0,999...=1

[Утундрий]

Parkhomuk в сообщении #1602912 писал(а):

Еще в школе делали такое упражнение:
Пусть $x=0.(9)$, умножим левую и правую части на 10, тогда $10x=9.(9)$, затем отнимем из второго уравнения первое, получим $9x=9$, следовательно $x=1$, то есть $0.(9)=1$ доказано

Ну так, школьники же. А вот студентов ВУЗов учат делать то же самое, но более экономно. Путём умножения на один.

[Vladimir Pliassov]

wrest в сообщении #1602694 писал(а):

Вы уверенно идёте по стопам Зенона.

Но ведь он прав -- если смотреть на его апорию, которую мы разбираем, как на иносказание строго монотонной последовательности, имеющей конечный предел: она ведь не может его достичь?

1.

Если движение Ахиллеса это строго монотонная последовательность $x_n$ шагов:

$$x_n=1, \frac {1}{2}, \frac {1}{4}, \ldots \; , \frac {1}{2^{n-1}}$$

то имеем последовательность $S_n$ частичных сумм

$S_1=1$

$S_2=1+\frac {1}{2}$

$S_3=1+\frac {1}{2}+ \frac {1}{4}$

$\ldots$

$S_n=1+\frac {1}{2}+ \frac {1}{4}+\ldots+\frac {1}{2^{n-1}}$:

$$S_n=S_1, S_2, S_3, \ldots, S_n$$

пределом которой является $\chi \in \mathbb R$ (черепаха стоит на месте). (Обозначение $\chi$ происходит от греческого слова $\chi \varepsilon \lambda \omega \nu \alpha$ -- "черепаха".) $S_i$ это точки, на которые Ахиллес ставит ноги, начиная с первого шага. Предел $\chi$ равен $2$ и недостижим для Ахиллеса, потому что последовательность $S_n$ не включает в себя свой предел. Но заменим последовательность $S_n$, например, на последовательность

$$S'_n=2, S_1, 2, S_2, 2, S_3, \ldots, 2, S_n.$$

Эта последовательность включает в себя свой предел: член $2$ встречается в ней бесконечное число раз, другими словами, Ахиллес первым же (двухметровым) шагом наступает ногой на черепаху, потом отступает на один метр, опять наступает на нее, отступает на полметра и так далее.

Как я понимаю, единственная возможность для последовательности включать в себя свой предел -- во всяком случае, начиная с любого члена, -- это включать его в себя бесконечно много раз: если предел встречается в последовательности конечное число раз, то найдется член с таким номером, с которого предел уже не будет встречаться. Например, последовательность

$$0, 1, \frac {1}{2}, \frac {1}{3}, \frac {1}{4}\ldots$$

если брать ее с первого номера, включает в себя свой предел, но, начиная со второго номера, уже не включает.

Для монотонной -- но не строго -- последовательности есть такая возможность включать в себя свой предел: начиная с некоторого номера, один и тот же член повторяется без конца, например,

$$0,7; \;1,2; \; 1,6; \; 2; \; 2; \;2; \;\ldots$$

то есть Ахиллес в несколько шагов доходит до черепахи и потом прыгает на ней вечно. Тут уже нельзя сказать, что он ее не догнал.

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1603051 писал(а):

Ахиллес в несколько шагов доходит до черепахи и потом прыгает на ней вечно.

Скажите, а в чём ещё Вам нужна помощь?

[Vladimir Pliassov]

Geen в сообщении #1603052 писал(а):

Скажите, а в чём ещё Вам нужна помощь?

[tolstopuz]

Ахиллес догонит черепаху в тот момент времени, при подстановке которого в уравнения движения его и черепахи их координаты совпадут.

А сможет ли летописец, построчно записывающий их положения в какие-то моменты времени, записать их встречу, это уже проблема летописца. Не получится у одного - уволим и наймем другого.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1603055 писал(а):

Ахиллес догонит черепаху в тот момент времени, при подстановке которого в уравнения движения его и черепахи их координаты совпадут.

Лукомор в сообщении #1602663 писал(а):

и убеждаемся еще раз, что Ахиллес
настигнет черепаху, просто потому, что исходное расстояние между ними $= 100$ метров, а Ахиллес бежит с постоянной скоростью 10 метров в секунду. Вот ровно за 10 секунд и настигнет...

epros в сообщении #1602925 писал(а):

Вот Вы всё про время, а время в формулировке софизма вообще не упомянуто. То, что слово "никогда" следует интерпретировать с привлечением понятия времени, не очевидно.

Согласен.

