Парадокс лжеца

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1610367 писал(а):

Рассмотрим множество $M$ тех и только тех множеств, которые не являются элементами самих себя.

EminentVictorians в сообщении #1610367 писал(а):

Получается, что утверждение $A$ имеет 2 истинностных значения: истина и ложь одновременно.

Нет, не значит. Это значит, что Вы попытались построить модель противоречивой теории. Естественно, Вы обнаружите, что модели не существует.

[EminentVictorians]

Geen в сообщении #1610376 писал(а):

Любое утверждение в противоречивой теории.

Да, принимается. Не подумал об этом. Но было бы здорово все равно увидеть какой-нибудь конкретный пример такого утверждения с двумя доказательствами - истинности и ложности. Разумеется, известные парадоксы типа Кантора или Бурали-Форти я и так знаю, их не надо приводить в пример. Наверное можно опереться на известный парадокс и с его помощью сконструировать производный от него. Но так тоже не очень интересно. Дело в том, что я хотел проверить на прочность подход с классами и множествами, а он все такие шаги успешно отрабатывает, поэтому нужно что-то более нетривиальное.

epros в сообщении #1610384 писал(а):

Нет, не значит. Это значит, что Вы попытались построить модель противоречивой теории. Естественно, Вы обнаружите, что модели не существует.

Модель в строгом смысле может быть только у формальной теории. Я не понимаю, где Вы здесь формальную теорию-то видите. Рассел никакую модель не строил, он просто привел пример парадоксального рассуждения.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1610391 писал(а):

Модель в строгом смысле может быть только у формальной теории. Я не понимаю, где Вы здесь формальную теорию-то видите. Рассел никакую модель не строил, он просто привел пример парадоксального рассуждения.

Модель теории - это такая разновидность интерпретации языка теории. Вы (вслед за Расселом) начали интерпретировать язык теории множеств в части утверждения и принадлежности множества самому себе. То, что утверждение не удалось однозначно интерпретировать как истинное или ложное, свидетельствует о том, что кое-чего не должно быть в аксиоматике теории.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1610403 писал(а):

Вы (вслед за Расселом) начали интерпретировать язык теории множеств в части утверждения и принадлежности множества самому себе.

Лично я ничего не интерпретирую. Интерпретировать можно только формальную теорию, а у меня просто наивная теория множеств. Неформализованная.

Я понимаю Ваш ход мыслей: Вы не разделяете наивную теорию множеств и ее формализацию в логике первого порядка с неограниченной схемой аксиом выделения. А я разделяю.

[epros]

Вы интерпретируете предложения языка теории множеств. Причём это "формальный" язык, потому что Вы используете значок $\in$, а не слово "принадлежит".

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1610455 писал(а):

Причём это "формальный" язык, потому что Вы используете значок $\in$, а не слово "принадлежит".

Значок $\in$ не делает язык формальным. То расселовское рассуждение с предыдущей страницы написано не на формальном языке, а на естественном. От того, что там есть значок $\in$, оно формальным не стало.

Вот пример формального текста:

Цитата:

$$\forall A \ \bigl(\bigl(\exist a \bigl(a\in A \bigr)\ \land \ \forall b \ (b \in A \rightarrow \exist a \bigl(a\in b \bigr)\bigr) \ \land \ \forall b_1\ \forall b_2\ \forall c \ (b_1 \in A\land b_2 \in A \land c \in b_1 \land c \in b_2 \rightarrow b_1 = b_2\bigr)\bigr) \rightarrow$$

$$\rightarrow \bigl( \exist D\ \forall b \bigl( b \in A \rightarrow \exists d \bigl( d \in b \land d \in D \bigr) \land \forall d_1 \ \forall d_2 \ \bigl( d_1 \in b \land d_2 \in b \land d_1 \in D \land d_2 \in D \rightarrow d_1 = d_2 \bigr) \bigr) \bigr) \bigr)$$

Формальное доказательство должно полностью выглядеть как такая простыня из скобок, стрелок и кванторов.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1610470 писал(а):

Значок $\in$ не делает язык формальным.

А что делает? Просто Вы постоянно обвиняете меня в формализме, а я наоборот вижу, что у Вас формализмов гораздо больше, причём там, где без них прекрасно можно обойтись.

