Парадокс лжеца

[Doctor Boom]

Собственно, утверждение А="Это утверждение ложно", не является ни истинным, ни ложным, т.к. из А следует неА и наоборот, т.е. это можно считать неутверждением (т.к. по законам логики утверждение либо истинно, либо ложно). А какие у нас есть гарантии, что какие-то другие утверждения (или то, что мы считаем таковыми) не представляют собой парадокс лжеца? Допустим, мы доказали от противного, что неБ ложно (т.к. не может являться истиной), и сделали вывод, что Б истинно. Хотя могли бы доказать, что Б ложно, а значит неБ истинно. И что с этим делать? Уверовать, что это утверждение не представляет парадокс лжеца?

[EUgeneUS]

Doctor Boom
Не знаю кому как, а мне удобно это рассматривать, как соединение логических элементов.

В этом представлении парадокс лжеца "Это утверждение ложно" соответствует соединению выхода инвертора с его входом.
Тогда инвертор действительно, переходит в некое промежуточное состояние (даже можно из логического элемента сделать аналоговый усилитель).

Так вот,
а) если соединение элементов представляет собой древовидную структуру (ориентированный граф без циклов), то всё будет хорошо.
б) а если есть циклы, то могут быть чудеса.
В частности, "если $А$, то $B$; если $B$, то $A$" - соответствует триггеру Шмитта, а в логике является порочным кругом

[TOTAL]

(Оффтоп)

В разделе "Помогите решить и разобраться" наклёвывается раздельчик "Помогите подискутировать страниц на двадцать"

[sergey zhukov]

Doctor Boom
Так разве теорема Геделя не говорит как раз о том, что парадоксы лжеца неизбежны? Чтобы пороверить утверждение на "вшивость", нужно дать одновременно и его доказательство, и его опровержение. Либо доказать, что его нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Т.е. в нашей аксиоматике есть утверждения доказуемо ложные, есть доказуемо истинные, есть недоказуемые, и есть имеющие одновременно доказательство и истинности, и ложности. Закон исключения "если не одно, значит - другое" тут не работает, вариантов больше двух.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1609779 писал(а):

и есть имеющие одновременно доказательство и истинности, и ложности.

Чё? Ваша аксиоматика противоречива?

-- 17.09.2023, 14:09 --

Doctor Boom
Формальная логика очень интересная штука. Но уровень немного не тот задан исходным постом, чтобы в неё углубляться. Ответ: да, никаких гарантий.

[мат-ламер]

Doctor Boom в сообщении #1609771 писал(а):

А какие у нас есть гарантии, что какие-то другие утверждения (или то, что мы считаем таковыми) не представляют собой парадокс лжеца?

Не совсем понятен вопрос. Что значит "утверждение представляет собой парадокс лжеца"? Мы вполне можем натолкнуться на утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть. То есть построить модели, в которых как утверждение, так и его отрицание совместимы с остальными аксиомами. Это нормально.

[sergey zhukov]

realeugene в сообщении #1609797 писал(а):

Чё? Ваша аксиоматика противоречива?

А что, не может этого быть? Чтобы доказать ее непротиворечивость, тоже ведь постараться нужно.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1609807 писал(а):

А что, не может этого быть? Чтобы доказать ее непротиворечивость, тоже ведь постараться нужно.

Непротиворечивость математики подразумевается, но является утверждением метаматематики, но не самой математики. Как раз в силу второй теоремы Гёделя, утверждающей, что доказать непротиворечивость арифметики невозможно. А значит, как только вы принимаете непротиворечивость математики в качестве аксиомы, вы получаете противоречие, из которого следует всё, что угодно.

[Doctor Boom]

sergey zhukov в сообщении #1609779 писал(а):

Так разве теорема Геделя не говорит как раз о том, что парадоксы лжеца неизбежны?

Неа, оно говорит о том, что в любой достаточно богатой аксиоматической системе (достаточно богатой, чтобы она вмещала аксиоматику Пеано, и содержала конечное число аксиом) найдется утверждение, которое является недоказуемым средствами этой аксиоматики. Его можно аксиомой положить истинным или ложным, в парадоксе лжеца так нельзя

sergey zhukov в сообщении #1609779 писал(а):

Чтобы пороверить утверждение на "вшивость", нужно дать одновременно и его доказательство, и его опровержение.

