Теор. вероятностей: противоречие

[мат-ламер]

TOTAL в сообщении #1609270 писал(а):

Вот так и с дождём. Условие читать надо.

Условие в стартовом посту слишком сложное для моего ума. Поэтому я его чуток упрощу.

Итак, у меня есть друг в Тбилиси. С вероятностью $8 \slash 9$ он говорит то, что есть на самом деле. С вероятностью $1 \slash 9$ заведомо лжёт. (То есть он сначала смотрит, что происходит на самом деле. Затем запускает генератор случайных чисел. И на основании всего этого выдаёт ответ). И вот я звоню другу. И он сообщает мне, что идёт дождь. Какая вероятность, что дождь идёт на самом деле? Очевидно она зависит сугубо от степени правдивости моего друга. К вероятности, с какой вообще может пойти дождь в данном городе такого-то числа она вообще отношение не имеет (ИМХО).

[realeugene]

мат-ламер
Нет. Всё расписано в теме, повторяться не буду, читайте.

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1609285 писал(а):

И вот я звоню другу. И он сообщает мне, что идёт дождь. Какая вероятность, что дождь идёт на самом деле? Очевидно она зависит сугубо от степени правдивости моего друга.

Не знаю, очевидно ли, но неправда.

Раз Вы готовы обсуждать на нормально детализированном уровне, вот несколько вариантов.

У меня есть друг Вася в Сахаре. Я знаю, что в Сахаре дождь бывает раз в тысячу дней. Я звоню Васе каждый день на протяжении ста тысяч дней. Сколько будет дождливых дней, сколько будет дней, когда Вася мне скажет, что идет дождь, сколько будет дождливых дней, когда Вася скажет, что идет дождь, и наконец чему равна вероятность того, что идет дождь, при условии, что Вася сказал, что идет дождь?

У меня еще есть друг Петя в Питере. Я знаю, что в Питере дождь идет девять дней из десяти. Найдите ответы на вопросы выше для Питера.

И еще у меня есть друг Сережа, который живет в ЖК "Тбилиси". Я знаю, что этот ЖК либо в Питере, либо в Сахаре, но не знаю, где именно (и нет, нельзя сказать, что раз не знаю, то с вероятностью 1/2 там либо там). Понятно, что ответы на вопросы выше для Сережи должны совпадать либо с ответами для Васи, либо с ответами для Пети. Но без знания местоположения Сережи понять, с кем именно - нельзя. И в частности нельзя посчитать вероятность того, что у Сережи идет дождь, при условии, что он сказал, что идет дождь.

[sergey zhukov]

Эта задача явно для формулы Байеса. И ее нельзя решить без априорной вероятности дождя. Просто тут неявно решили, что эта вероятность $\frac{1}{2}$.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1609291 писал(а):

Просто тут неявно решили, что эта вероятность $\frac{1}{2}$.

"Или встречу динозавра, или нет"

[TOTAL]

sergey zhukov в сообщении #1609291 писал(а):

Эта задача явно для формулы Байеса. И ее нельзя решить без априорной вероятности дождя.

Если бы была задана априорная вероятность дождя, то и решение было бы другое. А в отсутствие такой информации под вероятностью дождя остается понимать вероятность того, что все сказали правду.

[mihaild]

TOTAL в сообщении #1609298 писал(а):

А в отсутствие такой информации под вероятностью дождя остается понимать вероятность того, что все сказали правду

Это какой-то очень странный подход. Если в условии задачи недостаточно информации для её решения (=дополнительная информация влияет на ответ), то нужно говорить, что задача сформулирована некорректно, а не подменять определения и добирать недостающие данные с потолка. И почему Вы хотите заменить "вероятность дождя при условии что все сказали дождь" именно на "вероятность того, что все сказали правду", а не на число $42$?

[realeugene]

TOTAL в сообщении #1609298 писал(а):

Если бы была задана априорная вероятность дождя, то и решение было бы другое. А в отсутствие такой информации под вероятностью дождя остается понимать вероятность того, что все сказали правду.

Что такое "вероятность"? Дайте определение, пожалуйста.

(Оффтоп)

Удивительно такой вопрос задавать ЗУ, писавшему в основном в математических разделах.

[KhAl]

TOTAL а Вы считаете, что для каждого друга вероятность того, что он сказал правду в данной конкретной ситуации, равна $2/3$ (то есть мы услышали всех друзей, после чего для каждого оценили вероятность того, что он не лжёт, как $2/3$)? Тогда и вероятность дождя $2/3$, очевидно.

[EUgeneUS]

TOTAL в сообщении #1609259 писал(а):

mihaild в сообщении #1609255

писал(а):
TOTAL, что такое "вероятность дождя в Тбилиси"? Это вероятность того, что все сказали правду.

Нет!
Вероятность дождя в Тбилиси - это вероятность того, что все сказали правду при условии, что все сказали "дождь".

Если аккуратно посчитать условную вероятноть (байесовские априорные и апостеорные вероятности можно даже не привлекать), то получится (при заданных вероятность сказать правду или ложь):

$P(A|B) = \frac{2^3 P(R)}{1+(2^3-1)P(R)}$, где

$P(A|B)$ - вероятность того, что все сказали правду (событие $A$), при условии, что все сказали "дождь" (событие $B$).
Это и будет вероятность дождя, при условии, что все сказали "дождь".
И никак не избавиться от $P(R)$ - безусловной вероятности дождя.

[ozheredov]

TOTAL

События равны, если $A$ влечет $B$ и $B$ влечет $A$. Если все говорят "дождь" и говорят правду, то дождь безусловно идет. То есть правда о дожде влечет дождь. Но ведь если все дружно говорят "дождя нет" и врут, дождь может преспокойно идти. То есть дождь не влечет правду о дожде.

[Yadryara]

Мне это напомнило тему «Бендер и стулья (теорвер)»

И надо же, опять хочется, так же как и в той теме, поверить условию и согласиться с TOTAL. Но пока не согласился.

EUgeneUS в сообщении #1609248 писал(а):

апостеорную информацию

EUgeneUS в сообщении #1609248 писал(а):

апостеорную вероятность

EUgeneUS в сообщении #1609307 писал(а):

апостеорные

Раз за разом. Может всё-таки апостеориорную?

[ozheredov]

Yadryara в сообщении #1609314 писал(а):

Может всё-таки апостеориорную?

[sergey zhukov]

Для версии с одним другом.


В этом видео предполагают, что априорная вероятность дождя $\frac{1}{2}$, тогда "правды" будут равны друг-другу (как и "лжи"). В этом случае можно их и перепутать, разницы нет. Так тут и делают.

[TOTAL]

ozheredov в сообщении #1609308 писал(а):

События равны, если $A$ влечет $B$ и $B$ влечет $A$. Если все говорят "дождь" и говорят правду, то дождь безусловно идет. То есть правда о дожде влечет дождь. Но ведь если все дружно говорят "дождя нет" и врут, дождь может преспокойно идти. То есть дождь не влечет правду о дожде.

Их сообщение о дожде не влечет дождь, а говорит всего лишь о вероятности $8/9$ дождя.

Если дождь считать случайной величиной, которая день ото дня меняется, то для ответа про вероятность дождя нужна статистика по дождю. Но в условии не сказано, что три товарища сообщают о переменчивой величине. Переменчивость дождя додумана, внесена решающими задачу в условие. Три товарища могут говорить о том, что не меняется, что статично, что просто есть или чего нет. Лысый Вася или не лысый. Я решал задачу про лысого Васю. И в видеоролике решали задачу про лысого Васю.