2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 12  След.
 
 
Сообщение20.11.2008, 14:14 
Заблокирован


26/03/07

2412
VladTK в сообщении #159764 писал(а):
Цитата:
Такие пространства необходимо имеют сингулярности. Эти сингулярности - источники этого поля.


Не понял - какие сингулярности? Показано, что в этих решениях уравнений Эйнштейна нет сингулярностей, а кривизна есть везде и всегда
Давайте уточним насчет "сингулярностей". Метрика Тауба :

$$ ds^2=\frac{dt^2}{U}-(2l)^2U(d\psi+\cos{\theta}d\varphi)^2-(t^2+l^2)(d\theta^2+\sin^2{\theta}d\varphi^2)$$,

где $\psi,\theta,\varphi$ - углы Эйлера,

$$U=\frac{2(mt+l^2)}{t^2+l^2}-1$$,

$m,l$ - положительные константы. Эта метрика имеет особенность при $t=t_{\pm}=(m\pm (m^2+l^2)^{1/2})$. Отвечающее ей пространство содержит компактную область $t_{-}<t<t_{+}$, в которой есть времениподобные и изотропные геодезические, которые "захвачены" в ней, т.е. остаются все время внутри неё, и неполны. Это пространство по определению сингулярно, несмотря на отсутствие сингулярностей как скалярных полиномов кривизны, так и самого тензора кривизны (Хокинг - Эллис 1977).

Добавлено спустя 6 минут 52 секунды:

VladTK в сообщении #160149 писал(а):
Что такое "островная система с кручением"?
В ней присутствует кручение и отсутствует материя на бесконечности.
VladTK в сообщении #160149 писал(а):
Объясните, что Вы хотите сказать? Псевдотензоры - это прямое следствие ОТО.
Они ОТО не нужны : Полная энергия $\equiv$ энергия гравитационного поля является одним из интегралов её уравнений. Т.е. она возникает естественным образом после интегрирования.
VladTK в сообщении #160149 писал(а):
А подробнее можно? Как была рассчитана эта самая полная гравитационная энергия?
Только что было отмечено - в результате интегрирования уравнений ОТО, как один из первых интегралов уравнений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2008, 14:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10856
pc20b писал(а):
Но всё же следование традиции - соотносить ГП с ньютоновым ускорением $g$, т.е. со связностями, с первыми производными метрики, это просто дань традиции в ущерб теории.

Нет, ущерб теории - это называть "гравитацией" объект, к силам тяготения прямого отношения не имеющий.

pc20b писал(а):
Причем, цена, которую приходится платить - непонимание даже специалистами универсального инвариантного характера гравитационного поля, тождественного геометрии (кривизне) и отображающего на неё все остальные "физические" поля - слишком велика : складывается ошибочное представление. что ГП можно уничтожить в лифте (в свободно падающей по геодезической системе отсчета), что, кстати, справедливо лишь приближенно;

Вы сейчас заплатили свою цену, продемонстрировав непонимание того, что в падающем лифте гравитационное поле можно уничтожить с точностью и не только локально (если это, например, поле от бесконечной тяготеющей плоскости).

pc20b писал(а):
Конечно же объект, описывающий ГП, должен быть инвариантен и иметь максимальный ранг. Это - тензор кривизны.

Эти идеи ни на чём не основаны. Конечно же тензор кривизны - объективная вещь, независимая от выбора СО. Но он не есть "гравитация" как раз потому, что гравитация - это вещь, зависимая от СО.

pc20b писал(а):
Если пространство с кручением, что плюс тензор кручения.

В ОТО нет кручения.

Добавлено спустя 17 минут 50 секунд:

VladTK писал(а):
А с чего вдруг ассимтотика бывает "корявой", "хорошей" или еще какой? Как Вы определяете "качество" ассимптотики?

Это не я определяю, а тот, кто хочет посчитать массу объекта, границы которого уходят в бесконечность. Нужно позаботиться не только о том, чтобы на бесконечности метрика была лоренцевой, но и о том, чтобы часть массы не оказалась в бесконечности.

VladTK писал(а):
Значения глобальных (внутренних) характеристик системы зависят от выбора системы координат (внешней воли наблюдателя)? Осталось тока ахать...