Рассуждение Рассела вполне понятно и на естественном языке. Но это именно потому, что очевидно, как оно формализуется. Поэтому Ваши доводы о том, что интерпретировать можно только нечто формальное, неуместны.

Ещё раз, о чём эта тема? О парадоксе лжеца и о том, может ли он быть проблемой для логики. Я ответил, что проблемой для логики он быть не может, потому что язык логики не позволяет самореференций утверждений. А что хотели сказать Вы? Что можно сформулировать противоречивые аксиоматики, типа аксиоматики наивной теории множеств? Так это известно. Просто не формулируйте противоречивых аксиоматик.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1610491 писал(а):

А что делает?

Просто сокращает слово "принадлежит".

epros в сообщении #1610491 писал(а):

Просто Вы постоянно обвиняете меня в формализме, а я наоборот вижу, что у Вас формализмов гораздо больше, причём там, где без них прекрасно можно обойтись.

Давайте "сверим часы". За все время своего пребывания на этом форуме я не привел ни одного формального доказательства. Все без исключения доказательства, которые я писал здесь, были неформальными. Более того, за все время, которое я в принципе занимался математикой, я провел не больше десятка формальных доказательств и все они касались самых элементарных утверждений теории множеств (ZFC). У меня такое ощущение, что под "формальными доказательствами" Вы имеете в виду что-то не то.

epros в сообщении #1610491 писал(а):

Но это именно потому, что очевидно, как оно формализуется.

Ну не знаю... Я бы может быть и смог бы его формализовать (в каком-нибудь варианте формализованной наивной теории множеств с неограниченной схемой аксиом выделения) , но мне на это потребуется наверное не меньше часа или двух времени и большой запас терпения и концентрации. Я это, конечно, делать не буду (т.к. сильно лень), но примерно оценить могу. Если что, рассуждение из этой темы на 2-ой странице не является формальным. Оно сделано на обычном естественном языке с вкраплениями математической символики (в частности того самого значка $\in$, про который Вы почему-то думаете, что он превращает неформальное доказательство в формальное).

epros в сообщении #1610491 писал(а):

А что хотели сказать Вы?

Вы с самого первого Вашего сообщения мне (в этой теме) стали использовать слова "модель" и "интерпретация языка" по отношению к парадоксу Рассела. Мой тезис в том, что Вы смешиваете уровни строгости и формализации. Я утверждаю, что парадокс Рассела может формулироваться (и всегда так и формулируется) на неформальном уровне. На уровне наивной (или "полу-наивной", как в моем случае - с множествами и классами) теории множеств, где нету никаких формальных теорий, формальных языков, их интерпретаций и т.д. Собственно говоря, я ни разу в жизни не видел формализацию парадокса Рассела. Вот буквально ни в одной книге, где он упоминается, не было ни единой попытки привести его формальное доказательство.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1610503 писал(а):

Просто сокращает слово "принадлежит".

Любая формализация "просто сокращает слова", а заодно исключает их неоднозначные интерпретации.

EminentVictorians в сообщении #1610503 писал(а):

У меня такое ощущение, что под "формальными доказательствами" Вы имеете в виду что-то не то.

Уровни формализации бывают разные. Можно исписать весь лист специфической теоретико-множественной символикой и всё ещё считать, что это "неформально", потому что это всё ещё не не подходит для компьютерного доказательства теорем.

EminentVictorians в сообщении #1610503 писал(а):

Вы с самого первого Вашего сообщения мне (в этой теме) стали использовать слова "модель" и "интерпретация языка" по отношению к парадоксу Рассела.

Потому что Вы заговорили о присвоении значений истинности, а истинность, как известно, присваивается интерпретацией языка.

EminentVictorians в сообщении #1610503 писал(а):

Я утверждаю, что парадокс Рассела может формулироваться (и всегда так и формулируется) на неформальном уровне.

Заслуга Рассела в том, что он применил известный парадокс брадобрея к языку теории множеств и таким образом продемонстрировал, что наивная аксиоматика, предполагающая возможность собрать множество по любому свойству, несостоятельна.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1610507 писал(а):

Можно исписать весь лист специфической теоретико-множественной символикой и всё ещё считать, что это "неформально", потому что это всё ещё не не подходит для компьютерного доказательства теорем.

