Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1614047 писал(а):

Но если от классов еще какая-то польза есть, то от урэлементов никакой пользы не обнаружено, поэтому в основных современных теориях множеств их нет (может быть в каких-то специфических разделах и есть, не знаю).

Так вот же польза от них: множество жемчужин это множество урэлементов, множество объектов системы Фреге — Рассела, когда на них смотрят как на элементы, это множество "жемчужин", то есть множество урэлементов.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614056 писал(а):

множество объектов системы Фреге — Рассела, когда на них смотрят как на элементы, это множество "жемчужин", то есть множество урэлементов

Так это не польза, а сплошной вред - новый тип объектов на пустом месте.
Классы нужны, потому что хочется рассматривать семейства объектов, которые никуда запихнуть нельзя. А пользы от замены явной конструкции, начинающейся с пустого множества, на какие-то отдельные "жемчужины", нет.
(Вы тут в хорошей компании - даже Цермело, насколько я понимаю, изначально думал, что урэлементы нужны)

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1614058 писал(а):

пользы от замены явной конструкции, начинающейся с пустого множества, на какие-то отдельные "жемчужины", нет.

Я не заменяю эту конструкцию, а вижу в ней две стороны: с одной стороны она есть множество множеств, с другой стороны -- множество элементов.

Я имею в виду, что, вообще, при взгляде на множество множеств можно отвлечься от того, что его элементами являются множества -- когда нет необходимости помнить об этом, -- и видеть в нем множество урэлементов, работать с ним как с множеством урэлементов. Например, когда мы работаем с натуральными числами, нам чаще всего и в голову не приходит, что они являются множествами (я, например, до последнего времени об этом даже не подозревал), и мы работаем с ними как с урэлементами.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614068 писал(а):

Например, когда мы работаем с натуральными числами, нам чаще всего и в голову не приходит, что они являются множествами (я, например, до последнего времени об этом даже не подозревал), и мы работаем с ними как с урэлементами

Никто не запрещает работать с некоторыми множествами, не всматриваясь, из чего они состоят. Почти всегда так и делают - один раз построили вещественные числа как множество, функцию как множество и т.д., определили нужные операции в терминах множеств, а дальше работаем только с этими операциями, не думая о теоретико-множественной структуре внутри.
Для этого не нужны урэлементы в самой теории множеств, как "строительные блоки".

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614068 писал(а):

Я имею в виду, что, вообще, при взгляде на множество множеств можно отвлечься от того, что его элементами являются множества -- когда нет необходимости помнить об этом, -- и видеть в нем множество урэлементов, работать с ним как с множеством урэлементов. Например, когда мы работаем с натуральными числами, нам чаще всего и в голову не приходит, что они являются множествами (я, например, до последнего времени об этом даже не подозревал), и мы работаем с ними как с урэлементами.

А и не надо об этом помнить, ибо может совершенно не подразумеваться, что объекты являются "множествами". Например, в арифметике Пеано натуральные числа строятся как инкременты нуля. Т.е. если функция инкремента записывается как $S$, то натуральные числа запишутся (в бесскобочной записи) как $0, S0, SS0, SSS0,\ldots$ Это никаким образом не подразумевает, что они якобы "множества". Но в теории множеств мы моделируем нуль пустым множеством, а инкремент - операцией $x \cup \{x\}$, промоделировав таким образом и все натуральные числа. Поскольку любые объекты можно промоделировать множествами, необходимость тащить в теорию множеств урэлементы отпадает.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1614070 писал(а):

Для этого не нужны урэлементы в самой теории множеств, как "строительные блоки".

Мне кажется, что что-то в ней и можно было бы построить из таких блоков, но не все: если бы у нас были только блоки величиной с кирпич, то как бы мы строили наручные часы? Нет, должны быть и более мелкие блоки, то есть не только единицы должно быть возможно объединять, например, в десятки, а десятки в сотни и так далее, но и каждую единицу должно быть возможно дробить на десятые доли, а десятые доли на сотые и так далее -- без ограничений как в ту, так и в другую сторону.

Наверное, поэтому в теории множеств каждый элемент является также и множеством?

Но что-то, как я уже сказал, по-моему, все же можно построить из урэлементов, вот, например, если исходить из того, что

(как, кажется у Фреге, во всяком случае, на каком-то этапе его поисков)

Цитата:

натуральное число определяется как конкретное множество, а любой набор, который можно поставить во взаимно однозначное соответствие с этим набором, называется имеющим это количество элементов.