Что будет и что не будет входить в "систему" определённо зависит от выбора наблюдателя.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2008, 15:40 
Заблокирован


26/03/07

2412
epros в сообщении #160183 писал(а):
pc20b писал(а):
Но всё же следование традиции - соотносить ГП с ньютоновым ускорением , т.е. со связностями, с первыми производными метрики, это просто дань традиции в ущерб теории.

Нет, ущерб теории - это называть "гравитацией" объект, к силам тяготения прямого отношения не имеющий.
Извините, но это недоразумение - считать источником тяготения лишь ньютоновский потенциал $\varphi$. В ньютоновской механике ускорение частицы определяется градиентом этого потенциала, а относительное ускорение двух частиц, находящихся на расстоянии $Z^{\mu}$, вторыми производными ньютонова потенциала, $\varphi_{;\mu;\nu}Z^{\nu}$. В ОТО это относительное ускорение описывается уже с помощью тензора кривизны (Хокинг - Эллис 1977) :

$$ \varphi_{;\mu;\nu} \sim R_{\mu\alpha\nu\beta}u^{\alpha}u^{\beta}$$.

epros в сообщении #160183 писал(а):
В ОТО нет кручения.


Это лишь в одном из вариантов ОТО - с симметричной связностью. Но связность не обязательно согласована с метрикой. Тогда объект

$$S^{\alpha}_{\mu\nu} = \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\nu\mu}$$

называется тензором кручения (Хокинг-Эллис 1977). Получаем ОТО с кручением.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2008, 16:07 


16/03/07
827
Цитата:
...Это пространство по определению сингулярно,...


Очевидно сингулярность понимается Вами в каком-то космологическом смысле? Кроме того нет никаких гарантий, что не существует других решений подобных Таубу. В любом случае, материальных источников в пространстве Тауба нет (как минимум на протяжении некоторого времени :) ). Поэтому утверждаемая Вами связь кривизны с материей поставлена под сомнение.

Цитата:
Они ОТО не нужны : Полная энергия энергия гравитационного поля является одним из интегралов её уравнений. Т.е. она возникает естественным образом после интегрирования.


Очень интересно. А не покажите на какой-нибудь сравнительно простой метрике (типа Шварцшильда) как это происходит?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2008, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
VladTK в сообщении #160149 писал(а):
Согласен. Но я считаю, что после чего-нибудь типа ЛЛ2 или "Гравитации" МТУ Фока следует прочесть обязательно.

Почему? Какие концепции там изложены? Я бы после МТУ (must) рекомендовал Пенроуза и Иваненко. Синга.

Добавлено спустя 1 минуту 35 секунд:

pc20b в сообщении #160220 писал(а):
Это лишь в одном из вариантов ОТО - с симметричной связностью... Получаем ОТО с кручением.

Увы, "ОТО с кручением" - это не вариант ОТО. Это вариант расширения ОТО. И даже не один вариант, потому что для кручения не сформулировано динамических уравнений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2008, 20:58 


16/03/07
827
Цитата:
Почему? Какие концепции там изложены? Я бы после МТУ (must) рекомендовал Пенроуза и Иваненко. Синга.


Фока нужно читать уже ради его четвертой главы. Ковариантизация СТО, с моей точки зрения, есть очень плодотворная концепция. Как пример, мои "опусы" строятся на этой концепции :)
Пенроуз математик - с ним трудно. Иваненко безусловно must (даже не взирая на реакцию Фейнмана на Иваненко). Синг силен своей мировой функцией, но при чтении меня не покидало ощущение какой-то "тупиковости", "завершенности".

Цитата:
...И даже не один вариант, потому что для кручения не сформулировано динамических уравнений.


Разве, по крайней мере, один из вариантов обобщения ОТО - калибровочная теория гравитации на основе группы Пуанкаре не задает уравнений на кручение?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2008, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
VladTK в сообщении #160299 писал(а):
Фока нужно читать уже ради его четвертой главы. Ковариантизация СТО, с моей точки зрения, есть очень плодотворная концепция.

Достаточно прочитать ковариантизацию ньютоновской механики в МТУ.

VladTK в сообщении #160299 писал(а):
Пенроуз математик - с ним трудно.

