Оператор, равномерно распределяющий на сфере

[Iam]

Пусть $a_1,…,a_{n-1}$ – полярные координаты случайного вектора равномерно распределенного на единичной сфере в $R^n$. Думаю, что для любого единичного вектора с координатами $b_1,…,b_{n-1}$ сумма $a_1+b_1,…,a_{n-1}+b_{n-1}$ даст координаты случайного вектора, равномерно распределенного на этой сфере. Таким образом можно задать стохастический оператор, действие которого на любой вектор дает случайный вектор, равномерно распределенный на сфере.
Нет ли здесь оснований для сомнений?

[мат-ламер]

Предлагаю проверить идею для случая $n=2$ .

[Iam]

мат-ламер, $a+b$, где $a$ равномерно распределен на $[0,2\pi)$, дает равномерное распределение на окружности...

[Geen]

Iam в сообщении #1603760 писал(а):

полярные координаты случайного вектора равномерно распределенного

Iam в сообщении #1603760 писал(а):

даст координаты случайного вектора, равномерно распределенного

....

[svv]

Пусть $a_\theta,a_\varphi$ — сферические координаты случайного вектора, равномерно распределённого на единичной сфере. Случайная величина $a_\theta$ имеет не равномерное распределение, а вот такое: $p(\theta)=\frac 1 2 \sin\theta$. Ведь полоска в один градус широты вдоль экватора имеет гораздо большую площадь, чем в полярной области; в поверхностных интегралах по сфере это учитывается якобианом $\sin\theta$. Добавив постоянную величину $b_\theta$, Вы сместите максимум распределения с экватора куда-нибудь в средние широты и сделаете распределение на сфере вектора с координатами $a_\theta+b_\theta, a_\varphi+b_\varphi$ неравномерным.

[мат-ламер]

Iam в сообщении #1603771 писал(а):

мат-ламер, $a+b$, где $a$ равномерно распределен на $[0,2\pi)$, дает равномерное распределение на окружности...

Ничего не понял. $a$ изначально равномерно распределено на $[0,2\pi)$ . Если мы к нему добавим $b=1$ , то сумма будет равномерно распределена на $[1,2\pi+1)$ .

[Евгений Машеров]

Iam в сообщении #1603760 писал(а):

Пусть $a_1,…,a_{n-1}$ – полярные координаты случайного вектора равномерно распределенного на единичной сфере в $R^n$. Думаю, что для любого единичного вектора с координатами $b_1,…,b_{n-1}$ сумма $a_1+b_1,…,a_{n-1}+b_{n-1}$ даст координаты случайного вектора, равномерно распределенного на этой сфере. Таким образом можно задать стохастический оператор, действие которого на любой вектор дает случайный вектор, равномерно распределенный на сфере.
Нет ли здесь оснований для сомнений?

Есть. Уже для сферы не работает.

[мат-ламер]

Iam в сообщении #1603771 писал(а):

дает равномерное распределение на окружности...

мат-ламер в сообщении #1603788 писал(а):

то сумма будет равномерно распределена на $[1,2\pi+1)$ .

Извиняюсь, не понял сразу, что есть "равномерное распределение на окружности".

-- Чт авг 03, 2023 14:49:51 --

мат-ламер в сообщении #1603796 писал(а):

Извиняюсь, не понял сразу, что есть "равномерное распределение на окружности".

Тут видимо имелось в виду, что если угол $\alpha$ равномерно распределён на $[1,2\pi+1)$ , то двумерная величина $(\cos \alpha , \sin \alpha )$ будет равномерно распределена на окружности. Согласен, если утверждению для $n=2$ придать должный смысл, то оно будет верно. Но, тут намекают, что уже случай $n=3$ сталкивается с проблемами.

-- Чт авг 03, 2023 14:59:11 --

мат-ламер в сообщении #1603796 писал(а):

Но, тут намекают, что уже случай $n=3$ сталкивается с проблемами.

Пусть у нас есть случайная точка на двумерной сфере. Долготу мы её можем случайно поменять. Она останется точкой, равномерно распределённой на сфере. А вот с широтой возникнут проблемы. Ибо, если точка равномерно распределена на сфере, то её широта не имеет равномерного распределения.

[TOTAL]

Iam в сообщении #1603760 писал(а):

Пусть $a_1,…,a_{n-1}$ – полярные координаты случайного вектора равномерно распределенного на единичной сфере в $R^n$. Думаю, что для любого единичного вектора с координатами $b_1,…,b_{n-1}$ сумма $a_1+b_1,…,a_{n-1}+b_{n-1}$ даст

Полярные координаты складываются с вектором? Это как?
$(r, \omega) + (3/5, 4/5)$?

