2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 ... 34  След.
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение31.07.2023, 10:54 


29/08/09
691
Опять поторопилась. :oops:
Немного всё по-другому будет.
Но ход для того, чтобы прийти к симметрии, верный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение31.07.2023, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2311
МО
natalya_1 в сообщении #1603384 писал(а):
для того, чтобы прийти к симметрии

для того, чтобы сократить Ваш путь: если график $y = (cd - p)x^m - c^2dx^{m-1} + c^2px^{m-2}$ обладает центром симметрии, то абсцисса центра симметрии будет равна $\frac{c^2d}{m(cd - p)}$.
Получается прямой проверкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение31.07.2023, 19:25 


29/08/09
691
пианист в сообщении #1603404 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1603384 писал(а):
для того, чтобы прийти к симметрии

для того, чтобы сократить Ваш путь: если график $y = (cd - p)x^m - c^2dx^{m-1} + c^2px^{m-2}$ обладает центром симметрии, то абсцисса центра симметрии будет равна $\frac{c^2d}{m(cd - p)}$.
Получается прямой проверкой.

Спасибо большое! В том-то и дело, что если бы график был симметричным, всё решалась бы легко и просто.
(Кстати, я уверена, что он симметричный. Только не знаю, как это доказать: Может быть, моё рассуждение глупое: для меня функция выглядит как кубическая. Но не знаю, что делать, потому что что параметр "плавающий", тоже переменный: $x^{n-3}(x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px)$).
Только у меня абсцисса центра симметрии равна $\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd - p)}$ (Через вторую производную).
если симметрия существует, всё очень красиво получается.
Даже сумма действительных корней легко вычисляется: сумма всех корней $\frac{c^2d}{cd-p}$, сумма действительных корней -$\frac{3(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$..

Но в любом случае можно движением графиков добиться результата,если моё доказательство для $n=3$ верное.
Поэтому сейчас займусь тем, о чём говорил Rak so dna

-- Пн июл 31, 2023 20:54:21 --

natalya_1 в сообщении #1603431 писал(а):
график был симметричным, всё решалась бы легко и просто.
Но не знаю, что делать, потому что что параметр "плавающий", тоже переменный: $x^{n-3}(x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px)$).

Очередная идея пришла, сейчас буду её проверять:
Буду исследовать два графика: $f_1(x)=v(x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px)$ и $f_2(x)=t(x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px)$,
где $v=a^{m-3}$, $t=b^{m-3}$.
Там тоже симметрия интересная

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение31.07.2023, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2311
МО
natalya_1 в сообщении #1603431 писал(а):
я уверена, что он симметричный. Только не знаю, как это доказать

Возьмите да подставьте в уравнение вместо $x$ и $y$ $2x_0 - x$ и $2y_0 - y$, соответственно, где $x_0, y_0$ координаты предполагаемого центра симметрии. После раскрытия скобок и упрощения должно получиться исходное уравнение. Ровно так я и посчитал абсциссу центра симметрии: собрал коэффициенты при $x^{m-1}$. Для кубической параболы центр симметрии находится всегда, какие бы ни были коэффициенты, для кривой, заданной полиномом $5$ степени и выше, это уже не так, график может и не иметь центральную симметрию. Но в любом случае, если центр симметрии есть, его иксовая координата обязательно будет равна $\frac{c^2d}{m(cd-p)}$ (в Вашем случае и в Ваших обозначениях), это необходимое условие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение31.07.2023, 21:37 


29/08/09
691
пианист в сообщении #1603441 писал(а):
Но в любом случае, если центр симметрии есть, его иксовая координата обязательно будет равна $\frac{c^2d}{m(cd-p)}$ (в Вашем случае и в Ваших обозначениях), это необходимое условие.

Значит, либо вы неправильно посчитали ( не могу сама проверить, не поняла как считать), либо, центра симметрии нет, потому что:
Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$
$y'=m(cd-p)x^{m-1}-(m-1)c^2dx^{m-2}+(m-2)c^2px^{m-3}$
$y'=0$ если $x=0$ (при $x>3$и
$m(cd-p)x^2-(m-1)c^2dx+(m-2)c^2px=0$
$D=(m-1)^2c^4d^2-4m(m-2)(cd-p)c^2p=c^2((m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2)$
$x=\frac{(m-1)c^2d\mp{c\sqrt{(m-1)^2c^2d-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$
если центр симметрии есть, эти две критические точки должны быть симметричны относительно центра симметрии.
А они симметричны (если симметричны) относительно $\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$
При $m>3$, $\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}\not=\frac{c^2d}{m(cd-p)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение31.07.2023, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2311
МО
Верить мне на слово совершенно нет надобности, рецепт я написал, смысл, надеюсь, ясен, а выкладки элементарные.
Что касается "Вашей" части, я в нее не лезу, так что тут уж сами плз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение31.07.2023, 22:05 


29/08/09
691
пианист в сообщении #1603448 писал(а):
Верить мне на слово совершенно нет надобности, рецепт я написал, смысл, надеюсь, ясен, а выкладки элементарные.
Что касается "Вашей" части, я в нее не лезу, так что тут уж сами плз.