Напротив, он даёт очень ясный физический смысл ряду конструкций, и расширяет кругозор, показывая, что теория - это не только ДУЧП, а следует помнить ещё и покрытии пространства картами, и о глобальной топологии. Кстати, этого не хватает pc20b (среди прочего, чего ему не хватает).

VladTK в сообщении #160299 писал(а):
Иваненко безусловно must (даже не взирая на реакцию Фейнмана на Иваненко).

Что за реакция?

VladTK в сообщении #160299 писал(а):
Разве, по крайней мере, один из вариантов обобщения ОТО - калибровочная теория гравитации на основе группы Пуанкаре не задает уравнений на кручение?

Не в курсе. А откуда там появляется эта динамика?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2008, 23:27 
Заблокирован


26/03/07

2412
VladTK в сообщении #160227 писал(а):
Цитата:
Они ОТО не нужны : Полная энергия энергия гравитационного поля является одним из интегралов её уравнений. Т.е. она возникает естественным образом после интегрирования.


Очень интересно. А не покажите на какой-нибудь сравнительно простой метрике (типа Шварцшильда) как это происходит?
Пожалуйста. Попробуем на метрике Шварцшильда.

Уравнения центрально - симметричного статического поля (ЛЛ2) :

(1) $$\kappa T^0_0=\frac{1}{r^2}(1-e^{-\lambda}(1-\lambda^{'}r))$$,

(2) $$\kappa T^1_1=\frac{1}{r^2}(1-e^{-\lambda}(1+\nu^{'}r))$$.

Здесь постоянная Эйнштейна $$\kappa=\frac{8\pi k}{c^4}$$. В пустоте левые части в (2), (3) равны нулю. Вычитая из (1) (2), получаем

$$\nu=-\lambda$$.

Уравнение (1), если его записать в виде

$$(r(1-e^{-\lambda}))^{'}=0$$,

интегрируется :

(3) $$r(1-e^{-\lambda})= C$$,

где $C $ - константа интегрирования - первый интеграл уравнений гравитационного поля.

Для выяснения его смысла заметим, что решение уравнений (1), (2) :

(4) $$e^{\nu}=e^{-\lambda}=1-\frac{C}{r}$$,-

сингулярно в точке $r=0$. Следовательно, в точке $r=0$ находится точечный источник данного гравитационного поля. Т.к. по определению компонента $T^0_0$ тензора энергии-импульса материи имеет смысл плотности её энергии $\varepsilon$, а интеграл от неё по всему пространству - полной гравитационной энергии

(5) $$E=m_0c^2 =\int_{V}\varepsilon dV$$,

то, учитывая, что источник поля точечный, следовательно, его плотность выражается через трехмерную $\delta$ - функцию Дирака, т.е.

(6) $$\varepsilon =E\delta^{(3)}(r)$$, $$\int_V\delta^{(3)}dV=1$$,

а элемент объема $dV=4\pi r^2dr$, из (1), (3)-(6) получаем :

$$ \kappa E=4\pi r(1-e^{-\lambda})=4\pi C$$,

откуда следует и значение константы интегрирования $C$, которая оказывается точно определенной и пропорциональной полной гравитационной энергии в данном случае точечной массы $m_0$ :

(7) $$C =\frac{\kappa E}{4\pi}=\frac{2km_0}{c^2} = r_g$$, -

и равной т.н. гравитационному радиусу $r_g$. А сама масса (энергия покоя) точечной частицы - равной полной энергии гравитационного поля всего внешнего вакуумного пространства этого точечного источника.**

** А если решить уравнения Эйнштейна для внутреннего мира этой массы $m_0$, уже не точечной, то она же окажется равной и полной гравитационной энергии внутреннего мира в месте расположения этой частицы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2008, 23:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
epros в сообщении #160183 писал(а):
Это не я определяю, а тот, кто хочет посчитать массу объекта, границы которого уходят в бесконечность. Нужно позаботиться не только о том, чтобы на бесконечности метрика была лоренцевой, но и о том, чтобы часть массы не оказалась в бесконечности.


Это аналог условия замкнутости системы. Хорошо известно, что энергия системы определена тем лучше, чем ближе система к замкнутой.