то почему нельзя взять такие множества урэлементов (скажем, жемчужин на нити): $P_1=\{p_1\}$, $P_2=\{p_1, p_2\}$, $P_3=\{p_1, p_2, p_3\}$ и так далее, -- и объявить их натуральными числами? Вы говорите, что

mihaild в сообщении #1613992 писал(а):

к сожалению натуральные числа определить как $\{0, 1, 2, \ldots\}$ не получится - чтобы раскрыть многоточие, нам уже нужно множество натуральных чисел.

но зачем его раскрывать? Оно, по-моему, значит, что всегда можно взять еще одно конечное множество урэлементов, то есть еще одно натуральное число? И это, по-моему, не отличается от того, что в индуктивном множестве мы идем от элемента к элементу (начиная с нуля), и когда-то же надо поставить многоточие?

А что Вы имеете в виду, когда говорите, что

mihaild в сообщении #1613992 писал(а):

чтобы раскрыть многоточие, нам уже нужно множество натуральных чисел.

?

epros в сообщении #1614075 писал(а):

Поскольку любые объекты можно промоделировать множествами, необходимость тащить в теорию множеств урэлементы отпадает.

Разумеется, зачем использовать менее совершенную систему (с урэлементами), если найдена более совершенная (без урэлементов), я просто хотел сказать, что и из урэлементов что-то можно построить.

epros в сообщении #1614075 писал(а):

Например, в арифметике Пеано натуральные числа строятся как инкременты нуля. Т.е. если функция инкремента записывается как $S$, то натуральные числа запишутся (в бесскобочной записи) как $0, S0, SS0, SSS0,\ldots$ Это никаким образом не подразумевает, что они якобы "множества".

Значит, арифметика Пеано не принадлежит теории множеств?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614086 писал(а):

Мне кажется, что что-то в ней и можно было бы построить из таких блоков, но не все: если бы у нас были только блоки величиной с кирпич, то как бы мы строили наручные часы?

В теории множеств немножко другая история - почти что угодно можно построить из почти чего угодно. На практике нам нужно построить натуральные числа, а дальше всё остальное строится уже из них, и как именно устроены натуральные числа для этих построений уже неважно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614086 писал(а):

Но что-то, как я уже сказал, по-моему, все же можно построить из урэлементов, вот, например, если исходить из того, что

Можно, конечно. Но не нужно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614086 писал(а):

но зачем его раскрывать?

Потому что многоточий в формулах исчисления предикатов быть не может.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614086 писал(а):

Оно, по-моему, значит, что всегда можно взять еще одно конечное множество урэлементов, то есть еще одно натуральное число?

Нет, такая запись с многоточиями ничего не означает про "можно" или "нельзя", это не свод законов. Вообще, когда мы записываем $\{f(0), f(1), f(2), \ldots\}$, то это то же самое что $\{f(x) | x \in \mathbb N\}$ - множество $X$, такое что $x \in X \leftrightarrow \exists y: f(y) = x$. Ну и когда из контекста очевидно, $f$ может не указываться в явном виде.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614086 писал(а):

Значит, арифметика Пеано не принадлежит теории множеств?

Вопрос некорректен - арифметика Пеано и теория множеств не являются множествами, чтобы можно было говорить об их или к ним принадлежности.

Вообще, не советую особо закапываться в философию с урэлементами. Это примерно как пользоваться геоцентрической системой - можно, но неудобно и бессмысленно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1613992 писал(а):

к сожалению натуральные числа определить как $\{0, 1, 2, \ldots\}$ не получится - чтобы раскрыть многоточие, нам уже нужно множество натуральных чисел.
Обходится это следующим образом. Введем операцию $S(x) = x \cup \{x\}$ (в определении натуральных чисел как множеств как раз получается что $3 = S(2)$, и остальное аналогично). $0$ будем воспринимать как альтернативное обозначение $\varnothing$, а натуральное число $n$ - как сокращение для $\underbrace{S(S(\ldots(0)\ldots))}_{n\, \text {раз}}$.
Множество $X$ называется индуктивным, если оно содержит $0$, и $\forall x: x \in X \rightarrow S(x) \in X$. Есть аксиома бесконечности, утверждающая существование индуктивного множества.
Дальше можно доказать, что существует минимальное по включению индуктивное множество: такое множество $X$, что оно индуктивно, и если $Y$ индуктивно, то $X \subseteq Y$ (попробуйте доказать!). И вот минимальное по включению индуктивное множество и называется множеством натуральных чисел.

1.

Буду исходить из того, что натуральное число это не множество, а ответ на вопрос: "Сколько?" К нему можно отнести и число $0$, когда на этот вопрос отвечают: "Нисколько". Буду также исходить из того, что, натуральный ряд (последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания) предшествует всем теориям множеств.

mihaild в сообщении #1613992 писал(а):

Множество $X$ называется индуктивным, если оно содержит $0$, и $\forall x: x \in X \rightarrow S(x) \in X$.

