В нём предполагается, что мы выполнили бесконечную, то есть, невыполнимую процедуру.
Я не вижу никакую процедуру. Я вижу отображение вида
![$F: \{x_1, x_2, ... \} \to \Delta_{[0, 1]}$ $F: \{x_1, x_2, ... \} \to \Delta_{[0, 1]}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/6/2e6514c787034006b572a2c83a414f3382.png)
, где
![$\Delta_{[0, 1]}$ $\Delta_{[0, 1]}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/b/56b72a48d64f1c88605fe0025e31f5bd82.png)
- множество подотрезков отрезка
![$[0, 1]$ $[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e88c070a4a52572ef1d5792a341c090082.png)
. И если теперь ввести обозначение

, то окажется, что это отображение

обладает тем свойством, что отрезок

не содержит никакую из точек

. Вместе с этим, отрезки

образуют систему вложенных отрезков, которая, как известно, обязана содержать общую для всех этих отрезков точку (которую там обозначают буквой

). Очевидно, что

не может совпадать ни с одной из точек

, т.к. если бы

для некоторого

, то получилось бы, что

, а такого, как мы отметили двумя строчками выше, быть не может.
Ну или дайте определение того, что Вы называете "процедурой". И еще хотелось бы узнать, что такое "невыполнимая" процедура, и почему из бесконечности процедуры следует ее "невыполнимость".
Процедура это последовательность шагов, это общеупотребительный термин и не я его ввёл, а он используется в обсуждаемом доказательстве несчётности действительных чисел на отрезке.
Сможете разрешить такую проблему:
Множество всех
вычислимых чисел счётно. Возьмём его счётное подмножество на отрезке
![$[0, 1]$ $[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e88c070a4a52572ef1d5792a341c090082.png)
и обозначим полученные точки:

. И далее как в обсуждаемом доказательства. Разделим отрезок
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
на

равные части:
![$[0, \frac {1}{3}]; [\frac {1}{3}; \frac {2}{3}]; [\frac {2}{3}; 1]$ $[0, \frac {1}{3}]; [\frac {1}{3}; \frac {2}{3}]; [\frac {2}{3}; 1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/a/f5ae0ec56d122c2d685a2c8ce1ecea1182.png)
, и выберем тот из отрезков, который не содержит

ни внутри, ни на границе. Только будем всегда выбирать самый левый подходящий отрезок. Обозначим его через

, т.е.

не принадлежит

.

также поделим на

равные части и выберем ту часть, которая не содержит

ни внутри, ни на границе. Обозначим эту часть

, т.е.

не принадлежит

, и

. Продолжая эту процедуру, мы получим последовательность вложенных друг в друга отрезков

Причем длины этих отрезков стремятся к нулю и

. В силу принципа вложенных отрезков существует точка

для

, причем

. А следовательно, точка

в исходном списке точек отрезка отсутствует, т.е. точка

оказалась незанумерованной.
Заметим, что при повторении процедуры мы получим ту же самую точку, потому что подходящие отрезки выбирались не случайно, а всегда первый подходящий слева. В результате мы вычислили новую точку, то есть получили новое вычислимое число, которого не было в нашем множестве. Но наше множество содержало все вычислимые числа отрезка, а оказалось что не все. Получается противоречие?
-- 13.09.2023, 22:19 --из отрезка мы получаем бесконечно малое - точку
В пределе получаем. Вы ведь, вроде, против пределов ничего не имели?
Если вычисление предела происходит за конечное количество шагов, то не имею. Например,
пределы по Коши, там в доказательствах я не вижу бесконечных процедур.
Там нигде не сказано, что мы её должны "выполнить до конца". Важно только то, что последовательность определена, причём на это у нас ушло конечное количество букв.
В таком случае можете разрешить противоречие с образованием нового вычислимого числа, про которое я написал выше?