Парадокс равномерного распределения на нат. числах

[mihaild]

epros в сообщении #1614369 писал(а):

И вряд ли у кого-то возникнет потребность подсчитать вероятность попадания в такое хитрое подмножество $\mathbb{Q} \cap [0, 1]$, что потребуется сигма-аддитивность

Я думаю, что для того, чтобы вообще определить, что мы считаем, она потребуется. Иначе окажется, что два эквивалентных при её наличии способа посчитать одно и то же дают разные результаты.

Doctor Boom в сообщении #1614371 писал(а):

вот у вас есть СВ на $[0,1]$,

Так говорить нельзя.
Случайная величина определяется на вероятностном пространстве. Поэтому нужно указать, какая у вас алгебра и мера на $[0, 1]$.
(естественно по умолчанию понимается мера Лебега, но никто не запрещает взять другую)

[epros]

mihaild в сообщении #1614372 писал(а):

Я думаю, что для того, чтобы вообще определить, что мы считаем, она потребуется. Иначе окажется, что два эквивалентных при её наличии способа посчитать одно и то же дают разные результаты.

Определить, что мы считаем, нетрудно. Это вероятность попадания в отрезок или в объединение конечного множества отрезков. Для этого, как я понимаю, достаточно конечной аддитивности. Отсутствие сигма-аддитивности, разумеется, не позволит посчитать вероятность попадания в объединение бесконечного множества отрезков.

[mihaild]

epros в сообщении #1614382 писал(а):

Это вероятность попадания в отрезок или в объединение конечного множества отрезков

Ну длину множества, являющегося конечным объединением рациональных отрезков (жорданова?) мы посчитать сможем, вопрос зачем.
Вероятность часто нужна чтобы по ней что-то проинтегрировать. А с этим уже будут проблемы (а там где не будет, думаю результат будет эквивалентен честному взятию меры на всём отрезке).

[epros]

mihaild в сообщении #1614386 писал(а):

Вероятность часто нужна чтобы по ней что-то проинтегрировать. А с этим уже будут проблемы (а там где не будет, думаю результат будет эквивалентен честному взятию меры на всём отрезке).

А разве что-то помешает нам проинтегрировать что-то (в принципе интегрируемое) по Риману?

[mihaild]

epros в сообщении #1614391 писал(а):

А разве что-то помешает нам проинтегрировать что-то (в принципе интегрируемое) по Риману?

Тогда почему бы не взять сразу честно интеграл по вещественному отрезку? Численным методам всё равно, а аналитике удобнее.
Плюс можно сделать какое-нибудь преобразование, не сохраняющее рационалные числа, и будет понятно, что оно означает.

[epros]

mihaild в сообщении #1614393 писал(а):

Тогда почему бы не взять сразу честно интеграл по вещественному отрезку? Численным методам всё равно, а аналитике удобнее.
Плюс можно сделать какое-нибудь преобразование, не сохраняющее рационалные числа, и будет понятно, что оно означает.

Можно, но Вы же скажете, что $\mathbb{Q}$ - это множество меры нуль, так что вероятность попадания в него всегда нулевая. А так мы вроде как договорились, что в $\mathbb{Q}$ гарантированно попадаем.

[mihaild]

epros в сообщении #1614395 писал(а):

А так мы вроде как договорились, что в $\mathbb{Q}$ гарантированно попадаем.

Нет, мы ввели какую-то странную функцию на некоторых подмножествах $\mathbb Q$, и ограничили множество допустимых случайных величин интегрируемыми по Риману. Зачем это делать, и зачем эту функцию называть вероятностью - непонятно.

[realeugene]

И какова вероятность выпадения рационального числа с конечной десятичной записью?

[epros]

mihaild в сообщении #1614398 писал(а):

Нет, мы ввели какую-то странную функцию на некоторых подмножествах $\mathbb Q$, и ограничили множество допустимых случайных величин интегрируемыми по Риману. Зачем это делать, и зачем эту функцию называть вероятностью - непонятно.