С чего бы? Всегда обходятся одним

sergey zhukov в сообщении #1609779 писал(а):

Либо доказать, что его нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Т.е. в нашей аксиоматике есть утверждения доказуемо ложные, есть доказуемо истинные, есть недоказуемые, и есть имеющие одновременно доказательство и истинности, и ложности.

Вот последние и представляют сложность, как их отличить от первых двух?

realeugene в сообщении #1609797 писал(а):

Чё? Ваша аксиоматика противоречива?

Нет, просто утверждение подобно "это утверждение ложно"

мат-ламер в сообщении #1609805 писал(а):

Мы вполне можем натолкнуться на утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть. То есть построить модели, в которых как утверждение, так и его отрицание совместимы с остальными аксиомами. Это нормально.

Так в парадоксе лжеца никогда не совместимы

realeugene в сообщении #1609813 писал(а):

Непротиворечивость математики подразумевается, но является утверждением метаматематики, но не самой математики. Как раз в силу второй теоремы Гёделя, утверждающей, что доказать непротиворечивость арифметики невозможно. А значит, как только вы принимаете непротиворечивость математики в качестве аксиомы, вы получаете противоречие, из которого следует всё, что угодно.

Вообще таки нет, недоказуемым только средствами самой арифметики. Вы к ней можете безболезненно добавить аксиому о ее непротиворечивости, будет расширенная арифметика

-- 17.09.2023, 15:29 --

Все согласны, что если неА влечет противоречие, то А истинно? Безотносительно Геделей и т.д.

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1609817 писал(а):

Вы к ней можете безболезненно добавить аксиому о ее непротиворечивости, будет расширенная арифметика

Нет, эта дополнительная аксиома сама немедленно будет доказательством непротиворечивости, про которое строго доказано, что такое доказательство невозможно. Противоречие.

[Doctor Boom]

realeugene
А пусть она говорит о непротиворечивости списка аксиом без нее самой.
Или если ее включать, вы можете показать, как следует противоречие?

[sergey zhukov]

Doctor Boom
А я так всегда полагал, что эта самая "достаточно богатая" система аксиом всегда либо неполна, либо противоречива. Не одновременно и то и это, конечно.

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1609822 писал(а):

Или если ее включать, вы можете показать, как следует противоречие?

Гёдель пронумеровал все логические формулы и методом диагонализации из одних аксиом арифметики доказал утверждение, что нельзя доказать, что нельзя доказать ложь. Как только вы добавляете к списку аксиом арифметики логическую формулу, что нельзя доказать ложь, вы получаете из новой аксиоматики одновременно вывод как некоторого утверждения, так и его отрицания, т. е. противоречие.

Таким образом, аксиома непротиворечивости уже несовместима с арифметикой и, следовательно, с любой теорией, содержащей арифметику как часть.

[Mikhail_K]

realeugene в сообщении #1609813 писал(а):

А значит, как только вы принимаете непротиворечивость математики в качестве аксиомы, вы получаете противоречие, из которого следует всё, что угодно.

realeugene в сообщении #1610127 писал(а):

Гёдель пронумеровал все логические формулы и методом диагонализации из одних аксиом арифметики доказал утверждение, что нельзя доказать, что нельзя доказать ложь. Как только вы добавляете к списку аксиом арифметики логическую формулу, что нельзя доказать ложь, вы получаете из новой аксиоматики одновременно вывод как некоторого утверждения, так и его отрицания, т. е. противоречие.

Таким образом, аксиома непротиворечивости уже несовместима с арифметикой и, следовательно, с любой теорией, содержащей арифметику как часть.

Мне кажется, здесь написано что-то очень странное и неверное. Построенное Гёделем утверждение недоказуемо, но это не значит, что оно чему-то противоречит.

Doctor Boom в сообщении #1609822 писал(а):

realeugene
А пусть она говорит о непротиворечивости списка аксиом без нее самой.

Ага.

[realeugene]

Mikhail_K в сообщении #1610136 писал(а):

Ага.

Насколько я помню, аксиома непротиворечивости есть просто утверждение про истинность отрицания предиката доказуемости на значении ложь, но уверенно утверждать про детали без заглядывания в книжки сейчас не могу.

А Вторая теорема Гёделя, если мне память не изменяет, это утверждение, что отрицание предиката доказуемости на такой формуле истинно.