Парадокс равномерного распределения на нат. числах

[mihaild]

epros в сообщении #1614624 писал(а):

Давайте попробуем найти конкретную проблему

Очень существенная часть тервера - про всякие сходимости. Если события не образуют сигма-алгебру, то "последовательность сходится в каком-то смысле" может вообще не быть событием.

[realeugene]

epros в сообщении #1614624 писал(а):

Выше realeugene уже указал на то, что есть подмножества, вероятность попадания в которые невозможно посчитать.

ОК, вы говорите, что не можете посчитать вероятность выпадения рационального числа с конечной десятичной записью - вопросов нет. Проблема с равномерным распределением вероятности на рациональных числах в другом. По смыслу вероятностной меры, она - число, она должна быть аддитивной, и мы должны уметь приписать эту меру каждому событию. Кроме того, вероятность универсального множества как сумма вероятностей всех элементарных событий должна быть единичной.

Если множество элементарных событий конечно, то мы можем каждому элементарному событию приписать вероятность $\frac 1 N$, и сумма их вероятностей автоматически будет единичной. Если у нас континуум элементарных событий, то мы можем каждому событию приписать нулевую вероятность, но с некоторыми дополнительными ограничениями мы можем эту нулевую вероятность каждого элементарного события как ненулевую плотность вероятности проинтегрировать по множеству элементарных событий и получить единицу. А вот если у нас пространство элементарных событий счётно, то как ни суммируй бесконечный ряд из нулей, в сумме получим нуль, а не единицу. Или придётся шатать основы матанализа. Но это будет уже какая-то другая математика.

-- 25.10.2023, 15:11 --

mihaild в сообщении #1614627 писал(а):

Если события не образуют сигма-алгебру

Счётное объединение подмножеств рациональных чисел счётно, и рациональные числа образуют сигма-алгебру. Но предложенная вероятность не сигма-аддитивна.

[mihaild]

realeugene в сообщении #1614631 писал(а):

Счётное объединение подмножеств рациональных чисел счётно, и рациональные числа образуют сигма-алгебру. Но предложенная вероятность не сигма-аддитивна

Так epros же предлагает запретить спрашивать вероятность некоторых странных множеств, а не сказать, что она не равна соответствующему пределу. Т.е., как я понимаю, объявить некоторые множества неизмеримыми, а не меру не-сигма-аддитивной.

[realeugene]

mihaild в сообщении #1614640 писал(а):

Т.е., как я понимаю, объявить некоторые множества неизмеримыми, а не меру не-сигма-аддитивной.

И в результате оказывается, что универсальное множество неизмеримо.

-- 25.10.2023, 16:16 --

Пусть $r_n$ - $n$-е рациональное число в некотором упорядочении. Тогда

$$Q=\bigcup_{n=1}^\infty \left\{r_n\right\}$$

Но

$$\sum_{n=1}^\infty P\left(\left\{r_n\right\}\right) = 0$$

[epros]

mihaild в сообщении #1614627 писал(а):

epros в сообщении #1614624 писал(а):

Давайте попробуем найти конкретную проблему

Очень существенная часть тервера - про всякие сходимости. Если события не образуют сигма-алгебру, то "последовательность сходится в каком-то смысле" может вообще не быть событием.

Ну да, счётное объединение отрезков не является "событием". Почему это проблема?

realeugene в сообщении #1614631 писал(а):

По смыслу вероятностной меры, она - число, она должна быть аддитивной, и мы должны уметь приписать эту меру каждому событию.

Да, она конечно-аддитивна. Любое конечное объединение отрезков является "событием", поэтому вероятность приписывается любому событию.

realeugene в сообщении #1614631 писал(а):

Кроме того, вероятность универсального множества как сумма вероятностей всех элементарных событий должна быть единичной.

Она единична не как сумма вероятностей отдельных "элементарных" событий, а как сумма вероятностей любого конечного множества событий, на которое разбивается универсум.

realeugene в сообщении #1614631 писал(а):

Если у нас континуум элементарных событий, то мы можем каждому событию приписать нулевую вероятность, но с некоторыми дополнительными ограничениями мы можем эту нулевую вероятность каждого элементарного события как ненулевую плотность вероятности проинтегрировать по множеству элементарных событий и получить единицу.