И псевдотензор эгергии-импульса в этом случае ведёт себя вполне прилично, позволяя определить интегральные сохраняющиеся величины, включая вектор 4-импульса и тензор 4-момента импульса. Эти величины являются вектором и тензором относительно преобразований, переходящих в асимптотически плоской области в преобразования Лоренца.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2008, 23:55 
Заблокирован


26/03/07

2412
VladTK в сообщении #160227 писал(а):
Очевидно сингулярность понимается Вами в каком-то космологическом смысле? Кроме того нет никаких гарантий, что не существует других решений подобных Таубу. В любом случае, материальных источников в пространстве Тауба нет (как минимум на протяжении некоторого времени Smile ). Поэтому утверждаемая Вами связь кривизны с материей поставлена под сомнение.
Нет. Никаких сомнений нет. У вакуумного поля Тауба есть источник. Это видно по тому, что у метрики его существует особенность на двух горизонтах $t_{-}$ и $t_{+}$, а также на бесконечности во времени***. Никто эти особенности топологически строго не исследовал.

***Грубо говоря, это может означать, к примеру, что данное гравитационное поле с компактной регулярной областью кто-то "выплюнул".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2008, 07:56 


16/03/07
827
Цитата:
Достаточно прочитать ковариантизацию ньютоновской механики в МТУ.


Фок мне больше нравиться. Еще мне нравиться Фадеев. Я всегда удивлялся: как математик может писать о физике лучше чем сами физики :)

Цитата:
Что за реакция?


Я читал (по моему в предисловии к "Фейнмановским лекциям по гравитации") об эпизоде с разочарованием Фейнмана Варшавской конференцией по гравитации 1962 года и его критикой докладов участников, среди которых был и Иваненко.

Цитата:
Не в курсе. А откуда там появляется эта динамика?


Локализация калибровочной инвариантности относительно подгруппы трансляций приводит к Эйнштейновской ОТО (после геометризации теории), а инвариантность относительно подгруппы Лоренца к динамике кручения. Подробней можно глянуть в третьей главе M Blagojevic Gravitation and gauge symmetries.

Цитата:
...а элемент объема $ dV=4 \pi r^2 dr $, из (1), (3)-(6) получаем : ...


C элементом объема не напутали?

Цитата:
...И псевдотензор эгергии-импульса в этом случае ведёт себя вполне прилично, позволяя определить интегральные сохраняющиеся величины, включая вектор 4-импульса и тензор 4-момента импульса...


Т.е. Вы можете показать все 10 законов сохранения для того же Шварцшильда? Даже с учетом того, что пространство Шварцшильда обладает кажись только 6 Киллинговыми векторами из 10?

Цитата:
Нет. Никаких сомнений нет. У вакуумного поля Тауба есть источник...


Возьмем момент времени $ t=\frac {t_{-}+t_{+}} {2} $. Где находится источник поля в этот момент?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2008, 09:01 
Заблокирован


26/03/07

2412
VladTK в сообщении #160401 писал(а):
Цитата:
Нет. Никаких сомнений нет. У вакуумного поля Тауба есть источник...


Возьмем момент времени $ t=\frac {t_{-}+t_{+}} {2} $. Где находится источник поля в этот момент?
Уже было отмечено, что точного топологического анализа пары метрика Тауба - многообразие скорее всего не проводилось. Но пространство, отвечающее приведенной метрике Тауба, лишь часть полного пространства. Т.е. метрика имеет расширение, в пространстве которого и лежит интересующий Вас источник. В интересующий Вас момент времени в данном куске пространства этот источник уже не проявляется (он был в $t_{-}$ и при $t\to -\infty$) и ещё не проявляется (он будет в $t_{+}$ и при $t\to\infty$). Где он находится? Очевидно, в пространственно-подобной области, данной метрикой не описываемой (надо её слегка преобразовать). Я этим не занимался. Если есть желание, можете сами попробовать попробовать.
VladTK в сообщении #160401 писал(а):
Цитата:
...а элемент объема $ dV=4 \pi r^2 dr $, из (1), (3)-(6) получаем : ...


