Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov, вот смотрите. Стоит вопрос: "Пустое множество ограничено сверху?"

Если так сразу ответить сложно, начните с определений. С какими объектами Вы тут вообще соприкасаетесь? Какие у них определения?

[Doctor Boom]

А супремум пустого множества равен минус бесконечности? (а для натуральных чисел нулю). И наоборот, инфимум бесконечности?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1612555 писал(а):

в первом берем $P(x) := x \in \mathbb N$

Но почему мы берем $P(x) := x \in \mathbb N$? Почему не $P(x) := x \notin \mathbb N$? Ведь из $x \in \varnothing$ следует что угодно?

EminentVictorians в сообщении #1612567 писал(а):

Если так сразу ответить сложно, начните с определений. С какими объектами Вы тут вообще соприкасаетесь? Какие у них определения?

Спасибо! Дело в том, что у меня очень много вопросов, например, я еще на Ваши не ответил, обдумываю. Но надеюсь ответить и еще спросить.

[EminentVictorians]

Doctor Boom в сообщении #1612570 писал(а):

А супремум пустого множества равен минус бесконечности?

В двухточечной компактификации $\mathbb R$ - да. Просто в $\mathbb R$ супремума пустого множества не существует. С инфимумом - аналогично.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612572 писал(а):

Но почему мы берем $P(x) := x \in \mathbb N$?

Потому что вопрос был "состоит ли пустое множество из натуральных чисел". Он соответствует как раз "верно ли что $x \in \mathbb N$ для всех $x \in \varnothing$". Если бы вопрос был "все ли элементы пустого множества не являются натуральными числами", то надо было бы брать $P(x) := x \not \in \mathbb N$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1612574 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1612572 писал(а):

Но почему мы берем $P(x) := x \in \mathbb N$?

Потому что вопрос был "состоит ли пустое множество из натуральных чисел". .. Если бы вопрос был "все ли элементы пустого множества не являются натуральными числами", то надо было бы брать $P(x) := x \not \in \mathbb N$.

Но почему такая соглашательская позиция? Почему нельзя ответить: нет? Ведь из $x \in \varnothing$ следует что угодно?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612585 писал(а):

Ведь из $x \in \varnothing$ следует что угодно?

Потому что нас не спрашивали, что вообще следует из $x \in \varnothing$. Нас спрашивали, следует ли из этого что $x \in \mathbb N$. И ответ - да.
Еще, конечно, из $x \in \varnothing$ следует что $x \not \in \mathbb N$, но для ответа на вопрос "являются ли все элементы пустого множества натуральными числами" нас это не интересует.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
"Из $x\in\varnothing$ следует, что $x\in\mathbb{N}$" - верно.
"Из $x\in\varnothing$ следует, что $x\notin\mathbb{N}$" - тоже верно.
"Из $x\in\varnothing$ НЕ следует, что $x\in\mathbb{N}$" - неверно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1612587 писал(а):

Потому что нас не спрашивали, что вообще следует из $x \in \varnothing$. Нас спрашивали, следует ли из этого что $x \in \mathbb N$. И ответ - да.

Спасибо! Понял.

Mikhail_K в сообщении #1612589 писал(а):

"Из $x\in\varnothing$ следует, что $x\in\mathbb{N}$" - верно.
"Из $x\in\varnothing$ следует, что $x\notin\mathbb{N}$" - тоже верно.
"Из $x\in\varnothing$ НЕ следует, что $x\in\mathbb{N}$" - неверно.

И это тоже. Спасибо!

[Vladimir Pliassov]

Теперь попробую (с подсказками).

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):

Берем пустое множество.

1)Оно состоит из натуральных чисел?

Да:

epros в сообщении #1612537 писал(а):

$\forall x~x \in \varnothing \to x \in \mathbb{N}$.

Правильно ли я понимаю: пусть $x$ это трансцендентное число $\pi$ и пусть $x \in \varnothing$, тогда $x\in \mathbb N$, -- ?

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):

2)Оно ограничено сверху?

Да: $x \in \varnothing \to \exists a\in \mathbb N: \forall x\; a\geqslant x$.

