Теор. вероятностей: противоречие

[melnikoff]

У вас есть 3 друга в Тбилиси. Вы позвонили каждому из них и все они сказали, что сейчас в Тбилиси идёт дождь.
Вероятность сказать правду для каждого друга – $\frac{2}{3}$.
Какова вероятность, что сейчас в Тбилиси действительно идёт дождь?

Введём обозначения:
$A$ – в Тбилиси идёт дождь;
$B$ – все трое друзей из Тбилиси сказали, что идёт дождь.

По теореме Байеса:
$P\{A | B\} = \frac{P\{B | A\} P\{A\}}{P\{B\}} = \frac{P\{B | A\} P\{A\}}{P\{B | A\}P\{A\} + P\{B | \overline{A}\}(1 - P\{A\})} = \frac{8P\{A\}}{7P\{A\} + 1}$
То есть мы не можем ответить на вопрос, не зная вероятности того, что в выбранный день идёт дождь. И это интуитивно понятно.

Но вот как решили эту задачку вот здесь.
Все друзья ответили одинаково. А это значит, что они все либо врут, либо говорят правду.
Ограничим все возможные исходы этими двумя случаями.
Вероятность реализации второго случая (когда все говорят правду) равна $\frac{(\frac{2}{3})^3}{(\frac{2}{3})^3 + (\frac{1}{3})^3} = \frac{8}{9}$.
И вот тут автор говорит, что это и есть вероятность того, что все друзья говорят правду, то есть и вероятность того, что в Тбилиси идет дождь.

Понятно, что оба подхода не могут быть верны хотя бы потому, что в противном случае мы можем из воздуха вычислить частоту дождей в Тбилиси.
Где ошибка?

[ozheredov]

В Тбилиси идет дождь, при этом хотя бы один соврал. Может такое быть?

[melnikoff]

Да.

[realeugene]

Да и формулу Байеса журналисты применили неправильно. Нигде не утверждалось, что друзья, которым позвонили, врут независимо друг от друга.

-- 15.09.2023, 01:13 --

А второй ответ журналистов сводится к формуле Байеса, если друзья врут независимо, и $P\left\{A\right\} = 1/2$. То есть, при расчёте вероятностей, что все трое дружно соврали, или что все трое дружно сказали правду, забыли про априорную вероятность выпадения дождя.

[mihaild]

melnikoff в сообщении #1609199 писал(а):

Где ошибка?

Ошибка в видео. Вероятность того, что друг соврал при условии, что идет дождь, не обязана быть равной априорной вероятности того, что он солгал.
Вот я обещаю сделать следующее: посмотреть, идет ли по улице динозавр и подкинуть кубик; если выпало число от 1 до 4 - сказать правду про динозавра, если 5 или 6 - то солгать. Мой друг Вася делает то же самое.
Какова вероятность того, что я совру?
Пусть теперь и я, и Вася сказали, что на улице есть динозавр. Какова вероятность того, что на улице правда есть динозавр?

[ozheredov]

melnikoff в сообщении #1609204 писал(а):

Да.

Отлично! Предлагаю поиграться - посинтезировать сильное решение из ансамбля слабых (если Вам, конечно, интересно):

есть $N$ друзей, они независимы в совокупности и каждый из них врет с вероятностью одна треть. Вы будете принимать решение, что в Тбилиси идет дождь, если так говорят все $N$. Вопрос: сильно ли зависит вероятность false positive (т.е. события, когда все $N$ сказали "дождь", а никакого дождя нет) от априорной вероятности появления дождя $P(A)$? Например, в такой формулировке: фиксируем $N$; в каких диапазонах должна находиться $P(A)$, чтобы вероятность false positive не привысила допустимую границу 5%?

[realeugene]

mihaild в сообщении #1609210 писал(а):

Вероятность того, что друг соврал при условии, что идет дождь, не обязана быть равной априорной вероятности того, что он солгал.

При некоторых очевидных предположениях должна, но ответ всё равно неправильный.

Пусть для простоты друг ровно один. Допустим,

$$P\left\{B|A\right\}=P\left\{\overline B|\overline A\right\} = 2/3 = \alpha$$ $$P\left\{\overline B|A\right\}=P\left\{B|\overline A\right\} = 1/3 = 1 - \alpha$$

Тогда вероятность того, что друг сказал правду:

$$P\left\{T\right\} = P\left\{B|A\right\}\cdot P\left\{A\right\} + P\left\{\overline B|\overline A\right\}\cdot P\left\{\overline A\right\} = \alpha = 2/3$$

и что солгал:

$$P\left\{F\right\} = P\left\{\overline B|A\right\}\cdot P\left\{A\right\} + P\left\{B|\overline A\right\}\cdot P\left\{\overline A\right\} = 1 - \alpha = 1/3$$

но вероятность того, что на самом деле идёт дождь, при условии, что так сказал друг:

$$P\left\{A|B\right\} = \frac {P\left\{A B\right\}}{P\left\{B\right\}} \ne \frac {P\left\{T\right\}}{P\left\{T\right\} + P\left\{F\right\}}$$

[mihaild]

realeugene в сообщении #1609213 писал(а):

При некоторых очевидных предположениях должна

Да, я неправильно написал. Важна не вероятность солгать при условии дождя, а вероятность солгать при условии того, что сказал, что дождь.