[Iam]

Как я понял, запутал уважаемых математиков. Попытаюсь прояснить, в чем вопрос.
Прежде всего, в вопросе подразумевал сферические координаты, где $a_i, b_i , i=1,…, n-1,$ – это углы, представляющие векторы a, b на единичной сфере. Если $a=( a_1,…, a_{n-1}) $равномерно распределен, то мера инвариантна относительно вращений и вращение на b (компоненты b) оставляет ее неизменной.
Вопрос выглядит тривиальным, но он может интерпретироваться следующим образом. Пусть несколько субъектов взаимодействуют так, что результат зависит от композиции операторов $AB…W$, соответствующих воздействиям субъектов на некоторое исходное состояние (задаваемое вектором параметров). Тогда каждый субъект может привести к итогу, который определяется равномерным распределением итогового вектора параметров. Здесь тоже ничего необычного нет (на практике работает), но модель, как выяснилось, требует более корректного описания.
Спасибо за обсуждение.

[Утундрий]

Iam в сообщении #1603802 писал(а):

сферические координаты, где $a_i, b_i , i=1,…, n-1,$ – это углы, представляющие векторы a, b на единичной сфере. Если $a=( a_1,…, a_{n-1}) $равномерно распределен, то мера инвариантна относительно вращений и вращение на b (компоненты b) оставляет ее неизменной.

Нет.

[TOTAL]

Iam в сообщении #1603802 писал(а):

Если $a=( a_1,…, a_{n-1}) $равномерно распределен

Вы согласны, что (в трёхмерном случае хотя бы) распределение по углам тогда неравномерно?

[svv]

Iam, я Вас понял так.

Вы используете на гиперсфере $|\mathbf r|=1$ в $\mathbb R^n$ один из вариантов гиперсферических координат (частным случаем которых являются полярные и сферические). Например, такой:

$$\begin{array}{llllllll} x_1 &= & \cos a_{1} & \cos a_{2} & \ldots & \cos a_{n-3} & \cos a_{n-2} & \cos a_{n-1}\\ x_2 &= & \cos a_{1} & \cos a_{2} & \ldots & \cos a_{n-3} & \cos a_{n-2} & \sin a_{n-1}\\ x_3 &= & \cos a_{1} & \cos a_{2} & \ldots & \cos a_{n-3} & \sin a_{n-2} \\ x_4 &= & \cos a_{1} & \cos a_{2} & \ldots & \sin a_{n-3} \\ \ldots\\ x_{n-1}&= & \cos a_{1} & \sin a_{2}\\ x_n &= & \sin a_{1}\end{array}$$

Хотя интервалов изменения координат
$a_1,a_2,\ldots, a_{n-2}\in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ и $a_{n-1}\in[0, 2\pi)$
достаточно для задания любой точки на гиперсфере, формулы дают некоторый набор декартовых координат (а следовательно, и задают точку на гиперсфере) при любых значениях углов $a_1,...a_{n-1}$.
Поэтому определим "оператор вращения" так: берём точку, к её координатам $a_1,...a_{n-1}$ прибавляем постоянные добавки $b_1,...,b_{n-1}$, не боясь выскочить за пределы диапазонов, и получаем угловые координаты новой точки.

Проблема в том, что это не оператор вращения. Настоящие же вращения гиперсферы описываются совсем по-другому.

[Iam]

svv, именно так я и хотел сказать :).
Понял, что это "в чистом виде" не вращение, т. к. вращение, по-видимому, лишь при $n=2$ может быть равномерно распределяющим.
Возможно, $n-1$ покомпонентных случайных вращений могут в совокупности составить равномерно распределяющее преобразование (ясно, что эти повороты должны быть взаимозависимы).
Для меня важно то, что на основе случайного вектора с равномерным распределением на сфере можно получить равномерно распределяющее преобразование, которое "нормализует" любой случайный или детерминированный вектор.
Предпоследнее Ваше предложение я с надеждой продолжаю "...которая равномерно распределена на сфере".
Спасибо за внимание и пояснения.

-- 03.08.2023, 13:02 --

Утундрий

По поводу "нет"...
Равномерное распределение на сфере инвариантно относительно изометрических преобразований... Нет?

-- 03.08.2023, 13:11 --

TOTAL
Я согласен, что равномерное и взаимонезависимое распределение углов на $[0,2\pi)$ не даст равномерного распределения на сфере при $n>2$. Но думаю, что условное распределение каждой компоненты при задании остальных компонент равномерно.
Возможно ли равномерное распределение точки на сфере при неравномерном распределении точек на каких либо окружностях сферы? - Не уверен.

-- 03.08.2023, 13:30 --

Добавление
В Википедии на https://ru.wikipedia.org/wiki/"Сферический_сегмент" есть ссылки (см., например, [7,8 - рус]). Все сегменты в $R^n$ с равномерным распределением на границах (окружностях) сечений.

[Geen]

Iam в сообщении #1603810 писал(а):

равномерно распределяющее преобразование

Дайте определение, пожалуйста.