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):

3)Оно содержит вместе с каждым числом все меньшие?

Да: $x \in \varnothing \to \forall y: (y<x \rightarrow y \in \varnothing)$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612610 писал(а):

Да: $x \in \varnothing \to \exists a\in \mathbb N: \forall x\; a\geqslant x$.

Тут порядок перепутан: квантор по $a$ должен быть в начале - то что Вы написали остается истинным даже если там $\varnothing$ заменить на $\mathbb N$.
Правильно записывается так: "множество $X$ ограничено, если $\exists a \forall x\in X: x < a$".

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612610 писал(а):

Правильно ли я понимаю: пусть $x$ это трансцендентное число $\pi$ и пусть $x \in \varnothing$, тогда $x\in \mathbb N$, -- ?

Да, из лжи следует что угодно, а $x\in\varnothing$ - заведомая ложь.

Ваше рассуждение можно продолжить, как в доказательствах от противного: мы получили противоречие ($x=\pi$ противоречит $x\in\mathbb{N}$), значит, хотя бы одно из наших предположений было неверно. И нетрудно понять, какое.

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612610 писал(а):

Да: $x \in \varnothing \to \exists a\in \mathbb N: \forall x\; a\geqslant x$.

Не хочу строить из себя великого педагога, но оно тем не менее как-то видно, что Вы делаете все эти вещи механически, без вникания в смысл.

Вот если бы меня спросили, ограничено ли сверху пустое множество, я бы рассуждал так:

Ну возьмем, допустим, число $1$

Почему $1$? Да сам не знаю. Просто нашел я тут пару дней назад хорошую настоечку...

Теперь я задаюсь вопросом: верно ли, что ($\forall x \in \varnothing$) $x \leqslant 1$?

А вдруг неверно. Посмотрим, смогу ли я предъявить такое число $x \in \varnothing$, что $x > 1$. Не получается как-то... Множество-то пустое, нечего предъявлять. Значит, вот это утверждение ($\forall x \in \varnothing$) $x \leqslant 1$ является верным. А это в точности значит, что $1$ является верхней границей для $\varnothing$, следовательно, оно ограничено сверху.

Лично мне гораздо комфортнее с рассуждениями такого плана. А не рисовать стрелочки в логике первого порядка.

[Vladimir Pliassov]

EminentVictorians в сообщении #1612662 писал(а):

Не хочу строить из себя великого педагога, но оно тем не менее как-то видно, что Вы делаете все эти вещи механически, без вникания в смысл.

Это не удивительно, так как я все еще не разобрался и иду ощупью.

EminentVictorians в сообщении #1612662 писал(а):

Вот если бы меня спросили, ограничено ли сверху пустое множество, я бы рассуждал так:

Ну возьмем, допустим, число $1$

Почему $1$? Да сам не знаю. Просто нашел я тут пару дней назад хорошую настоечку...

Теперь я задаюсь вопросом: верно ли, что ($\forall x \in \varnothing$) $x \leqslant 1$?

А вдруг неверно. Посмотрим, смогу ли я предъявить такое число $x \in \varnothing$, что $x > 1$. Не получается как-то... Множество-то пустое, нечего предъявлять. Значит, вот это утверждение ($\forall x \in \varnothing$) $x \leqslant 1$ является верным. А это в точности значит, что $1$ является верхней границей для $\varnothing$, следовательно, оно ограничено сверху.

Вот это интересно и как-то сразу понятно -- закон исключенного третьего (по которому одно из противоречащих друг другу утверждений верно).

[epros]

(Оффтоп)

EminentVictorians в сообщении #1612662 писал(а):

Вот если бы меня спросили, ограничено ли сверху пустое множество, я бы рассуждал так:

А я бы рассуждал так: Спрашивающему наверняка не хватает более серьёзных проблем для решения, надо бы ему подкинуть. Ведь есть же более важные вопросы. Например, пусть подумает, какого цвета глаза у несуществующего единорога. Или сколько воображаемых бесов могут уместиться на кончике воображаемой иглы. Наверняка обоснованиями правильного ответа можно будет заполнить более восьми страниц текста.