[realeugene]

mihaild в сообщении #1609214 писал(а):

Да, я неправильно написал. Важна не вероятность солгать при условии дождя, а вероятность солгать при условии того, что сказал, что дождь.

Тогда было бы слишком тривиально:

$$P\left\{A|B\right\} = 1 - P\left\{\overline A|B\right\}$$

-- 15.09.2023, 02:30 --

ozheredov в сообщении #1609212 писал(а):

Вы будете принимать решение, что в Тбилиси идет дождь, если так говорят все $N$.

Лучше уж сформулировать задачу следующим образом: решение, что идёт дождь, принимается если про дождь утверждают минимум $K$ друзей из $N$. Посчитать false positive rate и false negative rate.

[ozheredov]

realeugene в сообщении #1609215 писал(а):

Лучше уж сформулировать задачу следующим образом: решение, что идёт дождь, принимается если про дождь утверждают минимум $K$ друзей из $N$. Посчитать false positive rate и false negative rate.

Здесь чуть-чуть больше возни, но формулировка более интересная и практичная, согласен.

[sergey zhukov]

melnikoff в сообщении #1609199 писал(а):

Вероятность реализации второго случая (когда все говорят правду) равна $\frac{(\frac{2}{3})^3}{(\frac{2}{3})^3 + (\frac{1}{3})^3} = \frac{8}{9}$.

Это вероятность того, что все говорят правду, т.е. говорят "Дождь есть", когда он есть $+$ говорят "Дождя нет", когда его нет. А нам нужно найти вероятность только первого слагаемого.

Это не решение, а софизм. Легко же проверить, что в предельных случаях "в Тбилиси всегда идет дождь/никогда не идет дождь" мы получаем явную ерунду. Как можно вообще применять формулу Байеса, про которую они сами упоминают, если нет априорной вероятности? Что я должен корректировать?

[realeugene]

Кстати, ошибочность решения из видео очевидна на языке теории информации: наша информация о дожде в Тбилиси после опроса друзей равна сумме нашей априорной информации о дожде и информации о дожде, которую мы получаем от друзей. Нашу априорную информацию можно игнорировать только если она нулевая, т. е. если априорная вероятность дождя 1/2.

[TOTAL]

melnikoff в сообщении #1609199 писал(а):

Понятно, что оба подхода не могут быть верны хотя бы потому, что в противном случае мы можем из воздуха вычислить частоту дождей в Тбилиси.
Где ошибка?

Второй подход даёт правильный ответ. Частота дождей вообще ни при чем.

У вас есть 3 друга в Тбилиси. Вы позвонили каждому из них и все они сказали, что Вася – лысый.
Вероятность сказать правду для каждого друга – $\frac{2}{3}$.
Какова вероятность, что Вася – лысый?

[realeugene]

TOTAL в сообщении #1609230 писал(а):

У вас есть 3 друга в Тбилиси. Вы позвонили каждому из них и все они сказали, что Вася – лысый.
Вероятность сказать правду для каждого друга – $\frac{2}{3}$.
Какова вероятность, что Вася – лысый?

Вы позвонили одному другу, и он сказал что Вася лысый, при этом, вероятность, что он говорит правду, 2/3. Какова вероятность, что Вася лысый? Ваш расчёт, пожалуйста.

[mihaild]

TOTAL
У вас есть 3 друга в Тбилиси. Вы позвонили каждому из них и все они сказали, что Вася – инопланетянин.
Вероятность сказать правду для каждого друга – $\frac{2}{3}$.
Какова вероятность, что Вася – инопланетянин?

-- 15.09.2023, 10:22 --

realeugene в сообщении #1609215 писал(а):

Тогда было бы слишком тривиально

Для одного да. Для троих нужно как раз было бы провести вычисление из видео.

-- 15.09.2023, 10:25 --

(Еще варианты формулировки)

У вас есть 3 друга в Сахаре. Вы позвонили каждому из них и все они сказали, что идет дождь.
Вероятность сказать правду для каждого друга – $\frac{2}{3}$.
Какова вероятность, что в Сахаре идет дождь?

У вас есть 3 друга в Питере. Вы позвонили каждому из них и все они сказали, что идет дождь.
Вероятность сказать правду для каждого друга – $\frac{2}{3}$.
Какова вероятность, что в Питере идет дождь?

У Вас нет друзей. Какова вероятность того, что в Питере идет дождь?

У Вас нет друзей. Какова вероятность того, что в Сахаре идет дождь?

xkcd в тему.