2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 14  След.
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 15:48 


22/10/20
1206
Vladimir Pliassov, вот смотрите. Стоит вопрос: "Пустое множество ограничено сверху?"

Если так сразу ответить сложно, начните с определений. С какими объектами Вы тут вообще соприкасаетесь? Какие у них определения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 16:26 
Аватара пользователя


22/07/22

897
А супремум пустого множества равен минус бесконечности? (а для натуральных чисел нулю). И наоборот, инфимум бесконечности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 16:28 


21/04/19
1232
mihaild в сообщении #1612555 писал(а):
в первом берем $P(x) := x \in \mathbb N$

Но почему мы берем $P(x) := x \in \mathbb N$? Почему не $P(x) := x \notin \mathbb N$? Ведь из $x \in \varnothing$ следует что угодно?

EminentVictorians в сообщении #1612567 писал(а):
Если так сразу ответить сложно, начните с определений. С какими объектами Вы тут вообще соприкасаетесь? Какие у них определения?

Спасибо! Дело в том, что у меня очень много вопросов, например, я еще на Ваши не ответил, обдумываю. Но надеюсь ответить и еще спросить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 16:31 


22/10/20
1206
Doctor Boom в сообщении #1612570 писал(а):
А супремум пустого множества равен минус бесконечности?
В двухточечной компактификации $\mathbb R$ - да. Просто в $\mathbb R$ супремума пустого множества не существует. С инфимумом - аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1612572 писал(а):
Но почему мы берем $P(x) := x \in \mathbb N$?
Потому что вопрос был "состоит ли пустое множество из натуральных чисел". Он соответствует как раз "верно ли что $x \in \mathbb N$ для всех $x \in \varnothing$". Если бы вопрос был "все ли элементы пустого множества не являются натуральными числами", то надо было бы брать $P(x) := x \not \in \mathbb N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 17:44 


21/04/19
1232
mihaild в сообщении #1612574 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1612572 писал(а):
Но почему мы берем $P(x) := x \in \mathbb N$?
Потому что вопрос был "состоит ли пустое множество из натуральных чисел". .. Если бы вопрос был "все ли элементы пустого множества не являются натуральными числами", то надо было бы брать $P(x) := x \not \in \mathbb N$.

Но почему такая соглашательская позиция? Почему нельзя ответить: нет? Ведь из $x \in \varnothing$ следует что угодно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1612585 писал(а):
Ведь из $x \in \varnothing$ следует что угодно?
Потому что нас не спрашивали, что вообще следует из $x \in \varnothing$. Нас спрашивали, следует ли из этого что $x \in \mathbb N$. И ответ - да.
Еще, конечно, из $x \in \varnothing$ следует что $x \not \in \mathbb N$, но для ответа на вопрос "являются ли все элементы пустого множества натуральными числами" нас это не интересует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4855
Vladimir Pliassov
"Из $x\in\varnothing$ следует, что $x\in\mathbb{N}$" - верно.
"Из $x\in\varnothing$ следует, что $x\notin\mathbb{N}$" - тоже верно.
"Из $x\in\varnothing$ НЕ следует, что $x\in\mathbb{N}$" - неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 18:18 


21/04/19
1232
mihaild в сообщении #1612587 писал(а):
Потому что нас не спрашивали, что вообще следует из $x \in \varnothing$. Нас спрашивали, следует ли из этого что $x \in \mathbb N$. И ответ - да.

Спасибо! Понял.

Mikhail_K в сообщении #1612589 писал(а):
"Из $x\in\varnothing$ следует, что $x\in\mathbb{N}$" - верно.
"Из $x\in\varnothing$ следует, что $x\notin\mathbb{N}$" - тоже верно.
"Из $x\in\varnothing$ НЕ следует, что $x\in\mathbb{N}$" - неверно.

И это тоже. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 20:46 


21/04/19
1232
Теперь попробую (с подсказками).

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):
Берем пустое множество.

1)Оно состоит из натуральных чисел?

Да:

epros в сообщении #1612537 писал(а):
$\forall x~x \in \varnothing \to x \in \mathbb{N}$.

Правильно ли я понимаю: пусть $x$ это трансцендентное число $\pi$ и пусть $x \in \varnothing$, тогда $x\in  \mathbb N$, -- ?

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):
2)Оно ограничено сверху?

Да: $x \in \varnothing \to \exists a\in \mathbb N: \forall x\;  a\geqslant x$.

