Падение на наклонную плоскость

[Dedekind]

Шарик массой $m = 0.1$ кг, падая с некоторой высоты, ударяется о наклонную плоскость и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Угол наклона плоскости к горизонту $\alpha = 30°$. За время удара плоскость получает импульс силы $F\Delta t = 1.73$ Н·c. Какое время $t$ пройдет от момента удара шарика о плоскость до момента, когда он будет находиться в наивысшей точке траектории?

Решается задача тут, например. https://www.bog5.in.ua/problems/volkens ... %2017.html .

Вопрос такой: почему мы считаем, что изменение импульса наклонной плоскости произошло только в направлении, перпендикулярном плоскости (ось $X$ или $\vec{n}$ на рисунке), и, соответственно, угол падения равен углу отражения? Я так понимаю, что это было бы правдой, если бы в условии было сказано, что плоскость абсолютно гладкая. Тогда она бы не действовала касательной силой и, соответственно, не меняла бы компоненту скорости вдоль плоскости. Но в условии этого нет.
Или то что удар абсолютно упругий уже это подразумевает? Если да, то не совсем понятен ход рассуждений.

[мат-ламер]

Dedekind в сообщении #1614201 писал(а):

если бы в условии было сказано, что плоскость абсолютно гладкая.

Может оно так по умолчанию?

[Dedekind]

мат-ламер
А без этого условия задача не решается, или просто решение сложнее?

[мат-ламер]

Dedekind в сообщении #1614201 писал(а):

Или то что удар абсолютно упругий уже это подразумевает?

Да.

Импульс перпендикулярно плоскости сохраняется. Если бы не сохранялся импульс вдоль плоскости, то уменьшилась бы энергия шарика. И удар уже не был абсолютно упругим.

[sergey zhukov]

Dedekind
Если есть трение, шарик начнет вращаться. Тогда его скорость после удара не сохранится.
Так-то можно представить, что шарик после удара полетел в противоположную сторону (вверх), как будто это не "зеркало", а "световозвращатель". Но в чем тогда смысл давать угол поверхности к горизонту, если отражение от этой плоскости все равно какое попало?
Можно и с трением задачу решать. Но тогда нужно знать коэффициент трения.

[мат-ламер]

sergey zhukov в сообщении #1614206 писал(а):

Если есть трение, шарик начнет вращаться.

Поскольку размеры шарика не заданы, то разумно считать его материальной точкой.

[Dedekind]

мат-ламер в сообщении #1614204 писал(а):

Импульс перпендикулярно плоскости сохраняется.

Импульс чего? Шарика? Но ведь он как раз и не сохраняется.

-- 22.10.2023, 14:13 --

sergey zhukov в сообщении #1614206 писал(а):

Если есть трение, шарик начнет вращаться. Тогда его скорость после удара не сохранится.

Да, у меня то же возражение:

мат-ламер в сообщении #1614208 писал(а):

Поскольку размеры шарика не заданы, то разумно считать его материальной точкой.

[DimaM]

(мат-ламер)

мат-ламер в сообщении #1614208 писал(а):

Поскольку размеры шарика не заданы, то разумно считать его материальной точкой.

Материальная точка массой 100 г должна иметь очень большую плотность

-- 22.10.2023, 19:15 --

Dedekind в сообщении #1614209 писал(а):

Импульс чего? Шарика? Но ведь он как раз и не сохраняется.

Он по величине сохраняется.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1614204 писал(а):

Импульс перпендикулярно плоскости сохраняется.

Dedekind в сообщении #1614209 писал(а):

Импульс чего? Шарика? Но ведь он как раз и не сохраняется.

Точнее, модуль вектора импульса сохраняется, а его направление меняется на противоположное.

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1614211 писал(а):

модуль вектора импульса сохраняется, а его направление меняется на противоположное

Это неверно. Меняется на противоположное только направление перпендикулярной компоненты вектора импульса.

[Dedekind]

мат-ламер в сообщении #1614211 писал(а):

Точнее, модуль вектора импульса сохраняется, а его направление меняется на противоположное.

Что-то я совсем запутался. Вот запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси, перпендикулярную и параллельную плоскости:

$$-mv\cos\alpha = P_y + mv\cos\beta$$

$$mv\sin\alpha = P_x + mv\sin\beta$$

где $\alpha , \beta$ - углы падения и отражения (пока считаем, что они разные), $P_y, P_x$ - перпендикулярная и параллельная компонента импульса плоскости после удара.
И закон сохранения энергии:

$$mv^2 = mv^2 + \dfrac{P_x^2 + P_y^2}{M}$$

где $M$ - масса плоскости.
Из последнего сразу получается, что $P_x=P_y=0$ и плоскость вообще не будет двигаться. Где тут ошибка?

[sergey zhukov]

Dedekind
Почему это плоскость должна двигаться? Она по условию неподвижна. Просто $M$ бесконечно велико. Импульс то плоскость получает, только ее скорость от этого почти не меняется, и кинетическая энергия не прибавляется. Если $M$ конечно, то шарик не может отразиться от плоскости "с сохранением скорости".

-- 22.10.2023, 17:04 --

мат-ламер в сообщении #1614208 писал(а):

Поскольку размеры шарика не заданы, то разумно считать его материальной точкой.

Ну в таком случае нужно и трение считать нулевым, раз оно не задано.

[Dedekind]

sergey zhukov в сообщении #1614215 писал(а):

Почему это плоскость должна двигаться? Она по условию неподвижна. Просто $M$ бесконечно велико. Импульс то плоскость получает, только ее скорость от этого почти не меняется, и кинетическая энергия не прибавляется. Если $M$ конечно, то шарик не может отразиться от плоскости "с сохранением скорости".

Хорошо, с этим понятно. Теперь, остаются два уравнения из сохранения импульса:

$$-mv\cos\alpha = P_y + mv\cos\beta$$

$$mv\sin\alpha = P_x + mv\sin\beta$$

Как отсюда увидеть, что $\alpha=\beta$ и, соответственно, параллельная компонента импульса $P_x $ действительно равна нулю?

[Null]

Dedekind в сообщении #1614217 писал(а):

Как отсюда увидеть, что $\alpha=\beta$ и, соответственно, параллельная компонента импульса $P_x $ действительно равна нулю?

Отсюда - никак. Нужны дополнительные соображения. Что то типа $P_x=F_{\text{трения}}dt$

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1614211 писал(а):

Точнее, модуль вектора импульса сохраняется, а его направление меняется на противоположное.

DimaM в сообщении #1614212 писал(а):

Это неверно. Меняется на противоположное только направление перпендикулярной компоненты вектора импульса.

Тут я имел в виду составляющую вектора импульса, которая перпендикулярна плоскости.
Предыдущее сообщение (которое исправлял)-

мат-ламер в сообщении #1614204 писал(а):

Импульс перпендикулярно плоскости сохраняется.

Именно этот импульс я и имел в виду. Извиняюсь за неточность.