В нём предполагается, что мы выполнили бесконечную, то есть, невыполнимую процедуру.
Я не вижу никакую процедуру. Я вижу отображение вида
![$F: \{x_1, x_2, ... \} \to \Delta_{[0, 1]}$ $F: \{x_1, x_2, ... \} \to \Delta_{[0, 1]}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/6/2e6514c787034006b572a2c83a414f3382.png)
, где
![$\Delta_{[0, 1]}$ $\Delta_{[0, 1]}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/b/56b72a48d64f1c88605fe0025e31f5bd82.png)
- множество подотрезков отрезка
![$[0, 1]$ $[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e88c070a4a52572ef1d5792a341c090082.png)
. И если теперь ввести обозначение
![$\Delta_i := F(x_i)$ $\Delta_i := F(x_i)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/1/e313840722f86499a217c38072c147a982.png)
, то окажется, что это отображение
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)
обладает тем свойством, что отрезок
![$\Delta_{i}$ $\Delta_{i}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/2/f02e070d14f0cb3682673770a471eee482.png)
не содержит никакую из точек
![$x_1, ... ,x_i$ $x_1, ... ,x_i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/3/303bb2478fb18dee1562966a9b89173082.png)
. Вместе с этим, отрезки
![$\Delta_i$ $\Delta_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/d/9bdd4a586073113ff2a07f4afe289f6082.png)
образуют систему вложенных отрезков, которая, как известно, обязана содержать общую для всех этих отрезков точку (которую там обозначают буквой
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
). Очевидно, что
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
не может совпадать ни с одной из точек
![$x_1, x_2, ...$ $x_1, x_2, ...$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/8/568833334fef4d359faccb6d9734733182.png)
, т.к. если бы
![$c = x_s$ $c = x_s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/f/a5f1ae07a8f83b817ef35978fc01b82582.png)
для некоторого
![$s \in \mathbb N$ $s \in \mathbb N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/0/700fe87ebea6e96b2314dfafb76d0d5982.png)
, то получилось бы, что
![$x_s \in \Delta_s$ $x_s \in \Delta_s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/8/448de5ecf6d693613d41ee574b55d40182.png)
, а такого, как мы отметили двумя строчками выше, быть не может.
Ну или дайте определение того, что Вы называете "процедурой". И еще хотелось бы узнать, что такое "невыполнимая" процедура, и почему из бесконечности процедуры следует ее "невыполнимость".
Процедура это последовательность шагов, это общеупотребительный термин и не я его ввёл, а он используется в обсуждаемом доказательстве несчётности действительных чисел на отрезке.
Сможете разрешить такую проблему:
Множество всех
вычислимых чисел счётно. Возьмём его счётное подмножество на отрезке
![$[0, 1]$ $[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e88c070a4a52572ef1d5792a341c090082.png)
и обозначим полученные точки:
![$x_1, x_2, \; \ldots, \; x_n, \; \ldots \; .$ $x_1, x_2, \; \ldots, \; x_n, \; \ldots \; .$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/2/5b27f153ed0bc45cdc94506a6fa836a282.png)
. И далее как в обсуждаемом доказательства. Разделим отрезок
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
равные части:
![$[0, \frac {1}{3}]; [\frac {1}{3}; \frac {2}{3}]; [\frac {2}{3}; 1]$ $[0, \frac {1}{3}]; [\frac {1}{3}; \frac {2}{3}]; [\frac {2}{3}; 1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/a/f5ae0ec56d122c2d685a2c8ce1ecea1182.png)
, и выберем тот из отрезков, который не содержит
![$x_1$ $x_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/277fbbae7d4bc65b6aa601ea481bebcc82.png)
ни внутри, ни на границе. Только будем всегда выбирать самый левый подходящий отрезок. Обозначим его через
![$\Delta_1$ $\Delta_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/b/31bd442a51e98ea2b56b6ae9dbbaef6f82.png)
, т.е.
![$x_1$ $x_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/277fbbae7d4bc65b6aa601ea481bebcc82.png)
не принадлежит
![$\Delta_1$ $\Delta_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/b/31bd442a51e98ea2b56b6ae9dbbaef6f82.png)
.
![$\Delta_1$ $\Delta_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/b/31bd442a51e98ea2b56b6ae9dbbaef6f82.png)
также поделим на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
равные части и выберем ту часть, которая не содержит
![$x_2$ $x_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95d239357c7dfa2e8d1fd21ff6ed5c7b82.png)
ни внутри, ни на границе. Обозначим эту часть
![$\Delta_2$ $\Delta_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/3/c03dabb1b6c86715bb5f6826dc5ecb0e82.png)
, т.е.
![$x_2$ $x_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95d239357c7dfa2e8d1fd21ff6ed5c7b82.png)
не принадлежит
![$\Delta_ 2$ $\Delta_ 2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/b/46be2364a0b57411aa279f30a657f46882.png)
, и
![$\Delta_2\subset \Delta _1$ $\Delta_2\subset \Delta _1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/5/aa57e067b6977e77c3f0745d922e2e3d82.png)
. Продолжая эту процедуру, мы получим последовательность вложенных друг в друга отрезков
![$\Delta_1\supset \Delta_2\supset \ldots\supset \Delta_{n-1}\supset \Delta_n\supset \ldots \; .$ $\Delta_1\supset \Delta_2\supset \ldots\supset \Delta_{n-1}\supset \Delta_n\supset \ldots \; .$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/8/2588b31184bc4c1ab391727dc238ff1282.png)
Причем длины этих отрезков стремятся к нулю и
![$\forall n \; x_n\notin \Delta_n$ $\forall n \; x_n\notin \Delta_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/5/7050b7bec374801713dc747aa9f433a382.png)
. В силу принципа вложенных отрезков существует точка
![$c\in \Delta_n$ $c\in \Delta_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/4/d1488e1ff47c849c211de64e7cc9529382.png)
для
![$\forall n$ $\forall n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/d/76d5e2672e5f0c3fd13eb0bdd53de4c082.png)
, причем
![$c\ne x_n \; \forall n$ $c\ne x_n \; \forall n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/c/dfc2b1ca49df89191d110c59b34cab0082.png)
. А следовательно, точка
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
в исходном списке точек отрезка отсутствует, т.е. точка
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
оказалась незанумерованной.
Заметим, что при повторении процедуры мы получим ту же самую точку, потому что подходящие отрезки выбирались не случайно, а всегда первый подходящий слева. В результате мы вычислили новую точку, то есть получили новое вычислимое число, которого не было в нашем множестве. Но наше множество содержало все вычислимые числа отрезка, а оказалось что не все. Получается противоречие?
-- 13.09.2023, 22:19 --из отрезка мы получаем бесконечно малое - точку
В пределе получаем. Вы ведь, вроде, против пределов ничего не имели?
Если вычисление предела происходит за конечное количество шагов, то не имею. Например,
пределы по Коши, там в доказательствах я не вижу бесконечных процедур.
Там нигде не сказано, что мы её должны "выполнить до конца". Важно только то, что последовательность определена, причём на это у нас ушло конечное количество букв.
В таком случае можете разрешить противоречие с образованием нового вычислимого числа, про которое я написал выше?