Это, как я понимаю, определение числового индуктивного множества. Для множества вообще (не обязательно числового) определение такое:

Множество $X$ называется индуктивным, если оно содержит $\varnothing$, и $\forall x: x \in X \rightarrow S(x) \in X$, где $S(x) = x \cup \{x\}$.

Например, множество

$$\Bigg\{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}, \Big \{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \} \Big \}, \ldots \Bigg\} \eqno (1)$$

индуктивное. Само по себе оно не числовое, но оно так сконструировано, что его нулевой элемент не содержит элементов, первый элемент содержит один элемент, второй элемент содержит два элемента и т. д. (под нулевым элементом здесь я имею в виду элемент номер ноль, по-моему, элементы этого множества удобнее нумеровать не от $1$ до $\infty$, а $0$ до $\infty$.) Так что элементы этого множества естественно соответствуют натуральным числам, и в теории множеств считаются их определением:

$0:=\varnothing$,

$1:=\{\varnothing\}$,

$2:=\big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}$,

$3:=\Big \{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \} \Big \}$,

..............................

То, что множество (1) сконструировано в соответствии с натуральным рядом, как раз и показывает, что он предшествует теории множеств, в которой оно сконструировано.

2.

В соответствии с множеством (1) функция $S(x) = x \cup \{x\}$ может быть представлена в виде $S(x)=x+1$. По этой формуле может быть получен весь натуральный ряд от $1$ до $\infty$ и без привлечения теории множеств:

пусть дано множество $X$, которое содержит $0$, и $\forall x: x \in X \rightarrow S(x) \in X$, тогда оно содержит все натуральные числа от $0$ до $\infty$.

$\lhd$ 1) $0\in X$ -- база индукции;

2) пусть $x\in X$, тогда по условию $\forall x: x \in X \rightarrow S(x) \in X$, где $S(x)=x+1$, имеем $(x+1) \in X$. Таким образом, $X$ содержит все натуральные числа от $1$ до $\infty$, а также число $0$. $\rhd$

Пусть $X$ не содержит других элементов, кроме натуральных чисел, и пусть существует произвольное индуктивное множество $Y$, тогда, поскольку произвольное индуктивное множество может включать в себя не только натуральные числа, $X \subseteq Y$.

То есть $X$ это минимальное по включению индуктивное числовое множество, оно называется множеством натуральных чисел и является пересечением всех индуктивных числовых множеств.

Но вот вопрос: исходя из множества (1) -- откуда берутся множества, по определению равные числам, которые не являются натуральными, например, числам $2/3$ или $\pi$?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614628 писал(а):

Буду также исходить из того, что, натуральный ряд (последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания) предшествует всем теориям множеств

Лучше не надо. Если Вы хотите изучать теорию множеств, то стоит изучать теорию множеств. А натуральные числа в теории множеств вводятся как написано выше (или любым из кучи эквивалентных способов).
Если Вы хотите изучать что-то другое - логические исчисления, или теорию моделей - то это другой вопрос. Но смешивать точно не стоит.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614628 писал(а):

Пусть $X$ не содержит других элементов, кроме натуральных чисел

Так говорить нельзя. У нас на этот момент еще нет натуральных чисел.
Еще раз, задача была такая: у нас есть определение индуктивного множества и аксиома, что существует индуктивное множество. Нужно доказать, что существует минимальное индуктивное множество.
(и дальше это минимальное индуктивное множество мы назовем множеством натуральных чисел)

Vladimir Pliassov в сообщении #1614628 писал(а):

Но вот вопрос: исходя из множества (1) -- откуда берутся множества, по определению равные числам, не являющимся натуральными, например, $2/3$ или $\pi$?

Когда нам понадобятся рациональные или вещественные числа - мы можем договориться о способе их задания множествами.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1614630 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1614628 писал(а):

Буду также исходить из того, что, натуральный ряд (последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания) предшествует всем теориям множеств

Лучше не надо. Если Вы хотите изучать теорию множеств, то стоит изучать теорию множеств. А натуральные числа в теории множеств вводятся как написано выше (или любым из кучи эквивалентных способов).

Кажется понял: я написал, что то, что множество

$$\Bigg\{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}, \Big \{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \} \Big \}, \ldots \Bigg\} \eqno (1)$$

сконструировано в соответствии с натуральным рядом, как раз и показывает, что он предшествует теории множеств, в которой оно сконструировано.

