Изоморфизм проективной и специальной проективной группы

[AndrewGap]

Требуется доказать, что группа PSL(n, F) изоморфна группе PGL(n, F) тогда и только тогда, когда n нечётное число. Соответственно нужно также доказать, что при чётном n эти группы не изоморфны. Здесь F - это либо поле комплексных чисел, либо поле вещественных чисел. Четно говоря, даже нет идей, с чего бы тут начать. Буду рад любой помощи.

[KhAl]

Начните с определений PGL и PSL.
Далее, изоморфизм групп это какое-то соответствие между их элементами. Начните с n = 2 — какое соответствие можно устроить между элементами, почему оно являнтся изоморфизмом групп? Как обобщить на n = 4? Почему это не сработает для n = 3?
Нужно всегда задавать себе такие вопросы, тогда решать задачи будет легко.

[dgwuqtj]

Вообще при доказательстве того, что какие-то две группы не изоморфны, можно для начала сравнить их центры и абелианизации.

[AndrewGap]

KhAl
PGL и PSL определяются как факторгруппы. PSL(n, F) - это факторгруппа SL(n, F) по подгруппе диагональных матриц с определителем 1. PGL(n, F) - это факторгруппа GL(n, F) по подгруппе ненулевых скалярных матриц. А вот дальше начинаются трудности. В PGL можно в качестве представителей смежных классов выбрать матрицы с единичным определителем. Пусть n=2 и пусть изоморфизм существует. Тогда ясно, что множество ненулевых скалярных матриц обязано переходить во множество диагональных матриц с определителем один. Дальше, нужно прийти к какому-то противоречию, но никак не могу увидеть, в какую сторону нужно двигаться.

[KhAl]

AndrewGap я в предыдущем сообщении напутал, хотел предложить сначала для n = 3, 5 построить изоморфизм, но перепутал чётные и нечётные n. Потому что строить здесь легче, чем доказывать, что его нет

[AndrewGap]

KhAl
Хорошо, попробую для n=3. Пусть Ak $\in$ PGL(3, F). Это некоторый смежный класс. Как я говорил, в качестве представителя можно выбрать матрицу с единичным детерминантом, то есть элемент группы SL(3, F). Построим отображение по следующему правилу: классу Ak с представителем A поставим в соответствие класс в PSL(3, F) с тем же представителем. Он вроде как будет гомоморфизмом. Сразу хочу уточнить, нигде ли я тут не ошибся?

[dgwuqtj]

Тут надо проверять, что ваше определение изоморфизма корректно, сохраняет умножение и биективно. Можно чуть проще: сначала построить гомоморфизм $\mathrm{PSL}(n, F) \to \mathrm{PGL}(n, F)$ для всех $n$, а потом для нужных $n$ проверить, что это изоморфизм.

[AndrewGap]

dgwuqtj
То есть можно найти центры групп при чётном n и показать, что они не изоморфны? Из этого тогда вроде будет следовать, что и исходные группы не изоморфны.

[dgwuqtj]

Если повезёт, что центры разные, то да. Тут центры и абелианизации (фактор-группы по коммутанту) можно явно посчитать, они конечные.

[KhAl]

AndrewGap в сообщении #1609794 писал(а):

KhAl
Хорошо, попробую для n=3. Пусть Ak $\in$ PGL(3, F). Это некоторый смежный класс. Как я говорил, в качестве представителя можно выбрать матрицу с единичным детерминантом, то есть элемент группы SL(3, F). Построим отображение по следующему правилу: классу Ak с представителем A поставим в соответствие класс в PSL(3, F) с тем же представителем. Он вроде как будет гомоморфизмом. Сразу хочу уточнить, нигде ли я тут не ошибся?

А почему то же самое не сработает для n = 4, где рассуждения ломаются? Чтобы понять, нужно каждую их часть выписать подробно.

[AndrewGap]

dgwuqtj
Я несколько запутался с центрами. Для группы GL(n, F) центром является множество скалярных матриц, а для SL(n, F) центром является множеством скалярных матриц с единичным определителем. В случае, когда n нечётное число, то центр группы SL(n, F) становится тривиальным. Но тут у меня возникает некоторая трудность: я не очень понимаю, как эти рассуждения переносятся на PGL и PSL. То есть мы хотим найти там центры. Это факторгруппы, а значит, центр должен быть некоторой подгруппой данной группы.

[KhAl]

AndrewGap, предположите.

[dgwuqtj]

AndrewGap, можно посчитать центры так же, как для $\mathrm{GL}(n, F)$: найти, какие элементы коммутируют сразу со всеми $1 + e_{ij} x$ при $i \neq j$ (ну, или их образами в нужой группе). Здесь через 1 обозначается единичная матрица.

[KhAl]

dgwuqtj писал(а):

найти, какие элементы коммутируют сразу со всеми $1 + e_{ij} x$ при $i \neq j$ (ну, или их образами в нужой группе)

с образами — это важно. Два элемента могут не коммутировать, а их образы в факторгруппе — коммутировать. Хотя здесь этого не происходит.

[dgwuqtj]

То есть для $\mathrm{PGL}(n, F)$ надо написать уравнения на обратимую матрицу, которые говорят, что коммутаторы этой матрицы с $1 + e_{ij} x$ являются скалярными. И потом понять, насколько получившихся матриц больше, чем скалярных.