Вероятность нахождения предмета в ящике стола

[мат-ламер]

Недавно встретил задачу. Через несколько дней подумал, что надо бы её решить. Но где её встретил, я вспомнить не смог. Поэтому правильного ответа у меня нет. Условие воспроизвожу по памяти. У нас есть стол с двумя ящиками. Известно, что интересующий нас предмет (который мы просто будем называть предметом), находится в столе с вероятностью $1\slash 2$ . Также известно, что предмет мог с равной вероятностью находиться в любом из двух ящиков стола. Мы открыли один из этих двух ящиков и предмета там не обнаружили. С какой вероятностью наш предмет находится во втором ящике стола?

Мои мысли следующие. Из четырёх равновероятных возможностей (в двух из них оба ящика пустые, в оставшихся предмет находится в одном из ящиков) мы своим действием (открытием ящика) отсекли одну из них. В оставшихся трёх возможностей предмет присутствует в ящике лишь в одной. Отсюда ответ - $1 \slash 3$ .

Достаточно ли для решения приведенных интуитивных рассуждений? Или решение надо оформить с помощью каких-то формул (типа формулы Байеса).

[sergey zhukov]

мат-ламер
Для чего достаточно? Для меня, скажем, достаточно.

[мат-ламер]

sergey zhukov в сообщении #1608160 писал(а):

Для чего достаточно?

У меня тут внезапно прорезался небольшой интерес к молекулярной физике и термодинамике. В связи с этим решил вспомнить азы теории вероятностей. Достаточно, чтобы убедиться, что эти азы ещё в памяти не стёрлись. Спасибо за ответ!

[ShMaxG]

мат-ламер в сообщении #1608154 писал(а):

Достаточно ли для решения приведенных интуитивных рассуждений? Или решение надо оформить с помощью каких-то формул (типа формулы Байеса).

Я интуиции (особенно в теории вероятностей) не доверяю. Пусть ситуация простая, но я лучше распишу формально. А еще когда два ящика пустые - это одна возможность, а не две. Дробление события на какие-то два так, чтобы вероятности всех рассматриваемых событий совпали, не обязательно.

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1608154 писал(а):

Мы открыли один из этих двух ящиков и предмета там не обнаружили.

Мне кажется, что раз вероятность, что письмо в столе равна 1/2, и мы уже знаем что один ящик пуст, значит вероятность того, что письмо в другом ящике стола - 1/2 (т.к. письмо равновероятно в столе или не в столе).

[Doctor Boom]

wrest
Это же почти парадокс Монти-Холла Пусть у столе 100 ящиков, мы открыли 99, и все оказались пусты. Какова вероятность того, что предмет в последнем ящике? Неужели как и раньше 1/2?

[EUgeneUS]

Doctor Boom в сообщении #1608373 писал(а):

Это же почти парадокс Монти-Холла

"Почти, но только почти".

В парадоксе Монти-Холла пустой ящик открывает ведущий, который знает, какой ящик пустой (и всегда открывает пустой).
А данной задаче ящик стола открывает игрок.

[sergey zhukov]

wrest
А парадокс Монти Холла? Что, скажем, если вероятность найти предмет а столе равна $\frac{1}{2}$, но в столе 100 ящиков, и мы уже открыли 99 из них, и они все пустые? Как по вашему, вероятность найти предмет в 100 ящике по прежнему $\frac{1}{2}$? Я бы сказал, что она практически равна нулю.

Исходная вероятность найти предмет в столе - $\frac{1}{2}$. Мы открыли один из ящиков и увидели, что он пуст. До этого вероятность нахождения в нем предмета была равна $\frac{1}{4}$, теперь мы знаем точный ответ $0$. Это некоторая новая информация, которую мы получили в этой задаче: взамен вероятности - точное знание. Она должна уменьшить неопределенность в вопросе нахождения предмета в столе. Максимальная неопределенность - это $\frac{1}{2}$, любая другая вероятность уменьшает неопределенность. Вероятность того, что предмет в столе, до этого была равна $\frac{1}{2}$. Она должна измениться в сторону меньшей неопределенности. Поэтому правильный ответ $\frac{1}{3}$.

EUgeneUS в сообщении #1608374 писал(а):

А в данной задаче ящик стола открывает игрок.

Без разницы. Если дано условие "Открытый ящик пуст", все равно, кто его открыл. Если бы условие было "Предмет точно в столе. Вы пометили один из трех ящиков, открыли любой другой, и он пуст. Какова вероятность, что предмет в помеченном ящике?", то это и был бы Монти Холл. Можем считать, что Якубович так и делает: сам ничего не знает и открывает ящики наугад. Только те случаи, когда он не угадал пустой ящик, не пошли в эфир.

ShMaxG прав, конечно. Эти задачи с байесовской коррекцией вероятностей могут быть очень запутанными. Даже простейшие случаи вызывают разногласия. Лучше считать по формулам.

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1608375 писал(а):

Она должна измениться в сторону меньшей неопределенности. Поэтому правильный ответ $\frac{1}{3}$.

Такими рассуждениями можно проверить корректность известного ответа, но нельзя получить числовой ответ

Есть как минимум два способа решить задачу:

1. По "рабоче-крестьянски".
Пусть мы провели большое количество опытов $N$, тогда в $N_1=N/4$ случаях кошелёк в первом ящике, в $N_2 = N/4$ кошелек во втором ящике, и в $N_3 = N/2$ кошелка в столе нет .... и т.д.

Что-то подобное начал делать ТС, но зачем-то усложнил себе жизнь попыткой "выровнять вероятности".