C элементом объема не напутали?
Нет, всё в ажуре.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2008, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10856
pc20b писал(а):
epros в сообщении #160183 писал(а):
Нет, ущерб теории - это называть "гравитацией" объект, к силам тяготения прямого отношения не имеющий.
Извините, но это недоразумение - считать источником тяготения лишь ньютоновский потенциал $\varphi$. В ньютоновской механике ускорение частицы определяется градиентом этого потенциала, а относительное ускорение двух частиц, находящихся на расстоянии $Z^{\mu}$, вторыми производными ньютонова потенциала, $\varphi_{;\mu;\nu}Z^{\nu}$. В ОТО это относительное ускорение описывается уже с помощью тензора кривизны (Хокинг - Эллис 1977) :

$$ \varphi_{;\mu;\nu} \sim R_{\mu\alpha\nu\beta}u^{\alpha}u^{\beta}$$.

Я говорил не об "источнике тяготения" о самом тяготении. Не забывайте, что тяготение - это сила. Так всегда было и никто этого не отменял.

pc20b писал(а):
epros в сообщении #160183 писал(а):
В ОТО нет кручения.

Это лишь в одном из вариантов ОТО - с симметричной связностью. Но связность не обязательно согласована с метрикой. Тогда объект

$$S^{\alpha}_{\mu\nu} = \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\nu\mu}$$

называется тензором кручения (Хокинг-Эллис 1977). Получаем ОТО с кручением.

Я знаю что такое тензор кручения. Munin Вам правильно ответил, что кручение - это не вариант, а расширение ОТО.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2008, 12:36 
Заблокирован


26/03/07

2412
epros в сообщении #160467 писал(а):
кручение - это не вариант, а расширение ОТО.

Это ОТО 1919 г. Архаика. За истекшее время она немного подросла, и сейчас ОТО, объединенная идеей геометризации физических полей, включает в себя любые пространства - любых размерностей, сигнатур, связностей. (В принципе, и любых метризаций, скажем, финслерову геометрию тоже можно рассматривать в рамках ОТО).

Добавлено спустя 10 минут 25 секунд:

epros в сообщении #160467 писал(а):
pc20b писал(а):
epros в сообщении #160183 писал(а):
Нет, ущерб теории - это называть "гравитацией" объект, к силам тяготения прямого отношения не имеющий.
Извините, но это недоразумение - считать источником тяготения лишь ньютоновский потенциал $\varphi$. В ньютоновской механике ускорение частицы определяется градиентом этого потенциала, а относительное ускорение двух частиц, находящихся на расстоянии $Z^{\mu}$, вторыми производными ньютонова потенциала, $\varphi_{;\mu;\nu}Z^{\nu}$. В ОТО это относительное ускорение описывается уже с помощью тензора кривизны (Хокинг - Эллис 1977) :

$$ \varphi_{;\mu;\nu} \sim R_{\mu\alpha\nu\beta}u^{\alpha}u^{\beta}$$.

Я говорил не об "источнике тяготения" о самом тяготении. Не забывайте, что тяготение - это сила. Так всегда было и никто этого не отменял.
Это тоже архаика. Тяготеет всё (гравитационное взаимодействие носит фокусирующий характер). И силы все - гравитационные. Например, приливная сила в ньютоновом смысле :

$$f_{\mu}=\varphi_{;\mu;\nu}Z^{\nu}$$.

Она же в исполнении ОТО :

$$f_{\mu}=R_{\mu\alpha\nu\beta}u^{\alpha}u^{\beta}Z^{\nu}$$.

Т.о., источником любой "силы тяготения" является тензор кривизны.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2008, 12:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
VladTK в сообщении #160401 писал(а):
Т.е. Вы можете показать все 10 законов сохранения для того же Шварцшильда? Даже с учетом того, что пространство Шварцшильда обладает кажись только 6 Киллинговыми векторами из 10?


Речь ведь идёт об асимптотически плоской области. Там просто пространство Минковского с высокой точностью. Нужно ещё точнее - уходите ещё дальше в асимптотически плоскую область.

Требование рассматривать систему в асимптотически плоской области - это требование замкнутости системы, без чего энергия, импульс и момент импульса системы плохо определяются и в классической механике.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 177 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 12  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group