В моем понимании формальное доказательство должно выглядеть в стиле той аксиомы выбора, которую я процитировал парой сообщений выше: одни сплошные скобки, стрелки, кванторы и т.д. Все остальное - неформальное. Ну да, если Вы называете "формальными" доказательствами просто строгие, по типу как в обычных учебниках математики, то тогда вопросов нету. Просто это не очень стандартное использование терминологии.

epros в сообщении #1610507 писал(а):

Потому что Вы заговорили о присвоении значений истинности, а истинность, как известно, присваивается интерпретацией языка.

Вот опять похожая ситуация. Я говорю про интерпретации только формальных языков. Формальных - в моем смысле, где язык вводится с помощью множеств предикатных и функциональных символов (опционально бывает множество сортов и еще иногда выделяют, например, множество констант). Плюс правила грамматики, которые регулируют образование термов и формул. Все максимально формально и доступно компьютерной проверке. Соответственно, интерпретация - это строгая процедура, при которой выбирается носитель, потом каждому функциональному символу арности такой-то ставится функция такая-то и т.д. Вы же допускаете возможность говорить об интерпретации произвольного языка, не обязательно формального. И сама интерпретация у Вас определяется иначе - не как строгая процедура, а просто как присвоение смысла словам языка.

Неудивительно, что при таком разрыве в используемой терминологии возникает столько непоняток.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1610550 писал(а):

И сама интерпретация у Вас определяется иначе - не как строгая процедура, а просто как присвоение смысла словам языка.

Ещё раз: Я говорю о понятно как формализуемых утверждениях понятно как формализуемого языка. Если у Вас таких нет, то я спрошу Вас: "Что Вы имели в виду"? - и если не получу удовлетворительного ответа, то просто сочту, что предмета для обсуждения нет.

В парадоксе Рассела абсолютно понятно, что и как может быть формализовано. Поэтому не надо говорить о "просто присвоении смысла" неизвестно каким словам естественного языка. Речь идёт о той самой "строгой процедуре". Множество всех ординарных множеств $M$, о котором говорил Рассел, определяется формулой $\forall x~(x \in M \leftrightarrow \neg x \in x)$. Это вполне строгая формула исчисления предикатов с дополительным бинарным предикатным символом $\in$. И известная проблема, на которую обратил внимание Рассел, заключается в том, что аксиоматика не должна допускать вывода утверждения о существовании данного множества.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1610580 писал(а):

Я говорю о понятно как формализуемых утверждениях понятно как формализуемого языка. Если у Вас таких нет, то я спрошу Вас: "Что Вы имели в виду"? - и если не получу удовлетворительного ответа, то просто сочту, что предмета для обсуждения нет.

А говорить о множествах без их формализации в логике первого порядка Вы умеете?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1610600 писал(а):

А говорить о множествах без их формализации в логике первого порядка Вы умеете?

А что такое формализация? Язык и аксиоматика. Язык известен, аксиоматику можете выбирать по вкусу, их полно всяких.

[pppppppo_98]

sergey zhukov в сообщении #1610126 писал(а):

достаточно богатая" система аксиом

И расширяющая арифметику. Но не все богатые системы расширяют арифметику

-- Вт сен 19, 2023 20:29:48 --

Утундрий в сообщении #1610234 писал(а):

Кстати, подумалось: а множество ли $\varnothing$?

И думать нечего. Это аксиома. То что это именно множеством м не собственный класследует из выражения $\empty\in\left{ \empty\right}$

[EminentVictorians]

pppppppo_98 в сообщении #1610606 писал(а):

Это аксиома.

В $ZFC$ - нет. Там это теорема. Доказательство примерно такое:
1) Как минимум одно множество $M$ существует (гарантируется аксиомой бесконечности)
2) Далее положим $\varnothing = \{x \in M| x \ne x\}$ (аксиома выделения)

pppppppo_98 в сообщении #1610606 писал(а):

Но не все богатые системы расширяют арифметику

Под "достаточно богатыми" как правило и имеют в виду "расширяющая арифметику". И, кстати, брать арифметику Пеано не обязательно - достаточно, чтобы интерпретировалась арифметика Робинсона.

pppppppo_98 в сообщении #1610606 писал(а):

То что это именно множеством м не собственный класследует из выражения $\empty\in\left{ \empty\right}$

Что значит "следует из выражения $\in$" ? В некоторых формализациях малость пустого множества берут в качестве аксиомы. В ZFC вообще про это не говорят, т.к. там нет разделения на большие и малые множества.