2. С помощью условной вероятности.
Легко заметить, что вопрос задачи формулируется так: "какова вероятность найти кошелек во втором ящике стола, при условии, что в первом его нет".

wrest
и в обоих случаях получим $1/3$

[sergey zhukov]

EUgeneUS
Конечно, рассуждения типа "Мы что-то узнали, это должно как-то на что-то повлиять" - это так себе аргумент. Просто для демонстрации неправильной логики, по которой "Я и так знал, что в одном из ящиков ничего нет. Ничего нового открывание пустого ящика мне не дает".

мат-ламер применил хороший подход, в котором нельзя запутаться. Представь множество всех возможных равновероятных вариантов, реализующих заданные вероятности, вычеркни те, что отсеяны заданным условием, подсчитай на оставшихся долю тех, которые реализуют заданное событие. Я тоже так часто делаю.

Вот, кстати, похожая задача, которую я, правда, не формализовал. Я пришел еа автобусную остановку и жду автобуса. Автобус ходит с некоторым интервалом $A$, который, конечно, не выдерживается точно. Чем дольше я стою, тем выше вероятность, что в следующую минуту автобус придет. С другой стороны, чем дольше я жду, тем выше вероятность, что сегодня автобус вообще не ходит и, соответственно, чем дольше он не приходит, тем выше вероятность, что он вообще не придет. Действительно ли вероятность прихода автобуса в следующую минуту сначала возрастает со временем, а затем - падает?

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1608379 писал(а):

мат-ламер применил хороший подход, в котором нельзя запутаться. Представь множество всех возможных равновероятных вариантов, реализующих заданные вероятности, вычеркни те, что отсеяны заданным условием, подсчитай на оставшихся долю тех, которые реализуют заданное событие. Я тоже так часто делаю.

Если в задаче нет изначально равновероятных событий, то делить события на "более элементарные равновероятные" - странная затея.
Хорошо, в этом варианте нам повезло. Но вероятности могли быть какими-нибудь такими: $\frac{1}{2 \pi}, \frac{1}{2 \pi}, \frac{\pi-1}{\pi}$. И как их делить на равновероятные?

[sergey zhukov]

EUgeneUS
Деление на равновероятные варианты - это для простоты рассуждения. Для наглядности. Часто эти задачи интуитивно совершенно непонятны. Такой подход делает их слегка более интуитивно понятными. Ясное дело, что чисто для расчета нужно просто опрерировать вероятностями.

В одной из книжек по ТВ я даже видел мнение, что понятие вероятности только лишь и может быть введено через равновероятность симметричных случаев. Т.е. тот факт, что решка и орел имеют равные вероятности появления $\frac{1}{2}$ мы знаем априори из условий симметрии. Это не опытный факт. То же мы знаем и про кубик. А вот про нечестную монету мы это можем узнать только опытным путем (частота стремится к вероятности), либо как-то представив ее "механизм нечестности" в виде комбинации вероятностей бросков честных монет (скажем, решка на этой монете появляется всегда, когда бросок двух честных монеты дает две решки, иначе орел). Если не удается "разложить" некоторое событие на "честные монеты", то о его вероятности ничего сказать нельзя.

Не думаю, что это правильно. Но мысли такие высказывались.

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1608375 писал(а):

Без разницы. Если дано условие "Открытый ящик пуст", все равно, кто его открыл. Если бы условие было "Предмет точно в столе. Вы пометили один из трех ящиков, открыли любой другой, и он пуст. Какова вероятность, что предмет в помеченном ящике?", то это и был бы Монти Холл.

Нет, это не Монти Холл.
Есть три ящика, вероятности нахождения кошелька в каждом одинаковы и равны $1/3$, то
а) если пустой ящик открывает игрок, как в этой задаче, то далее вероятности найти кошелек в оставшихся двух одинаковы и равны $1/2$. Какие-бы метки не ставил игрок на ящики.
б) если пустой ящик открывает ведущий, как в парадоксе Монти Холла (то есть всегда открывает пустой и не помеченный), то вероятности будут перекошены.

[sergey zhukov]

EUgeneUS в сообщении #1608382 писал(а):

то есть всегда открывает пустой и не помеченный

Игрок по условию так же всегда открывает пустой и не помеченный. В чем разница? Всего лишь в том, что в случае игрока мы просто выбросили все случаи, где он ошибается. А в случае ведущего этих случаев никогда не бывает, т.е. ведущий уже выбирает из множества в котором некоторые случаи отброшены. Если отбросить все случаи, когда игрок ошибается и открывает ящик с предметом, и оставить только те, в которых он открывает пустой ящик, то это будет выглядеть в точности так, как будто он знает, где что лежит.

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1608383 писал(а):

Игрок по условию так же всегда открывает пустой и не помеченный.

Игрок не может всегда открывать пустой и не помеченный, так как не знает, где лежит кошелек.

-- 08.09.2023, 09:41 --

sergey zhukov
Пусть есть два события $A, B$.
События не совместны, то есть не могут реализоваться в одном опыте.
Вероятности событий равны: $P(A) = P(B) = p_0 \le 1/2$

Тогда легко показать, что вероятность события $A$, при условии, что не произошло событие $B$ равна:
$P(A| \bar{B}) = \frac{p_0}{1-p_0}$

Применяя этот результат к исходной задаче: $P(A| \bar{B}) = 1/3$
Применяя этот результат к задаче с тремя ящиками, игроком и без ведущего: $P(A| \bar{B}) = 1/2$
Применяя этот результат к раскладу вероятностей, как тут

EUgeneUS в сообщении #1608380 писал(а):

какими-нибудь такими: $\frac{1}{2 \pi}, \frac{1}{2 \pi}, \frac{\pi-1}{\pi}$.

$P(A| \bar{B}) = \frac{1}{2 \pi - 1}$

И т.д.
А вот к парадоксу Монти Холла эту формулу применять нельзя. (Но очень хочется - в чем и заключается парадокс )