Парадокс лжеца

[Утундрий]

Я вполне понимаю и разделяю стремления ко всякого рода алгебраическим пополнениям. Действительно, мы умеем пересекать пересекающиеся множества и получать в результате тоже множества. Естественно пытаться распространить эту тенденцию и на случай множеств не пересекающихся. Но никакое удобство не даётся даром. В рассматриваемом случае лажа возникает после слов "А давайте элементами множеств будут и сами множества!" И на сцену выходят уроды: множество, элементами которого являются пустые множества и множества пустых множеств и множества из множеств пустых множеств...

[EminentVictorians]

Утундрий в сообщении #1610617 писал(а):

Я вполне понимаю и разделяю стремления ко всякого рода алгебраическим пополнениям. Действительно, мы умеем пересекать пересекающиеся множества и получать в результате тоже множества. Естественно пытаться распространить эту тенденцию и на случай множеств не пересекающихся.

Во-первых, да, замыкание операции пересечения - это правильно и необходимо. А во-вторых, $\varnothing$ является начальным объектом в категории $\mathbf{Set}$ малых множеств. И это еще более правильно и необходимо. Категории с начальными объектами сильно лучше категорий без таковых.

(Оффтоп)

Если категория с начальным объектом мала, то там вообще красота. Любой функтор из нее в любую другую категорию имеет предел (равный значению этого функтора на этом начальном объекте; брать можно, разумеется любой начальный объект из множества изоморфных; предел тоже ведь универсален, а значит определяется только с точностью до изоморфизма)

К начальным объектам можно свести многие (а может быть даже и все) основные теоретико-категорные объекты. В частности, любая универсальная стрелка является начальным объектом в категории запятой, а через универсальные стрелки можно говорить практически о чем угодно. Неудивительно, что так хочется иметь сильные теоремы о существовании этих начальных объектов. И такие есть. Мне больше всего запомнилась теорема, которая, если не углубляться в технические детали, гарантирует существование начального объекта при условии существования малого слабо-начального множества объектов в категории (это верно не для всех категорий, но для достаточно широкого класса - полных в малом и имеющих малые $\hom$-множества - верно).

Далее, категории с начальными объектами - это без 5 минут моноидальные категории (надо лишь чтобы были конечные копроизведения, а они часто есть).

Через начальные объекты можно сформулировать критерии существования левых сопряженных. Все они сводятся примерно к такой схеме: $G:A \to X$ имеет левый сопряженный титтк $\forall x \in X $ категория запятой $(x | G)$ имеет начальный объект (+ технические детали). (По сути это - условие на существование единицы сопряжения, а она, по модулю простых технических деталей, полностью определяет сопряжение.)

В общем, начальные объекты - это признак хорошей категории.

-- 19.09.2023, 21:27 --

Утундрий в сообщении #1610617 писал(а):

И на сцену выходят уроды: множество, элементами которого являются пустые множества и множества пустых множеств и множества из множеств пустых множеств...

Кстати, почему множества? Пустое множество единственно.

А так, то, что все множества конструируются из пустого - это же хорошо. Не надо выходить из универсума $U_\varnothing$ - красота же.

[pppppppo_98]

EminentVictorians в сообщении #1610612 писал(а):

В $ZFC$ - нет. Там это теорема. Доказательство примерно такое:

ну таки местами потулируется , причсем со ссылками еа оригинал (сам по немецки не читаю) в
https://people.math.ethz.ch/~halorenz/4 ... T/Ch13.pdf
https://plato.stanford.edu/entries/set-theory/ZF.html

EminentVictorians в сообщении #1610612 писал(а):

Под "достаточно богатыми" как правило и имеют в виду "расширяющая арифметику".

естьь богатые и не расширяющие арифметики - например теория категорий или топосы

-- Ср сен 20, 2023 01:18:08 --

Утундрий в сообщении #1610617 писал(а):

множество, элементами которого являются пустые множества и множества пустых множеств и множества из множеств пустых множеств

почему уродцы... формально в множестве содержащем пустое множество есть один элемент, а пустом нет, множество - это сущность отличимая от его элементов ,.. и это обязательное уловие, ибо снова таки возникнут противоречия(аля не самосдержащий класс)

EminentVictorians в сообщении #1610633 писал(а):

что все множества конструируются из пустого - это же хорошо.

это гипотеза, вероятно кстати из класса недоказуемых.ИМХО

[EminentVictorians]

pppppppo_98 в сообщении #1610651 писал(а):

ну таки местами потулируется , причсем со ссылками еа оригинал (сам по немецки не читаю) в

Принимается. Мне, конечно, обычная аксиоматика как-то привычнее, но так тоже можно.

pppppppo_98 в сообщении #1610651 писал(а):

естьь богатые и не расширяющие арифметики - например теория категорий или топосы

Теория категорий в смысле ETAC/ETCC? Как для них может не работать теорема Геделя, если эти теории настолько "большие", что на них предлагали математику строить? По-моему, теорема Геделя для них работает обычным образом.

pppppppo_98 в сообщении #1610651 писал(а):

это гипотеза, вероятно кстати из класса недоказуемых.ИМХО

Я не очень понял, о чем Вы. Я имел в виду простой тезис: мы конструируем множества из $\varnothing$ и тем самым остаемся в универсуме $U_\varnothing$.

[epros]

Утундрий в сообщении #1610617 писал(а):

И на сцену выходят уроды: множество, элементами которого являются пустые множества и множества пустых множеств и множества из множеств пустых множеств...

Интересно, что в теории множеств ничего другого, собственно, и нет.

[pppppppo_98]

epros в сообщении #1610704 писал(а):

Интересно, что в теории множеств ничего другого, собственно, и нет.

в какой из теорий? Есть теории с ur-элементами