Мы тоже можем приписать точкам плотности вероятности и проинтегрировать их по Риману.

realeugene в сообщении #1614631 писал(а):

А вот если у нас пространство элементарных событий счётно, то как ни суммируй бесконечный ряд из нулей, в сумме получим нуль, а не единицу. Или придётся шатать основы матанализа. Но это будет уже какая-то другая математика.

А вот бесконечный ряд из нулей мы суммировать не будем, потому что бесконечное объединение - не событие.

realeugene в сообщении #1614631 писал(а):

Счётное объединение подмножеств рациональных чисел счётно, и рациональные числа образуют сигма-алгебру. Но предложенная вероятность не сигма-аддитивна.

Не рациональные числа образуют сигма-алгебру, а на множестве рациональных чисел можно определить сигма-алгебру. Но мы этого делать не будем, а ограничимся обычной алгеброй. Причём в качестве элементов алгебры возьмём не любые подмножества, а, например, только открытые справа полуинтервалы и их конечные объединения.

[realeugene]

epros в сообщении #1614653 писал(а):

А вот бесконечный ряд из нулей мы суммировать не будем, потому что бесконечное объединение - не событие.

Объединение всех рациональных чисел есть множество рациональных чисел. Без всякого теорвера. Множество рациональных чисел целиком у вас не событие?

Сумма бесконечного ряда, по определению, есть предел частичных сумм. Каждая частичная сумма - это вероятность объединения конечного множества элементарных событий, она существует и равна нулю. Этот ряд из нулевых частичных сумм сходится абсолютно, к нулю.

-- 25.10.2023, 17:06 --

Нет никаких проблем построить счётное вероятностное пространство на множестве рациональных чисел. Но не с равномерной вероятностью.

[mihaild]

epros в сообщении #1614653 писал(а):

Ну да, счётное объединение отрезков не является "событием". Почему это проблема?

Я подозреваю, что в результате даже ЦПТ сформулировать толком не получится.
Вообще, какие в точности аксиомы для вероятностного пространства Вы предлагаете? (само по себе $\mathbb Q \cap [0, 1]$ в качестве носителя понятно слишком бедное, на нём даже случайный процесс толком не введешь)

[epros]

mihaild в сообщении #1614657 писал(а):

Я подозреваю, что в результате даже ЦПТ сформулировать толком не получится.

С чего бы это?

mihaild в сообщении #1614657 писал(а):

(само по себе $\mathbb Q \cap [0, 1]$ в качестве носителя понятно слишком бедное, на нём даже случайный процесс толком не введешь)

А это почему?

mihaild в сообщении #1614657 писал(а):

Вообще, какие в точности аксиомы для вероятностного пространства Вы предлагаете?

Да обычные аксиомы. Вероятностное пространство, это $(\Omega,\mathcal F, P)$, где:
1) $\Omega$ - непустое множество "элементарных исходов".
2) $\mathcal F$ - "алгебра событий", т.е. множество подмножеств $\Omega$, такое что:
- $\varnothing \in \mathcal F$,
- $x \in \mathcal F \to \Omega \setminus x \in \mathcal F$,
- $x \in \mathcal F \wedge y \in \mathcal F \to x \cup y \in \mathcal F$.
3) Для каждого $x \in \mathcal F$ определено неотрицательное действительное число $P(x)$ - "вероятность" события $x$.
4) $P(\Omega)=1$.
5) Вероятность аддитивна (но не обязательно сигма-аддитивна), т.е.:
- $x \cap y = \varnothing \to P(x \cup y)=P(x)+P(y)$.
6) Для любой последовательности $\{x_n\}$ такой, что $x_{n+1} \subseteq x_n$ и $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} x_n = \varnothing$, верно $\lim\limits_{n \to \infty} P(x_n) = 0$.

[mihaild]

Ваше 6е свойство влечет сигма-аддитивность (для случая, когда объединение измеримо). И $\mathbb Q \cap [0, 1)$ с алгеброй $\mathcal F$ - минимальной, содержащей все полуинтервалы, и вероятностью $P([a, b)) = P((a, b]) = b - a$ вашим свойствам не удовлетворяет.

