике можно измерять вектор напряженности - справедливый и интересный.

А утверждать, что все измеряемые - квадраты напряженностей (подразумевая, что мы всегда измеряем квадраты напряженностей), потому что так в КЭД, это утрирование какое-то.

[realeugene]

(Оффтоп)

Кстати, у комплексных векторов в общем случае направления нет. А у действительных таки есть. Так что, определённое направление напряженности поля появляется при переходе от квантового комплексного векторного поля к классическому действительному, как и вообще появляется определённое значение поля в каждый момент времени, измеримое во всех точках пространства совместно.

[Alex Krylov]

Позволю себе дополнить. А откуда вообще возникает потребность в квадратурных компонентах? Для чего они? Зачем городить огород?

Путь $x_\text{НЧ}(t)=x_I(t)+jx_Q(t)$ - комплексный НизкоЧастотный сигнал.
Тогда $x_\text{РЧ}(t)=\frac{1}{2}(x_\text{НЧ}(t)\exp(j w_c t) + \overline{x_\text{НЧ}(t)\exp(j w_c t)}) = A(t)\cos(w_c t +\varphi(t))$ - соответствующий РадиоЧастотный сигнал на радиочастоте $w_c$.

А теперь хотим выполнить обратную операцию и перенести радиосигнал $x_\text{РЧ}(t)$ обратно на низкую частоту наивным образом, т.е. простым умножением РЧ-сигнала на $\cos((w_c+\Delta w) t)$ и отфильтровыванием возникающих высокочастотных компонент с удвоенной частотой. Здесь $\Delta w$ - частотная расстройка.

Математически это выразится так: $x_{\text{РЧ}\to\text{НЧ}}(t)=A(t)\cos(w_c t +\varphi(t))\cos((w_c+\Delta w) t)=$
$=\frac{1}{4}(x_\text{НЧ}(t)\exp(j w_c t) + \overline{x_\text{НЧ}(t)\exp(j w_c t)})(\exp(j (w_c+\Delta w) t) + \exp(-j(w_c+\Delta w) t))=$
$=\frac{1}{4}(x_\text{НЧ}(t)\exp(j \Delta w t) + \overline{x_\text{НЧ}(t)\exp(j \Delta w t)})+$
$+\frac{1}{4}(x_\text{НЧ}(t)\exp(j (2w_c+\Delta w) t) + \overline{x_\text{НЧ}(t)\exp(j (2w_c+\Delta w) t)})$

После отфильтровывания ВЧ-компонент с удвоенной радиочастотой имеем: $x_{\text{РЧ}\to\text{НЧ}}(t)=\frac{1}{4}(x_\text{НЧ}(t)\exp(j \Delta w t) + \overline{x_\text{НЧ}(t)\exp(j \Delta w t)})$

Что это такое с точки зрения СПЕКТРОВ? А вот что: $X_{\text{РЧ}\to\text{НЧ}}(w)=\frac{1}{4}(X(w-\Delta w) + \overline{X(-w-\Delta w)})$. Вот это $X(w-\Delta w)$ - спектр исходного комплексного НЧ-сигнала, сдвинутый на $\Delta w$ вправо (если $\Delta w>0$), а вот это $\overline{X(-w-\Delta w)}$ - его зеркальная (и комплексно сопряженная) копия, но в области отрицательных частот. И при малом $\Delta w$ имеет место НАЛОЖЕНИЕ СПЕКТРОВ (т.к. спектры $X(w-\Delta w)$ и $\overline{X(-w-\Delta w)}$ перекрываются)!!!! Т.е. мы не получаем желанный сигнал $x_\text{НЧ}(t)$, а получаем ТУФТУ! Из-за наложения спектров произошла потеря информации об исходном сигнале.

Видим, что при чисто "ВЕЩЕСТВЕННОМ" подходе (из-за возникающего наложения спектров) мы не можем перенести РЧ-сигнал на сколь угодно малые частоты. Вот отсюда и возникает потребность в так называемых КВАДРАТУРНЫХ КОМПОНЕНТАХ и соотв. представлении сигнала - для однозначного представления сигнала без потери и искажения информации при переносах частоты.

[Alex Krylov]

А теперь задействуем квадратурный смеситель с возникающими на его выходе квадратурными компонентами:

$x_{\text{РЧ}\to\text{НЧ}}(t)=A(t)\cos(w_c t +\varphi(t))\exp(-j(w_c+\Delta w) t)=$
$=\frac{1}{2}(x_\text{НЧ}(t)\exp(j w_c t) + \overline{x_\text{НЧ}(t)\exp(j w_c t)})\exp(-j(w_c+\Delta w) t)=$
$=\frac{1}{2}(x_\text{НЧ}(t)\exp(-j \Delta w t) + \overline{x_\text{НЧ}(t)\exp(j (2w_c+\Delta w))})$

После отфильтровывания высокочастотных компонент имеем: $x_{\text{РЧ}\to\text{НЧ}}(t)=\frac{1}{2}x_\text{НЧ}(t)\exp(-j \Delta w t)$

По сравнению с "наивным" подходом, продемонстрированным постом выше, тут не возникает никаких наложений спектра!

