Парадокс равномерного распределения на нат. числах

[epros]

manul91 в сообщении #1614259 писал(а):

Но на разных точек из $[0,1]$, вы ведь сопоставляете некие порядковые точки из разных счетных подмножеств $[0,1]$?

Вообще-то достаточно одного счётного подмножества. Например, взять рациональный единичный отрезок, пронумеровать все его точки. Равномерное распределение на рациональном отрезке задаётся легко.

Вот только что дальше с этим распределением делать? Если взять малый отрезок внутри единичного, то ему будет соответствовать некая вероятность. Нетрудно найти бесконечное подмножество натуральных чисел - номеров входящих в него точек. Но какой смысл в сопоставлении этой вероятности этому подмножеству?

[mihaild]

epros в сообщении #1614293 писал(а):

Равномерное распределение на рациональном отрезке задаётся легко.

И как же?

[Doctor Boom]

Null в сообщении #1614256 писал(а):

Это невозможно сделать в данном случае:
1.Нужно бесконечно много испытаний.
2.Вероятности не будут сходиться! Или будут сходиться к 0 для каждого натурального числа.
3. Может даже нужно континуум испытаний. Как пределы считать?

Ага, мне это перед сном пришло Т.е. если мы имеем функцию из $[0,1]$ в ${0,1}$, и множество точек прообраза единицы неизмеримо, то никакой СВ у нас нет?
Кстати, а вы можете придумать такой пример, чтобы вероятности нулей и единиц стали сходиться к $0,5$ только через миллион испытаний?

manul91 в сообщении #1614259 писал(а):

том же неопределенном духе рассуждений: что вам гарантирует что каждое счетное подмножество входит в несчетном количестве счетных подмножеств (из которых "состоит" $[0,1]$, в данном разбиении) - с одинаковым "весом"?

Я нигде не говорил при одинаковые веса множеств, достаточно одинаковые веса для элементов каждого подмножества

Mikhail_K в сообщении #1614262 писал(а):

Однако равномерное распределение на отрезке не обязательно будет порождать равномерное распределение на множестве $\{1,2\}$ (пример придумайте сами, это несложно). Н

Например провести биекцию между третью отрезка (отождествим ее с единицей) и двумя третями остатка (отождествим их с нулем)

-- 23.10.2023, 11:32 --

epros в сообщении #1614293 писал(а):

Равномерное распределение на рациональном отрезке задаётся легко.

Да ну

-- 23.10.2023, 11:35 --

Null
Кстати, для сходимости вероятностей необходимо измеримость по Лебегу, или можно взять неизмеримые по Лебегу, но измеримые по другой мере? Или Лебег самый "вероятностный"?

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1614302 писал(а):

Т.е. если мы имеем функцию из $[0,1]$ в ${0,1}$, и множество точек прообраза единицы неизмеримо, то никакой СВ у нас нет?

Да.
(что я бы интерпретировал как "описанные вами два ящика не могут существовать одновременно")

Doctor Boom в сообщении #1614302 писал(а):

чтобы вероятности нулей и единиц стали сходиться к $0,5$ только через миллион испытаний?

Что это вообще значит? Что такое "сходиться после $N$ испытаний"?

-- 23.10.2023, 10:37 --

Doctor Boom в сообщении #1614302 писал(а):

Кстати, для сходимости вероятностей необходимо измеримость по Лебегу, или можно взять неизмеримые по Лебегу, но измеримые по другой мере?

Лебег тут вообще не при чем.
На вероятностном пространстве должна быть задана какая-то сигма-алгебра и мера. Случайная величина - это функция из этого вероятностного пространства в вещественные числа, такая, что прообраз борелевского множества измерим.

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1614303 писал(а):

что я бы интерпретировал как "описанные вами два ящика не могут существовать одновременно"

Как это не могут? Просто вероятности сходиться не будут

mihaild в сообщении #1614303 писал(а):

Что это вообще значит? Что такое "сходиться после $N$ испытаний"?

Ну тут $N$ больше как ориентир, т.е. когда будет работать ЗБЧ

mihaild в сообщении #1614303 писал(а):

Лебег тут вообще не при чем.
На вероятностном пространстве должна быть задана какая-то сигма-алгебра и мера. Случайная величина - это функция из этого вероятностного пространства в вещественные числа, такая, что прообраз борелевского множества измерим.

Как это не причем, если мы измеряем по Лебегу?

[epros]

mihaild в сообщении #1614300 писал(а):

epros в сообщении #1614293 писал(а):

Равномерное распределение на рациональном отрезке задаётся легко.

И как же?

