Не уверен, что это рассуждение пройдёт, но всё же попробую. Мы ищем центр в группе PGL(n, F). Обозначим через H центр группы GL(n, F). Это же множество будет единицей в факторгруппе PGL(n, F) и будет лежать в центре данной факторгруппы. Предположим, что некоторый класс aH также лежит в центре факторгруппы. Это означает, что он коммутирует со всеми другими классами вида bH, то есть aH
![$\cdot$ $\cdot$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/1/211dca2f7e396e7b572b4982e8ab3d1982.png)
bH = bH
![$\cdot$ $\cdot$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/1/211dca2f7e396e7b572b4982e8ab3d1982.png)
aH. Это равносильно тому, что совпадают смежные классы abH и baH. Тогда должно найтись такое число
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
из поля F, что ab =
![$\cdot$ $\cdot$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/1/211dca2f7e396e7b572b4982e8ab3d1982.png)
ba. Как я уже упоминал выше, в качестве представителей смежного класса всегда можно выбирать матрицы с единичным детерминантом. Тогда det(ab)=
![$\cdot$ $\cdot$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/1/211dca2f7e396e7b572b4982e8ab3d1982.png)
det(ba), что равносильно равенству 1 =
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
. Но это означает, что ab = ba. При этом элемент b произволен, а значит, элемент a сам принадлежит H. Значит, центр группы PGL(n, F) состоит лишь из H.