Спасибо вам огромное, буду разбираться

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение31.07.2023, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2311
МО
Если есть необходимость, могу завтра подробно расписать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение31.07.2023, 22:15 


29/08/09
691
пианист в сообщении #1603451 писал(а):
Если есть необходимость, могу завтра подробно расписать.

Буду очень благодарна

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 03:35 


29/08/09
691
О симметрии:
Если центр симметрии ( как я предполагаю) $\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$, критические точки должны быть симметричны не только относительно центра симметрии, но и относительно $c+(\frac{m-1)c^2d}{2m(cd-p)}-\frac{c}{2})$ и $(\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}-\frac{c}{2})$.
Проверяем:
$c+(\frac{m-1)c^2d}{2m(cd-p)}-\frac{c}{2}-\frac{(m-)c^2d+\sqrt{D}}{2m(cd-p)}=\frac{(m-)c^2d+\sqrt{D}}{2m(cd-p)}-(\frac{m-1)c^2d}{2m(cd-p)}-\frac{c}{2}$,
$(2m-1)c^2d-mcp-(m-1)c^2d-\sqrt{D}=(m-1)c^2d-\sqrt{D}-mcp+c^2d$,
$mc^2d-mcp=mc^2d-mcp$ всё сходится

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 05:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2311
МО
Ищем центральную симметрию $x \to 2x_0 - x, y \to 2y_0 - y$ графика $y = (cd - p)x^m - c^2dx^{m-1} + c^2px^{m-2}$, подставляем:
$2y_0 - y = (cd - p)(2x_0 - x)^m - c^2d(2x_0 - x)^{m-1} + c^2p(2x_0 - x)^{m-2}$.
Коль скоро график инвариантен, после замены $y$ из исходного выражения должно получиться тождество по $x$:
$2y_0 - ((cd - p)x^m - c^2dx^{m-1} + c^2px^{m-2})=$
$= (cd - p)(2x_0 - x)^m - c^2d(2x_0 - x)^{m-1} + c^2p(2x_0 - x)^{m-2}$.
Раскрываем скобки справа:
$2y_0 - ((cd - p)x^m - c^2dx^{m-1} + c^2px^{m-2})=$
$= (cd - p)(.. - \frac{m(m-1)}{2}(2x_0)^2x^{m-2} + m 2x_0x^{m-1} - x^m) -$
$-c^2d(.. - (m-1)2x_0x^{m-2} + x^{m-1}) + c^2p(.. + (m-2)2x_0x^{m-3} - x^{m-2})$.
Начинаем собирать коэффициенты при степенях $x$; по $x^m$ выполняется, по $x^0$ дает выражение $y_0$ через $x_0$. $x^{m-1}$ дает как раз значение $x_0$; приятный сюрприз - коэффициенты при $x^{m-2}$ приводят к тому же равенству. В случае $m=3$ приключения на том и заканчиваются, так что центр симметрии всегда найдется. А вот уже при $m=5$ есть еще пара соотношений, с ростом $m$ их число растет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 05:49 


29/08/09
691
пианист , спасибо огромное!
пианист в сообщении #1603481 писал(а):
Коль скоро график инвариантен, после замены $y$ из исходного выражения должно получиться тождество по $x$:
$2y_0 - ((cd - p)x^m - c^2dx^{m-1} + c^2px^{m-2})=$
$= (cd - p)(2x_0 - x)^m - c^2d(2x_0 - x)^{m-1} + c^2p(2x_0 - x)^{m-2}$.

А здесь не плюс должен быть?
$2y_0 + ((cd - p)x^m - c^2dx^{m-1} + c^2px^{m-2})=(cd - p)(2x_0 - x)^m - c^2d(2x_0 - x)^{m-1} + c^2p(2x_0 - x)^{m-2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 05:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2311
МО
Нет. Минус из $2y_0 - y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 06:11 


29/08/09
691
пианист в сообщении #1603481 писал(а):
А вот уже при $m=5$ есть еще пара соотношений, с ростом $m$ их число растет.

Не может быть много соотношений, исходя из того, что я писала:
Если симметрия существует, две критические точки должны быть симметричны.
А они могут быть симметричными только при центре симметрии $\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение01.08.2023, 07:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2311
МО
Ну, тут же все просто: если какое-то из соотношений не выполняется, график не имеет центральной симметрии. Как говорится, ничего личного. В частности, по иксу центр симметрии может быть только в точке $\frac{c^2d}{m(cd-p)}$.
А кто там кому чего должен.. "ваш крокодил, вы его и спасайте".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 508 ]  На страницу Пред.  1 ... 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 ... 34  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group