Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]

[mihaild]

Да, пардон, не посмотрел. Ну тогда по процитированному моему определению, независимо от того, согласен ли с ним Geen:)

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1612410 писал(а):

Вот как раз по определению Geen.

Вы имеете в виду это:

Geen в сообщении #1611516 писал(а):

Мне как-то больше нравится "равномощно собственному подмножеству"

?

[mihaild]

Нет, я имею в виду процитированное Вами и приписанное Geen

mihaild в сообщении #1611509 писал(а):

Отрезок натурального ряда - это множество, состоящее из натуральных чисел, ограниченное сверху и вместе с каждым числом содержащее все меньшие

[Vladimir Pliassov]

Да, конечно, это не могло быть "равномощно собственному подмножеству".

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1612426 писал(а):

Нет, я имею в виду процитированное Вами и приписанное Geen

mihaild в сообщении #1611509 писал(а):

Отрезок натурального ряда - это множество, состоящее из натуральных чисел, ограниченное сверху и вместе с каждым числом содержащее все меньшие

С этим определением какая-то мистика: я хорошо помню, что цитировал Вас (из сообщения #1611509), а в цитате стоит Geen!

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612479 писал(а):

С этим определением какая-то мистика: я хорошо помню, что цитировал Вас

Это происходит если выделить текст в одном сообщении, а нажать кнопку "вставка" в другом. Можно даже вот такой эффект получить:

mihaild в сообщении #1612426 писал(а):

Как подсвечивать синтаксис?

Как вставлять картинки

(и я тег цитаты не правил, просто выделил текст и нажал "вставка")

[Vladimir Pliassov]

1.

mihaild в сообщении #1612483 писал(а):

Это происходит если выделить текст в одном сообщении, а нажать кнопку "вставка" в другом.

Правда, я попробовал -- получается! Значит, можно приписать что угодно кому угодно. Теперь придется следить еще и за этим!

2.

Итак, имеем два определения отрезка натурального ряда:

Цитата:

Отрезком $N$ натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$, т. е $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$.

https://kto.guru/matematika/802-teoreti ... hisla.html

и

mihaild в сообщении #1611509 писал(а):

Отрезок натурального ряда - это множество, состоящее из натуральных чисел, ограниченное сверху и вместе с каждым числом содержащее все меньшие.

Вы утверждаете, что

mihaild в сообщении #1612019 писал(а):

Если пользоваться вот этим определением: ...

Цитата:

Отрезком $N$ натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$, т. е $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$

То пустое множество не является отрезком натурального ряда. Потому что если раскрыть такую запись чуть подробнее, то получится "Множество $N$ является отрезком натурального ряда тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число $a$, что $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$". И для пустого множества такого числа не существует

Вы также утверждаете, что при втором определении

mihaild в сообщении #1611509 писал(а):

Пустое множество считается отрезком натурального ряда.

Чем же они отличаются? Тем, что в первом определении в явном виде присутствует точная верхняя граница $a$ множества $N$, а во втором она в явном виде отсутствует? Но, по-моему, она, хотя и в неявном виде, но присутствует в нем, поскольку в нем сказано, что множество $N$ (обозначим его так же как в первом определении) ограничено сверху, что означает, что оно имеет точную верхнюю границу (см. Фихтенгольц, https://studfile.net/preview/4422204/page:4/, стр 27). Я думаю, что эта граница может быть только натуральным числом и принадлежит $N$, являясь его наибольшим элементом (это надо доказать, но с доказательством у меня возникли проблемы, об этом позже), таким образом, она представляет собой то же самое, что и $a$ из первого определения.

Или различие этих определений в чем-то другом?

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov, так Вы проверьте, что по второму определению пустое множество является отрезком натурального ряда.

Берем пустое множество.

1)Оно состоит из натуральных чисел?
2)Оно ограничено сверху?
3)Оно содержит вместе с каждым числом все меньшие?

Ответьте на эти вопросы и, желательно, подробно и строго. Я имею в виду, что очень желательно в ответе явно прописать, что означают все эти словесные обороты.

[Vladimir Pliassov]

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):

Берем пустое множество.

1)Оно состоит из натуральных чисел?

Это вопрос. О нем говорят, что оно "не содержит" ни одного элемента, но, как я понимаю, полагается, что оно "состоит" из элементов -- причем любой природы, -- то есть в том числе и из натуральных чисел.

Вот пустая тарелка. Можно сказать, что в ней нет орехов, а можно сказать, что в ней нет яблок. Или, если в ней только яблоки, можно сказать, что в ней нет орехов.

С точки зрения иррациональных чисел множество рациональных чисел это пустое множество иррациональных чисел.

У Вас есть три рубля, у меня ноль рублей, то есть у Вас непустое множество рублей, а у меня -- пустое множество рублей.

Я отвечу так: пустое множество состоит из натуральных чисел, но при этом не содержит ни одного натурального числа. Правильно? Или вместо слова "состоит" следует употреблять какое-то другое слово?

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):

2)Оно ограничено сверху?

Если оно состоит из всех натуральных чисел, то есть из $\mathbb N$, то оно не ограничено сверху, но ограничено снизу. Если оно состоит из элементов ограниченного сверху множества натуральных чисел, то оно ограничено и сверху, и снизу.

Но в том отношении, что оно не содержит ни одного числа (или можно сказать: ни одно число ему не принадлежит), не определено, ограничено оно сверху или нет, потому что (см. Фихтенгольц, https://studfile.net/preview/4422204/page:4/, стр 26) множество $\{x\}$ ограничено сверху, если для любого его элемента $x$ существует такое число $M$, что $x\leqslant M$, а этого "любого его элемента" просто нет, и говорить не о чем.