Ну да, сначала зачем-то ввели названия для количеств камешков, потом зачем-то ввели названия для дробных количеств, а потом непонятно зачем какую-то величину назвали "вероятностью". Говорят, для расчётов при игре в кости. А потом договорились, что вероятность попадания в $[0, 1] \cap \mathbb{Q}$ равна единице. В силу определения функции $F(x)$.

realeugene в сообщении #1614417 писал(а):

И какова вероятность выпадения рационального числа с конечной десятичной записью?

Я не обещаю ответов на все вопросы о вероятностях. Равно как и Колмогоров не обещает. Вспомним, что в действительных числах тоже существуют неизмеримые множества.

[realeugene]

epros в сообщении #1614322 писал(а):

A просто аддитивную меру по какой причине нельзя считать вероятностью?

Вы предлагаете построить теорвер без аксиомы непрерывности?

[epros]

А что, нельзя? Насколько я знаю, в исходном виде теорвер был вообще для конечного множества элементарных исходов.

[realeugene]

epros в сообщении #1614504 писал(а):

А что, нельзя? Насколько я знаю, в исходном виде теорвер был вообще для конечного множества элементарных исходов.

Если ограничиться классической вероятностью с конечными множествами элементарных событий, то, конечно, можно. Но счётные множества элементарных событий уже требуют предельных переходов, чтобы получилось что-то разумное, как мне кажется. Без них всякие предельные теоремы станут невозможны. А зачем нам теорвер на бесконечных множествах без предельных теорем?

У вас вероятность выпадения рационального числа со знаменателем, большим $N$, единичная для любого $N$. А бесконечное пересечение множеств таких чисел пустое, и вероятность его равна нулю. Как пример нарушения аксиомы непрерывности.

[epros]

realeugene в сообщении #1614508 писал(а):

Но счётные множества элементарных событий уже требуют предельных переходов, чтобы получилось что-то разумное, как мне кажется. Без них всякие предельные теоремы станут невозможны. А зачем нам теорвер на бесконечных множествах без предельных теорем?

Уверены? А мне представляется, что возможны, в крайнем случае, при некоторых дополнительных допущениях. В частности, сходимость по вероятности частоты к вероятности имеет место и при двух элементарных исходах. Так что она наверняка будет иметь место и на рациональных числах без всякой аксиомы непрерывности.

realeugene в сообщении #1614508 писал(а):

У вас вероятность выпадения рационального числа со знаменателем, большим $N$, единичная для любого $N$. А бесконечное пересечение множеств таких чисел пустое, и вероятность его равна нулю. Как пример нарушения аксиомы непрерывности.

Вообще-то вероятность попадания в конкретное число так или иначе равна нулю, с непрерывностью или без.

[mihaild]

epros в сообщении #1614446 писал(а):

Ну да, сначала зачем-то ввели названия для количеств камешков, потом зачем-то ввели названия для дробных количеств, а потом непонятно зачем какую-то величину назвали "вероятностью". Говорят, для расчётов при игре в кости. А потом договорились, что вероятность попадания в $[0, 1] \cap \mathbb{Q}$ равна единице. В силу определения функции $F(x)$.

Мне ваше обобщение конечных вероятностных пространств представляется очень странным и неудобным. Оно не дает ничего полезного по сравнению со стандартной аксиоматикой колмогорова, но добавляет путаницу.

epros в сообщении #1614504 писал(а):

А что, нельзя? Насколько я знаю, в исходном виде теорвер был вообще для конечного множества элементарных исходов.

Так на конечном множестве элементарных исходов непрерывность есть:) А вот в Вашем обобщении - нет.

[epros]

mihaild в сообщении #1614599 писал(а):

Мне ваше обобщение конечных вероятностных пространств представляется очень странным и неудобным. Оно не дает ничего полезного по сравнению со стандартной аксиоматикой колмогорова, но добавляет путаницу.

Ну так это ж потому, что со множеством рациональных чисел никто не считает нужным работать с тех пор, как придумали действительные. Но если задача стоит именно так, что мы вынуждены работать с рациональными числами...

Давайте попробуем найти конкретную проблему. Выше realeugene уже указал на то, что есть подмножества, вероятность попадания в которые невозможно посчитать. Но я говорю, что это проблема не новая, ибо в Колмогоровской аксиоматике для $\mathbb R$ тоже есть куча подмножеств, для которых вероятности посчитать невозможно.