[pppppppo_98]

Alex Krylov в сообщении #1618319 писал(а):

После отфильтровывания ВЧ-компонент с удвоенной радиочастотой имеем: $x_{\text{РЧ}\to\text{НЧ}}(t)=\frac{1}{4}(x_\text{НЧ}(t)\exp(j \Delta w t) + \overline{x_\text{НЧ}(t)\exp(j \Delta w t)})$

Тут из зала пришел вопрос...Сразу поле приемной антенны стоит усилитель, и только после него идет детектирование - то есть на стадии детектирования прииходит усиленный сигнал, после чего как вы расписали выходит две компоненты - низкочастотная (на промежуточной частоте) и компонента с удвоенной частотой... И далее идет низкочастоный фильтр. И собственно вопрос из зала. Фильтр ведь не диссипирует энергию высокочастотной комоненты - стало быть она поначалу накапливается в реактивных компонентах входного тракта, а затем переизлучается в пространство? И стало быть приемная антенна становится передающей на удвоенной частоте?

[Alex Krylov]

pppppppo_98 в сообщении #1618594 писал(а):

Alex Krylov в сообщении #1618319 писал(а):

После отфильтровывания ВЧ-компонент с удвоенной радиочастотой имеем: $x_{\text{РЧ}\to\text{НЧ}}(t)=\frac{1}{4}(x_\text{НЧ}(t)\exp(j \Delta w t) + \overline{x_\text{НЧ}(t)\exp(j \Delta w t)})$

Тут из зала пришел вопрос...Сразу поле приемной антенны стоит усилитель, и только после него идет детектирование - то есть на стадии детектирования прииходит усиленный сигнал, после чего как вы расписали выходит две компоненты - низкочастотная (на промежуточной частоте) и компонента с удвоенной частотой... И далее идет низкочастоный фильтр. И собственно вопрос из зала. Фильтр ведь не диссипирует энергию высокочастотной комоненты - стало быть она поначалу накапливается в реактивных компонентах входного тракта, а затем переизлучается в пространство? И стало быть приемная антенна становится передающей на удвоенной частоте?

Задавая вопросы, важно понимать КОНТЕКСТ! А этот самый КОНТЕКСТ таков: выше для иллюстрации МАТЕМАТИЧЕСКОГО феномена наложения спектров, возникающего при определенном способе переноса сигнала с "условно высокой" частоты на "условно низкую", была сконструирована МОДЕЛЬНАЯ ситуация. Если мы начнем отвлекаться на технические детали, то за деревьями потеряем лес, т.е. основную суть!

[realeugene]

Alex Krylov
Вы зачем орёте?

[Alex Krylov]

realeugene в сообщении #1618768 писал(а):

Alex Krylov
Вы зачем орёте?

Это не я "ору", а ваше воображение дорисовывает некие дополнительные коннотации...

[realeugene]

Alex Krylov в сообщении #1618784 писал(а):

:D Это не я "ору", а ваше воображение дорисовывает некие дополнительные коннотации...

В интернетах это стандартная коннотация: оллкапс - ор.

[Cos(x-pi/2)]

pppppppo_98 в сообщении #1618594 писал(а):

И собственно вопрос из зала. Фильтр ведь не диссипирует энергию высокочастотной комоненты - стало быть она поначалу накапливается в реактивных компонентах входного тракта, а затем переизлучается в пространство?

Вход фильтра с подключенной к его выходу нагрузкой $R>0$ можно описать как двухполюсник с комплексным импедансом $Z(\omega).$ Источник сигнала с частотой $\omega$ на входе этого двухполюсника - как генератор напряжения с заданной комплексной амплитудой $U$ на данной частоте. Тогда средняя за период мощность $P$, поглощаемая двухполюсником из генератора на данной частоте (эта мощность поступает в нагрузочное сопротивление $R),$ есть

$$P=|U|^2 \,\dfrac{\text{Re}Z}{2\,|Z|^2}$$

В случае ФНЧ имеем $0<\dfrac{\text{Re}Z}{|Z|^2} \ll \dfrac{1}{R}$ на высоких частотах. Т.е. здесь генератор напряжения работает на высокой частоте (на удвоенной несущей частоте принимаемого приёмником сигнала) как бы без нагрузки - напряжение он выдаёт, а усреднённая за период мощность от него почти не потребляется. Значит, энергия не накапливается в фильтре, излучать нечего.

Об излучении электромагнитной энергии самим этим устройством, как антенной, здесь речь не идёт, так как подразумевается, что размеры всего устройства малы по сравнению с длинами волн на обсуждаемых частотах.

[realeugene]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1618870 писал(а):

Об излучении электромагнитной энергии самим этим устройством, как антенной, здесь речь не идёт, так как подразумевается, что размеры всего устройства малы по сравнению с длинами волн на обсуждаемых частотах.

Ага, антенна узкополосная, излучать двойную частоту не умеет, фильтр тоже чисто реактивный, а значит, всё лишнее рассеивается выходным импедансом генератора.

[Alex Krylov]

Не хотелось уклоняться в сторону... Но каждый может выполнить поиск по ключевым словам "Direct-Conversion Receivers", "Advantages", "Problems", чтобы, во-первых, понять, что "Direct-Conversion Architectures" - это не какое-то "чудо чУдное", а вполне реальная вещь, а, во-вторых, ознакомиться с плюсами и минусами подобной архитектуры.

[realeugene]

Alex Krylov в сообщении #1618942 писал(а):

Но каждый может выполнить поиск по ключевым словам "Direct-Conversion Receivers",

Не-не, в том, что гуглится, на входе ещё нарисован входной фильтр и LNA, с ними очевидно, что обратно в антенну ничего не полезет.

[pppppppo_98]

realeugene в сообщении #1618943 писал(а):

обратно в антенну ничего не полезет.

а куда энергия высших гармоник денется?