[realeugene]

epros в сообщении #1614672 писал(а):

5) Вероятность аддитивна (но не обязательно сигма-аддитивна), т.е.:
- $x \cap y = \varnothing \to P(x \cup y)=P(x)+P(y)$.
6) Для любой последовательности $\{x_n\}$ такой, что $x_{n+1} \subseteq x_n$ и $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} x_n = \varnothing$, верно $\lim\limits_{n \to \infty} P(x_n) = 0$.

Как уже заметили, аксиомы сигма-аддитивности и непрерывности эквивалентны. Без сигма-аддитивности не будет и непрерывности. Можно взять ряд множеств рациональных чисел со знаменателем, большим $n$, и пересечение этого ряда есть пустое множество, но предел вероятности множеств в нём по вашему определению равен 1.

[epros]

mihaild в сообщении #1614675 писал(а):

Ваше 6е свойство влечет сигма-аддитивность (для случая, когда объединение измеримо).

Докажите.

mihaild в сообщении #1614675 писал(а):

И $\mathbb Q \cap [0, 1)$ с алгеброй $\mathcal F$ - минимальной, содержащей все полуинтервалы, и вероятностью $P([a, b)) = P((a, b]) = b - a$ вашим свойствам не удовлетворяет.

Продемонстрируйте несоответствие. С учётом того, что открытые слева полуинтервалы не нужны.

realeugene в сообщении #1614685 писал(а):

Можно взять ряд множеств рациональных чисел со знаменателем, большим $n$

Нельзя. Это множество не входит в алгебру событий.

[vicvolf]

Doctor Boom в сообщении #1614241 писал(а):

т.е. имеем равномерное распределение на $N$.

Докажите, что это вероятностное пространство.

[manul91]

Вроде в реальном мире говорить про точности попаданий в интервалах меньше планковской длины $\ell_P$ нет смысла - поэтому все эти вероятностные распределения над вещественных и рациональных в геометрическом отрезке $[0,1]$ (бесконечных множествах конечной меры), вероятность выпадения рационального числа с конечной десятичной записью и пр. - это сферические математические кони в вакууме, разве нет?

[mihaild]

epros в сообщении #1614705 писал(а):

Докажите.

Ну ладно, хотя в ПРР вроде должны быть самостоятельные попытки:)
Пусть $x_i \cap x_j = \varnothing$, $\bigcup\limits_{i=1}^\infty x_i = x$, $x_i \in \mathcal F$, $x \in \mathcal F$. Докажем, что $P(x) = \sum\limits_{i=1}^\infty P(x_i)$.
Пусть $X_n = \bigcup\limits_{i=1}^n x_i$, $Y_n = x \setminus X_n$. По второму пункту, $X_n, Y_n \in \mathcal F$.
По аддитивности, $P(X_n) = \sum\limits_{i = 1}^n P(x_i)$, $P(x) = P(X_n) + P(Y_n)$.
По шестому пункту, $\lim\limits_{n \to \infty} P(Y_n) = 0$.
Соответственно $P(x) = \lim\limits_{n \to \infty} P(X_n) + P(Y_n) = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n P(x_i) = \sum\limits_{i=1}^\infty P(x_n)$.

epros в сообщении #1614705 писал(а):

Продемонстрируйте несоответствие. С учётом того, что открытые слева полуинтервалы не нужны

Да даже без них.
Разность конечного объединение полуинтервалов и еще одного полуинтервала представляется в виде конечного объединения полуинтервалов. Будем по одному выкидывать полуинтервалы, содержащие $n$-е рациональное число, длиной $2^{-n-1}$. Получится убывающая последовательность множеств с пустым пересечением, мера каждого из которых больше $1/2$.

[realeugene]

epros в сообщении #1614705 писал(а):

Это множество не входит в алгебру событий.

Входит как дополнение конечного множества событий (у вас рациональные числа ограничены единичным отрезком).
Или у вас элементарные события не являются событиями?

-- 26.10.2023, 11:55 --

manul91 в сообщении #1614721 писал(а):

Вроде в реальном мире

Теорвер - это математика.

-- 26.10.2023, 12:00 --

epros в сообщении #1614705 писал(а):

Докажите.

А. А. Боровков, "Теория вероятностей", глава 2, параграф 1 "Аксиомы теории вероятностей", определение 4.