$F(x)=x,~x \in [0,1] \cap \mathbb{Q}$

[mihaild]

epros в сообщении #1614313 писал(а):

$F(x)=x,~x \in [0,1]$

$\nu([a, b)) = b - a$ не задает сигма-аддитивную меру на рациональных числах.

Doctor Boom в сообщении #1614305 писал(а):

Ну тут $N$ больше как ориентир, т.е. когда будет работать ЗБЧ

"работа ЗБС" не параметризована числом испытаний.

Doctor Boom в сообщении #1614305 писал(а):

Как это не причем, если мы измеряем по Лебегу?

Ну если вероятностное пространство $[0; 1]$, то удобно в качестве вероятностной меры брать меру Лебега. Но никто не запрещает взять любую другую меру, и даже другую сигма-алгебру событий.

[epros]

mihaild в сообщении #1614315 писал(а):

$\nu([a, b)) = b - a$ не задает сигма-аддитивную меру на рациональных числах.

A просто аддитивную меру по какой причине нельзя считать вероятностью?

[mihaild]

epros в сообщении #1614322 писал(а):

A просто аддитивную меру по какой причине нельзя считать вероятностью?

По определению. Надо смотреть, что в теоремах сломается без сигма-аддитивности, но подозреваю, что примерно всё. Как интеграл хотя бы вводить?

[epros]

mihaild в сообщении #1614327 писал(а):

Как интеграл хотя бы вводить?

А как вообще работают с функциями на $\mathbb{Q}$? По Риману они вроде бы остаются интегрируемыми.

[mihaild]

epros в сообщении #1614328 писал(а):

А как вообще работают с функциями на $\mathbb{Q}$? По Риману они вроде бы остаются интегрируемыми

Я не видел, чтобы где-то в анализе использовались такие функции.
Интегрируемые по Риману функции восстанавливаются (почти всюду) по своим значениям в рациональных числах.

-- 23.10.2023, 13:06 --

ozheredov в сообщении #1614251 писал(а):

Вопрос: куда делись 0.86 метров конопляной веревки? ответ: полученная в пределе фигура неизмерима

Ответ неправильный. Неизмеримости тут нигде нет.
Правильный ответ: данная последовательность сходится в смысле $C$, но не в смысле $C^1$. А сходимость в смысле $C$ не гарантирует сходимости длин.

[ozheredov]

mihaild в сообщении #1614336 писал(а):

Неизмеримости тут нигде нет.

Да, видимо я ступил. Так будет у предельной фигуры длина или нет?

[mihaild]

ozheredov в сообщении #1614364 писал(а):

Так будет у предельной фигуры длина или нет?

Если у вас получается замкнутая кривая без самопересечений - то у неё всегда есть длина (возможно бесконечная). Не обязательно как-то связанная с длинами исходных кривых.

[epros]

mihaild в сообщении #1614336 писал(а):

epros в сообщении #1614328 писал(а):

А как вообще работают с функциями на $\mathbb{Q}$? По Риману они вроде бы остаются интегрируемыми

Я не видел, чтобы где-то в анализе использовались такие функции.
Интегрируемые по Риману функции восстанавливаются (почти всюду) по своим значениям в рациональных числах.

Я так подозреваю, что инженерно-техническому сообществу вообще без разницы, определена ли функция на $\mathbb{Q}$ или на $\mathbb{R}$, ибо те программы, которые считают численные значения интегралов, производных и всего прочего от этих функций, оперируют числами конечной разрядности. И вряд ли у кого-то возникнет потребность подсчитать вероятность попадания в такое хитрое подмножество $\mathbb{Q} \cap [0, 1]$, что потребуется сигма-аддитивность. А если вдруг и потребуется, то всегда можно будет дополнить это распределение на $\mathbb{Q}$ до $\mathbb{R}$.

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1614315 писал(а):

Ну если вероятностное пространство $[0; 1]$, то удобно в качестве вероятностной меры брать меру Лебега. Но никто не запрещает взять любую другую меру, и даже другую сигма-алгебру событий.

Не очень ясно, вот у вас есть СВ на $[0,1]$, где каждому действ. числу соответствует один или ноль, т е. имеем автомат, который при каждом нажатии на кнопку выдает один или ноль. Будет ли он моделировать СВ зависит от измеримости именно по Лебегу, разве нет?

-- 23.10.2023, 16:09 --

epros в сообщении #1614369 писал(а):

И вряд ли у кого-то возникнет потребность подсчитать вероятность попадания в такое хитрое подмножество $\mathbb{Q} \cap [0, 1]$, что потребуется сигма-аддитивность.

Так такого множества не существует в конечной разрядности