Давно хотел поднять подобную тему, но все не решался…
Пожалуй, пришло время изложить мысли по этому поводу, и услышать ваши замечания. Прошу не судить строго)..
Допустим, идеальный газ находится в гравитационном поле, в адиабатической оболочке. Согласно распределению Больцмана, температура его однородна по высоте столба. Однако не стоит забывать, что молекулы газа находятся в непрерывном тепловом хаотическом движении, а не «фиксированы» на своих местах. Разобьем столб газа на элементарные объемы (слои), настолько малой высоты dh, чтоб им можно было приписать определенные значения координаты высоты h, и давления p. На примере такого элементарного объема и рассмотрим условие равновесия в газе. Число молекул, покидающих в единицу времени этот объем, равно числу молекул, входящих в него. Из этого числа можно выделить те молекулы, которые движутся против поля и вдоль гравитационного поля (соответственно, вверх и вниз). Преодолев, в среднем, величину кратную среднему свободному пробегу
-
, молекулы, летящие против поля, теряют кинетическую энергию
Молекулы, летящие вдоль поля, приобретают эту же энергию. Тепловой баланс данного элементарного объёма (слоя) можно описать:
Здесь
-изохорная молярная теплоемкость;
- молярная масса газа;
- количество молей газа в рассматриваемом объеме (слое);
- количество молей газа покидающих слой (или прибывающих в него) в одном из направлений, в единицу времени;. Расшифровка выражения в скобках:
- энергия приносимая в слой 1 моль газа из вышележащего слоя;
- энергия приносимая 1 моль газа в слой из нижележащего слоя;
- энергия уносимая из рассматриваемого слоя (в верхний и нижний слои). Таким образом
и с первого взгляда можно сказать, что температура в каждом слое постоянна, и не изменяется со временем. Но рассмотрим аналогичный газовый слой (объем) в основании столба. Для него баланс будет:
И, соответственно,
. Это значит, что температура у основания газового столба не может оставаться постоянной при изотермичности газового столба. Это, в свою очередь, ведет к перераспределению температуры во всем столбе, что не трудно показать на следующем примере. Пусть температура в основании столба –
. В состоянии равновесия температура с течением времени меняться не должна ни в одном из слоев. Тогда балансовое уравнение для основания:
Откуда,
Для вышележащих слоев газа:
Откуда,
Для i - го слоя:
Поскольку
, то окончательно можно заключить:
, и
;
. Тогда соответствующий стационарный температурный градиент по высоте:
Полученное уравнение можно также вывести из следующих соображений.
В адиабатическом газовом столбе реализуются два энергетических потока в противоположных направлениях. Первый – поток тепла, в соответствии с градиентом температур, второй – поток механической энергии в поле сил тяжести g:
Откуда,
, где
- коэффициент вязкости газа;
-коэффициент теплопроводности газа (
,
- числовой коэффициент) Таким образом, поток механической энергии преобразуется в тепловую на нижнем основании адиабатического цилиндра, а тепловой – в механическую на верхнем. Легко посчитать также распределение давлений. Которое для данного градиента оказывается: