Оператор, равномерно распределяющий на сфере

[Iam]

Geen

Должен сказать, что благодаря обсуждению здесь моего вопроса задача прояснилась.
Однако по порядку.
1. Если я скажу, что равномерно распределяющее преобразование (РРП) на сфере – это такой оператор, который при действии на какой-либо вектор формирует на выходе равномерно распределенный вектор, то мне сразу подскажут – отключи вход и дай на выходе, что нужно. Поэтому, как оказалось, я имел в виду линейный оператор.
2. Потом выяснилось, что линейность нужна не в смысле сложения углов сферических координат, которая полагалась в теме, а в операциях $R^n$. Таким образом, определился отрицательный ответ на вопрос, который имелся в виду.
3. Пример линейного РРП в множестве вершин куба с координатами $\pm1$ – это оператор умножения на равновероятную $\pm1$ гамму (оператор $\gamma$). Его важное свойство можно представить соотношением: $(s\gamma+v) \gamma^{-1}=s+v\gamma^{-1}$, из которого видно, что если вектор s предварительно обработать РРП, то аддитивный вектор можно сделать равномерно распределенным в вершинах куба обратным преобразованием.
4. Аналогичный пример возможен (.) и для сферы, но РРП описать не так просто, как я предполагал.

Спасибо всем за обсуждение.

[Утундрий]

Будем проще, сядем на пол...

Iam
Возьмите обычный глобус и нагенерируйте на нём точек. Таких, что долгота и широта - равномерно (по своим интервалам) распределённые случайные величины. Потом отрисуйте это в какой-нибудь рисовалке и просто посмотрите, что получится.

[Iam]

Утундрий
А разве кто-то утверждал, что долгота и широта (или какие-то отдельные компоненты) вектора "равномерно (по своим интервалам) распределенные случайные величины? На каком основании я их должен генерировать и рисовать?

[Geen]

Iam в сообщении #1603837 писал(а):

это оператор умножения на равновероятную $\pm1$ гамму

ээээээ, а что такое "оператор"?

[Iam]

[quote="Geen в сообщении #1603848
ээээээ, а что такое "оператор"?[/quote]

ммммм, а к чему этот вопрос?

[Geen]

Iam в сообщении #1603850 писал(а):

ммммм, а к чему этот вопрос?

Возникли подозрения, что Вы неправильно используете этот термин.

[Евгений Машеров]

Iam в сообщении #1603760 писал(а):

для любого единичного вектора с координатами $b_1,…,b_{n-1}$

Ну и данная фраза наводит на мысли...

-- 04 авг 2023, 08:16 --

Iam в сообщении #1603810 писал(а):

равномерно распределяющее преобразование, которое "нормализует" любой случайный или детерминированный вектор.

И тут интересно...

[Iam]

Geen
Понятий «много», терминов «мало». Если не все, то большое количество терминов используются по-разному в различных задачах: «точка», «прямая», «линия», «многоугольник», «функция», «формула», «алгоритм», «решение», «найти решение»…

Понятия, соответствующие терминам, определяются аксиоматикой теории, в которой они используются, а критерий правильности – в корректности (непротиворечивости) этой теории. Не вытекающие из этого принципа полномочия судить (о чем-либо, в частности, правильности, полезности…) должны быть где-то регламентированы, а механизмы исполнения (учета) результатов суждения – обеспечены.

Понятие функции как отношения определять не буду. «Функционал, оператор, преобразование…» - термины, используемые для функций и придания им (функциям) некоторой подкраски (запаха, вкуса, тумана, привнесения элементов мистики, источника ужаса…).

"Простой народ" привык использовать термин "оператор" для обозначения функций $H:R^n \to R^m $, термины «случайная величина», "случайная функция" (в том числе «случайный оператор») - в рамках конструкции вероятностного пространства.
Возможен (допустим в решаемой задаче) вариант определения:
РРП (оператор) – функция $H: S^n \times S^n \to S^n $ ,удовлетворяющая свойствам:

$H(a,b)$ – биекция по $а$ при любых $b\in S^n$;
$H(a,b)$ – линейна по $b$ при любых $a\in S^n$;
Для любого $b\in S^n$ существует случайный вектор $A$ с распределением на $S^n$ (вер. мера на борелевской алгебре…), такой, что $H(A, b)$ - случайный вектор, равномерно распределенный на $S^n$

Другой вариант (близкий по смыслу к предыдущему) определения РРП можно дать в терминах условных распределений значения (выхода) $H(A, b)$ при задании величин $a, b, A$ (на входе).

-- 04.08.2023, 06:24 --

Евгений Машеров

По поводу координат $b_i$ я выше уточнил, что это сферические на единичной сфере.
Термин нормализация (там в кавычках) взят из приложений, где в таких задачах компоненты результирующего вектора $s+v\gamma^{-1}$ обрабатываются согласованным с сигналом фильтром, на выходе которого аддитивная помеха аппроксимируется нормально распределенной СВ. Есть системы обработки, в которых $n=10^6$.

[пианист]

(Оффтоп)

Iam
Вам, наверное, надо что-то типа действия $S^3$ как группы на себе. Только, конечно, не сложение координат будет, а групповая операция.

[Iam]

пианист в сообщении #1603876 писал(а):

(Оффтоп)

Iam
Вам, наверное, надо что-то типа действия $S^3$ как группы на себе. Только, конечно, не сложение координат будет, а групповая операция.

Возможно, именно такой подход необходим для осмысления вопросов существования РРП. Учитывая, что требуется оговоренная линейность, придется рассматривать уже подгруппу с операцией, для которой выполняется распределительный закон относительно сложения в $R^n$...

Весьма полезно, что вопрос, который я задал в теме (в поисках простого конструктивного решения), обсужден с разных сторон и подходов. - Спасибо.