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):
3)Оно содержит вместе с каждым числом все меньшие?

Да: $x \in \varnothing \to  \forall y: (y<x \rightarrow y \in \varnothing)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 21:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1612610 писал(а):
Да: $x \in \varnothing \to \exists a\in \mathbb N: \forall x\;  a\geqslant x$.
Тут порядок перепутан: квантор по $a$ должен быть в начале - то что Вы написали остается истинным даже если там $\varnothing$ заменить на $\mathbb N$.
Правильно записывается так: "множество $X$ ограничено, если $\exists a \forall x\in X: x < a$".

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение06.10.2023, 10:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4855
Vladimir Pliassov в сообщении #1612610 писал(а):
Правильно ли я понимаю: пусть $x$ это трансцендентное число $\pi$ и пусть $x \in \varnothing$, тогда $x\in  \mathbb N$, -- ?
Да, из лжи следует что угодно, а $x\in\varnothing$ - заведомая ложь.

Ваше рассуждение можно продолжить, как в доказательствах от противного: мы получили противоречие ($x=\pi$ противоречит $x\in\mathbb{N}$), значит, хотя бы одно из наших предположений было неверно. И нетрудно понять, какое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение06.10.2023, 12:00 


22/10/20
1206
Vladimir Pliassov в сообщении #1612610 писал(а):
Да: $x \in \varnothing \to \exists a\in \mathbb N: \forall x\;  a\geqslant x$.
Не хочу строить из себя великого педагога, но оно тем не менее как-то видно, что Вы делаете все эти вещи механически, без вникания в смысл.

Вот если бы меня спросили, ограничено ли сверху пустое множество, я бы рассуждал так:

Ну возьмем, допустим, число $1$ :mrgreen:

Почему $1$? Да сам не знаю. Просто нашел я тут пару дней назад хорошую настоечку... :mrgreen: :mrgreen:

Теперь я задаюсь вопросом: верно ли, что ($\forall x \in \varnothing$) $x \leqslant 1$?

А вдруг неверно. Посмотрим, смогу ли я предъявить такое число $x \in \varnothing$, что $x > 1$. Не получается как-то... Множество-то пустое, нечего предъявлять. Значит, вот это утверждение ($\forall x \in \varnothing$) $x \leqslant 1$ является верным. А это в точности значит, что $1$ является верхней границей для $\varnothing$, следовательно, оно ограничено сверху.

Лично мне гораздо комфортнее с рассуждениями такого плана. А не рисовать стрелочки в логике первого порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение06.10.2023, 13:49 


21/04/19
1232
EminentVictorians в сообщении #1612662 писал(а):
Не хочу строить из себя великого педагога, но оно тем не менее как-то видно, что Вы делаете все эти вещи механически, без вникания в смысл.

Это не удивительно, так как я все еще не разобрался и иду ощупью.

EminentVictorians в сообщении #1612662 писал(а):
Вот если бы меня спросили, ограничено ли сверху пустое множество, я бы рассуждал так:

Ну возьмем, допустим, число $1$ :mrgreen:

Почему $1$? Да сам не знаю. Просто нашел я тут пару дней назад хорошую настоечку... :mrgreen: :mrgreen:

Теперь я задаюсь вопросом: верно ли, что ($\forall x \in \varnothing$) $x \leqslant 1$?

А вдруг неверно. Посмотрим, смогу ли я предъявить такое число $x \in \varnothing$, что $x > 1$. Не получается как-то... Множество-то пустое, нечего предъявлять. Значит, вот это утверждение ($\forall x \in \varnothing$) $x \leqslant 1$ является верным. А это в точности значит, что $1$ является верхней границей для $\varnothing$, следовательно, оно ограничено сверху.

Вот это интересно и как-то сразу понятно -- закон исключенного третьего (по которому одно из противоречащих друг другу утверждений верно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение06.10.2023, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10983

(Оффтоп)

EminentVictorians в сообщении #1612662 писал(а):
Вот если бы меня спросили, ограничено ли сверху пустое множество, я бы рассуждал так:

А я бы рассуждал так: Спрашивающему наверняка не хватает более серьёзных проблем для решения, надо бы ему подкинуть. Ведь есть же более важные вопросы. Например, пусть подумает, какого цвета глаза у несуществующего единорога. Или сколько воображаемых бесов могут уместиться на кончике воображаемой иглы. Наверняка обоснованиями правильного ответа можно будет заполнить более восьми страниц текста.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 207 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 14  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group