Но теперь смотрю по-другому. Несомненно, что те, кто сконструировал множество (1), имели представление о натуральном ряде и искали именно множество, которое могло бы быть ему эквивалентным, но само это множество обусловлено не натуральным рядом, а формулой $S(x) = x \cup \{x\}$, и эта формула через множество (1) обусловливает существование натурального ряда (в теории множеств), а не наоборот.

mihaild в сообщении #1614630 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1614628 писал(а):

Но вот вопрос: исходя из множества (1) -- откуда берутся множества, по определению равные числам, не являющимся натуральными, например, $2/3$ или $\pi$?

Когда нам понадобятся рациональные или вещественные числа - мы можем договориться о способе их задания множествами.

А не могли бы мы договориться прямо сейчас? Я не представляю, как можно задать множествами, например, $2/3$ или $\pi$.

Можно, конечно, обойти это и ограничиться заданием одних только натуральных чисел, а имея натуральные числа, строить вещественные в рамках анализа, но все же очень хотелось бы узнать, как их можно задавать множествами.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614649 писал(а):

Можно, конечно, обойти это и ограничиться заданием одних только натуральных чисел, а имея натуральные числа, строить вещественные в рамках анализа, но все же очень хотелось бы узнать, как их можно задавать множествами

А строим как раз в рамках анализа, но через множества. Конструкция с сечениями Дедекинда из анализа легко записывается в терминах теории множеств. Но чем дальше, тем больше нам интересны операции, а не просто носитель.

Попробуйте всё же порешать задачки - например, доказать что из существования индуктивного множества следует существование минимального индуктивного множества, и на чем там остановились в связи бесконечности с бесконечностью по Дедекинду (вроде бы на том, что у не-конечного множества есть конечные подмножества любой мощности).

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1614630 писал(а):

Еще раз, задача была такая: у нас есть определение индуктивного множества и аксиома, что существует индуктивное множество. Нужно доказать, что существует минимальное индуктивное множество.
(и дальше это минимальное индуктивное множество мы назовем множеством натуральных чисел)

$\lhd$ Пусть множество $X$ индуктивно, то есть пусть оно содержит $0$, и $\forall x: x \in X \rightarrow S(x) \in X$, где $S(x) = x \cup \{x\}$, и пусть оно содержит только $0$ и элементы вида $S(S(\ldots(0)\ldots))$. Пусть $Y$ это произвольное индуктивное множество, тогда оно, также как и $X$, содержит $0$ и все элементы вида $S(S(\ldots(0)\ldots))$. Если оно содержит только $0$ и эти элементы, то $X=Y$, если же оно содержит еще хотя бы один элемент, то $X\subset Y$ (точнее, $X\subsetneq Y$), таким образом, $X \subseteq Y$. $\rhd$

То есть $X$ это минимальное по включению индуктивное множество, оно называется множеством натуральных чисел и является пересечением всех индуктивных множеств.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614667 писал(а):

и пусть оно содержит только $0$ и элементы вида $S(S(\ldots(0)\ldots))$.

Вот так писать нельзя. В строгом доказательстве никаких многоточий и "и так далее" быть не может.
Некоторые многоточия можно раскрыть во что-то формальное после того, как у нас построено множество множество натуральных чисел - мы говорим, что у нас есть по элементу для каждого натурального числа. Но это нужно отдельно учиться делать правильно (собственно в доказательстве бесконечности по Дедекинду бесконечного множества, на которое Вы где-то выше ссылались, именно это и сделано неправильно), и в любом случае можно только после построения множества натуральных чисел.

Vladimir Pliassov в сообщении #1614667 писал(а):

и является пересечением всех индуктивных множеств

А вот это правильная идея. С её использованием доказать получится строго.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1614668 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1614667 писал(а):

и является пересечением всех индуктивных множеств

А вот это правильная идея. С её использованием доказать получится строго.

$\lhd$ Пусть $X$ это пересечение всех индуктивных множеств, тогда $X$ это минимальное по включению индуктивное множество, то есть для произвольного индуктивного множества $Y$ имеем $X \subseteq Y$. $\rhd$

Множество $X$ называется множеством натуральных чисел.

Мне кажется, что фраза "то есть для произвольного индуктивного множества $Y$ имеем $X \subseteq Y$" уже лишняя: если $X$ это пересечение всех индуктивных множеств, а $Y$ это индуктивное множество, то и так ясно, что $X \subseteq Y$.

-- 25.10.2023, 21:12 --

Нет, надо еще подумать.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614677 писал(а):

Пусть $X$ это пересечение всех индуктивных множеств

Так нельзя. Множества всех индуктивных множеств не существует.
Ну и нужно доказать, что пересечение индуктивных множеств индуктивно - Вы понимаете, как это сделать?