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):

3)Оно содержит вместе с каждым числом все меньшие?

Оно не содержит ни одного числа. Но вот если бы Вы спросили: "Состоит ли оно из всех элементов такого множества чисел, которое вместе с каждым числом содержит все меньшие?" -- я бы ответил, что состоит, потому что оно состоит из любого множества чисел.

Это как с красными крокодилами в этой комнате: на них можно вешать всех собак (то есть можно клеветать на отсутствующих).

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612521 писал(а):

Я отвечу так: пустое множество состоит из натуральных чисел, но при этом не содержит ни одного натурального числа. Правильно?

Правильно. Но вместо рассуждений про тарелки и пустое множество иррациональных чисел, достаточно было просто сказать, что оборот "множество $A$ состоит из элементов множества $B$" при переводе на строгий математический язык расшифровывается как $A \subset B$. В нашем случае $\varnothing \subset \mathbb N$, т.е. ответ "да, состоит".

Vladimir Pliassov в сообщении #1612521 писал(а):

Если оно состоит из всех натуральных чисел, то есть из $\mathbb N$, то оно не ограничено сверху,

"Оно" - это пустое множество. Вы уверены, что пустое множество состоит из всех натуральных чисел?

Vladimir Pliassov в сообщении #1612521 писал(а):

Если оно состоит из элементов ограниченного сверху множества натуральных чисел

Множество натуральных чисел ограничено сверху? Если что, когда говорят "множество натуральных чисел", имеют в виду вполне конкретное бесконечное множество: $\mathbb N = \{1, 2, 3, ...\}$. Если Вы хотите рассмотреть не $\mathbb N$, а какое-то его подмножество, так и говорите "подмножество множества натуральных чисел". Так понятнее будет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612521 писал(а):

Но вот если бы Вы спросили: "Состоит ли оно из всех элементов такого множества чисел, которое вместе с каждым числом содержит все меньшие?" -- я бы ответил, что состоит, потому что оно состоит из любого множества чисел.

Вы в каждой второй строчке про это "состоит" пишете. "Состоит" = "является подмножеством". Вот и все.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612521 писал(а):

Оно не содержит ни одного числа.

Да. Но я так и не понял, оно содержит вместе с каждым числом все меньшие или нет?

В общем, пока Вы ответили только на первый вопрос.

[ИСН]

К этому надо привыкнуть. Каждый элемент пустого множества - это натуральное число, но также это человек с двумя головами, который побывал на Луне, и уже умер, но ещё не родился. Это называется "vacuous truth".

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612521 писал(а):

а этого "любого его элемента" просто нет, и говорить не о чем.

Такое "рассуждение" в корне не верно. И главное, вместо ответа (вполне конкретного - истина или ложь) на вопрос, начинается "размахивание руками".

-- 05.10.2023, 12:03 --

Кстати, иногда, как "определение" пустого множества, можно встретить $\varnothing=\{x|x\ne x\}$

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1612525 писал(а):

В нашем случае $\varnothing \subset \mathbb N$, т.е. ответ "да, состоит".

Добавлю, что дело тут не во множествах, а в логическом законе Ex falso quodlibet: $\bot \to p$ - из ложного утверждения следует что угодно. В данном случае ложное утверждение $\bot$ для любого $x$ формулируется как $x \in \varnothing$, а следующее из него утверждение $p$ для того же $x$ - это $x \in \mathbb{N}$. Итого: $\forall x~x \in \varnothing \to x \in \mathbb{N}$.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1612537 писал(а):

Добавлю, что дело тут не во множествах, а в логическом законе Ex falso quodlibet: $\bot \to p$ - из ложного утверждения следует что угодно. В данном случае ложное утверждение $\bot$ для любого $x$ формулируется как $x \in \varnothing$, а следующее из него утверждение $p$ для того же $x$ - это $x \in \mathbb{N}$. Итого: $\forall x~x \in \varnothing \to x \in \mathbb{N}$.

Опираясь на этот закон, можно очень легко решить эту задачу:

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):

Берем пустое множество.

1)Оно состоит из натуральных чисел?
2)Оно ограничено сверху?
3)Оно содержит вместе с каждым числом все меньшие?

Берем произвольные объекты $x, y, z, \ldots \; ,$ ложно утверждаем что они суть элементы пустого множества, из этого по закону Ex falso quodlibet делаем вывод: да на все три вопроса.

Но из того же ложного утверждения по закону Ex falso quodlibet можем сделать и другие выводы: нет на все три вопроса или на некоторые да, на некоторые нет. Или я ошибаюсь?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612552 писал(а):

Но из того же ложного утверждения по закону Ex falso quodlibet можем сделать и другие выводы: нет на все три вопроса или на некоторые да, на некоторые нет

Не можем.
Все вопросы имеют примерно вид "верно ли, что для произвольного $x \in \varnothing$ выполнено $P(x)$". Первый и третий в точности такой: в первом берем $P(x) := x \in \mathbb N$, в третьем $P(x) := \forall y: y \leq x \rightarrow y \in \varnothing$. В третьем сверху еще один квантор существования - "верно ли, что существует $a \in \mathbb N$, такой что для произвольного $x \in \varnothing$ выполнено $P(x, a)$.
На абсолютно все вопросы такого вида ответ положительный.