Парадокс равномерного распределения на нат. числах

[Doctor Boom]

dgwuqtj
И да, мера не должна быть единичной Скажем $0,5$

-- 27.10.2023, 11:07 --

Хотя там тоже все просто

[mihaild]

Doctor Boom, а я тут недавно сообразил, что не знаю, что значит "конструктивно построить множество объектов с бесконечным описанием", а разбираться не хочу. Так что давайте определение.

-- 27.10.2023, 11:03 --

epros в сообщении #1614897 писал(а):

Только в том, что указано $(a,b)$, а не $[a,b)$?

В этом точно, может быть еще что-то, дальше не думал.

[Doctor Boom]

Пусть у нас есть $N$ первых знаков действительного числа на единичном отрезке, а оставшиеся знаки будут случайными. Верно ли, что при стремлении $N$ к бесконечности вероятность попадания в измеримое множество на этом отрезке стремится к единице или нулю? По крайней мере, для конструктивных множеств. Для всех известных примеров такое выполнялось

[dgwuqtj]

Doctor Boom в сообщении #1615018 писал(а):

Верно ли, что при стремлении $N$ к бесконечности вероятность попадания в измеримое множество на этом отрезке стремится к единице или нулю?

Неверно уже для измеримого множества $[0, a)$, если $a$ не представляется конечной десятичной дробью, а в качестве цифр брать цифры самого $a$.

[Doctor Boom]

dgwuqtj
А если изначальное число случайно?

[dgwuqtj]

Doctor Boom, а вы точную формулировку приведите, а то непонятно, что там за случайная величина должна быть 0 или 1.

[Doctor Boom]

dgwuqtj
Берем случайное число на отрезке, смотрим первые $N$ цифр, имеем после пересчета вероятности другое случайное число. А дальше то же самое

Doctor Boom в сообщении #1615018 писал(а):

Верно ли, что при стремлении $N$ к бесконечности вероятность попадания в измеримое множество на этом отрезке стремится к единице или нулю?

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1614830 писал(а):

А можно ли конструктивно построить множество ненулевой меры на единичном интервале, чтобы оно не было объединением ненулевых отрезков? (или счетным объединением любых отрезков)

Так как по epros в его алгебре нет ничего, кроме счётного числа отрезков, ответ очевиден - нельзя.

[Doctor Boom]

realeugene в сообщении #1615140 писал(а):

Так как по epros в его алгебре нет ничего, кроме счётного числа отрезков, ответ очевиден - нельзя.

А как же

dgwuqtj в сообщении #1614905 писал(а):

Множество $[0, 1] \setminus \mathbb Q$

Я тогда переформулирую
можно ли конструктивно построить множество ненулевой меры на единичном интервале, чтобы оно не было объединением ненулевых отрезков, из которых вырезано множество точек меры нуль?

[KhAl]

можно

[Doctor Boom]

KhAl
Пример в студию

[realeugene]

А давайте в качестве функции распределения возьмём Канторову лестницу https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0 ... 1%86%D0%B0 только её центральный отрезок пусть будет полуинтервалом $\left[\frac 1 \pi, \frac 2 \pi\right)$.

[Doctor Boom]

realeugene
Дык будет множество меры нуль

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1615166 писал(а):

Дык будет множество меры нуль

Да, все рациональные точки, кроме нулевой, вообще не являются точками роста этого распределения.

[Doctor Boom]

realeugene
А множество точек роста имеет меру нуль