Треугольник, вписанный в многоугольник

[TOTAL]

Doctor Boom в сообщении #1609622 писал(а):

Задачу можно обобщить - найти минимум максимума площади вписанного в выпуклый многоугольник треугольника по всем многоугольникам. Он вроде как больше 1/4

Очевидно. Решение закончено. (Учетверённый максимальный треугольник содержит весь многоугольник с запасом, иначе максимальный не был бы максимальным.)

[Doctor Boom]

TOTAL в сообщении #1609626 писал(а):

Очевидно. Решение закончено

И какой ответ?

TOTAL в сообщении #1609626 писал(а):

Учетверённый максимальный треугольник содержит весь многоугольник с запасом, иначе максимальный не был бы максимальным

Почему нельзя найти такой многоугольник, чтобы без запаса?

[TOTAL]

Doctor Boom в сообщении #1609627 писал(а):

Почему нельзя найти такой многоугольник, чтобы без запаса?

Если бы без запаса, то весь многоугольник и есть учетверённый треугольник.

[Doctor Boom]

TOTAL в сообщении #1609631 писал(а):

Если бы без запаса, то весь многоугольник и есть учетверённый треугольник

Я правда вас не понимаю

[TOTAL]

Doctor Boom в сообщении #1609632 писал(а):

TOTAL в сообщении #1609631 писал(а):

Если бы без запаса, то весь многоугольник и есть учетверённый треугольник

Я правда вас не понимаю

Согласны, что треугольник, для которого максимальный является срединным, содержит весь многоугольник?

[Gagarin1968]

TOTAL в сообщении #1608678 писал(а):

вписанный треугольник наибольшей площади"... такой треугольник существует

TOTAL в сообщении #1609626 писал(а):

Учетверённый максимальный треугольник содержит весь многоугольник с запасом, иначе максимальный не был бы максимальным

TOTAL
Ваше решение понятно и очень изящно. Но есть одно но...
Вы предположили, что такой максимальный треугольник существует. Но это не очевидно, и по-моему, нуждается в доказательстве.
Разве нет?

[TOTAL]

Gagarin1968 в сообщении #1609641 писал(а):

Вы предположили, что такой максимальный треугольник существует. Но это не очевидно, и по-моему, нуждается в доказательстве. Разве нет?

1. Среди конечного числа треугольников с вершинами в узлах (вершинах многоугольника) какой-то имеет наибольшую площадь.
2. Вписанный треугольник с вершиной на стороне не может иметь наибольшую площадь (которая превосходит вершинного чемпиона).

[Gagarin1968]

TOTAL в сообщении #1609643 писал(а):

1. Среди конечного числа треугольников с вершинами в узлах (вершинах многоугольника) какой-то имеет наибольшую площадь.

Согласен.

TOTAL в сообщении #1609643 писал(а):

2. Вписанный треугольник с вершиной на стороне не может иметь наибольшую площадь.

Почему?

[TOTAL]

Gagarin1968 в сообщении #1609644 писал(а):

TOTAL в сообщении #1609643 писал(а):

2. Вписанный треугольник с вершиной на стороне не может иметь наибольшую площадь.

Почему?

Сдвинем эту вершину треугольника по стороне многоугольника до одной и до другой вершины многоугольника. Один из вариантов сдвига увеличит площадь треугольника. Либо оба варианта не изменят площадь треугольника.

[wrest]

TOTAL в сообщении #1609646 писал(а):

Либо оба варианта не изменят площадь треугольника.

Ну так тогда какая-то вершина максимального треугольника может лежать и на стороне.
Простейший пример - прямоугольник. Две вершины максимального треугольника лежат на концах какой-то стороны, а третья в любой точке противоположной стороны (включая концы). Площадь - половина прямоугольника.

[TOTAL]

wrest в сообщении #1609647 писал(а):

Ну так тогда какая-то вершина максимального треугольника может лежать и на стороне.

Может на стороне. Но специально выбираем из треугольников с вершинами в вершинах, чтобы нас не заставили объяснять, почему среди всех треугольников (их континуум) есть треугольник с максимальной площадью.

[wrest]

TOTAL в сообщении #1609648 писал(а):

Может на стороне. Но специально выбираем из треугольников с вершинами в вершинах, чтобы нас не заставили объяснять, почему среди всех треугольников (их континуум) есть треугольник с максимальной площадью.

Т.е. для выпуклых кривых это не работает т.к. неясно существует ли максимальный треугольник?

[TOTAL]

wrest в сообщении #1609649 писал(а):

Т.е. для выпуклых кривых это не работает т.к. неясно существует ли максимальный треугольник?

Думаю, работает. Но понадобятся дополнительные ответы на дополнительные вопросы, поэтому доказывать не буду.

[Gagarin1968]

TOTAL в сообщении #1609646 писал(а):

Gagarin1968 в сообщении #1609644 писал(а):

TOTAL в сообщении #1609643 писал(а):

2. Вписанный треугольник с вершиной на стороне не может иметь наибольшую площадь.

Почему?

Сдвинем эту вершину треугольника по стороне многоугольника до одной и до другой вершины многоугольника. Один из вариантов сдвига увеличит площадь треугольника. Либо оба варианта не изменят площадь треугольника.

Я нарисовал для себя, да, это вроде как очевидно. Но как это доказать?

[TOTAL]

Gagarin1968 в сообщении #1609653 писал(а):

Я нарисовал для себя, да, это вроде как очевидно. Но как это доказать?

Сравниваем два расстояния от сдвинутой туда и сюда вершины до неподвижной стороны треугольника. Если расстояния одинаковые, то от сдвига площадь не поменялась. А если расстояния разные, то сдвигаем в вершину с большим расстоянием, тем самым увеличивая площадь.