Мне кажется, что одна и та же ситуация рассматривается здесь с двух разных точек зрения:

1) с точки зрения строго монотонной последовательности с конечным пределом, который не включается в число ее членов и потому не достижим,

2) и с точки зрения соотношения между расстоянием, временем и скоростью (для простоты возьмем постоянную)

$$v=\frac {s}{t}$$

по которому, зная две из трех величин, можно однозначно определить третью.

Пока мы смотрим на ситуацию с одной из этих двух точек зрения (все равно, с какой), все кристально ясно, но как только пытаемся смешивать их, все портится, и это не может быть иначе, потому что эти точки зрения в вопросе "достигнет или не достигнет?" исключают друг друга.

TOTAL в сообщении #1602740 писал(а):

Если Ахиллесов 2 штуки, то один из них точно догонит и перегонит черепаху.

Почему?

Утундрий в сообщении #1602745 писал(а):

Внезапно пришла мысль, а догонит ли Ахиллес себя?

Для того, чтобы догонять себя, ему надо сначала выйти из себя.

Red_Herring в сообщении #1602671 писал(а):

А вот идёте вы по дороге, и вас догоняет автомобиль. Вы будете рассуждать "а догонит ли он меня?" или отойдёте в сторону?

Я отойду в сторону (если ничто не помешает).

[TOTAL]

Vladimir Pliassov в сообщении #1603061 писал(а):

TOTAL в сообщении #1602740 писал(а):

Если Ахиллесов 2 штуки, то один из них точно догонит и перегонит черепаху.

Почему?

Потому, что пока второму Ахиллесу (он идёт в пяти метрах позади первого) будут пудрить мозги про то, как он очень близок к черепахе, но не догнал её, передовой Ахиллес уже покажет пятки этой вредной черепахе.

[Лукомор]

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1603061 писал(а):

но как только пытаемся смешивать их, все портится

...и наутро голова болит...

-- Сб июл 29, 2023 06:32:26 --

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1603061 писал(а):

Для того, чтобы догонять себя, ему надо сначала выйти из себя.

А чтобы догнать черепаху, ему надо сначала прийти в себя....

-- Сб июл 29, 2023 07:05:46 --

tolstopuz в сообщении #1603055 писал(а):

А сможет ли летописец, построчно записывающий их положения в какие-то моменты времени, записать их встречу, это уже проблема летописца. Не получится у одного - уволим и наймем другого.

У другого обязательно получится.
Он будет умнее, и добавит что-нибудь от себя.
Вместо 100 метров он положит первый отрезок, пройденный Ахиллесом, равным 101 метру.
За это же время черепаха проползет 10,1 метра, и окажется на отметке 110,1 метр.
Второй отрезок Ахиллеса составит те же 10,1 метра, а пройденный им путь 111,1 метр.
Второй отрезок черепахи, соответственно, - 1,01 метра, она достигнет отметки 111,11.
И заключительный, финальный, отрезок - те же 1,01 метра у Ахиллеса, всего 112,11 метров.
У черепахи же этот отрезок всего 0,101 метра, в сумме 111,211 метров.
И Ахиллес уже обогнал черепаху на 112,11-111,211=0,899 метра.
А если их не остановить, то Ахиллес достигнет отметки 112.(2) метра, а черепаха - 111,(2) метра.
Разница составит тот самый метр, на который мы перенесли конец первого отрезка, пройденного Ахиллесом....
Вот так, в три хода, Ахиллес уделывает черепаху.

Поскольку этот выбор разбиения на отрезки сугубо произвольный, а Азиллес и черепаха двигаются равномерно-прямолинейно, не подозревая о том, как нам вздумалось поделить пройденный ими путь на какие-то отрезки, а время на какие-то "моменты"...

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1603052 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1603051 писал(а):

Ахиллес в несколько шагов доходит до черепахи и потом прыгает на ней вечно.

Скажите, а в чём ещё Вам нужна помощь?

Принуждён отказать в участии в помощи - сексология не моя специальность...

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1603053 писал(а):

Geen в сообщении #1603052 писал(а):

Скажите, а в чём ещё Вам нужна помощь?

А ведь вопрос был вполне логичным для данного раздела.

Да, предел последовательности "недостижим" членами последовательности в смысле "за конечное количество шагов". И что? Понятие предела всё равно существует во вполне строгом математическом смысле. В каких ещё вопросах Вам нужно помочь разобраться?

[Евгений Машеров]

TOTAL в сообщении #1602740 писал(а):

Если Ахиллесов 2 штуки, то один из них точно догонит и перегонит черепаху.

Двое, но Ахиллес-Ἀχιλλεύς из них лишь один ($\alpha- $- отрицательная частица, "не-"). Другой Хиллес, и по хилости своей не только черепаху не догонит. Но пока он к оной меееееедленно приближается, могучий А-Хиллес её уже нехило обогнал.
(сорри что перевожу в юмористику, но тема не заслуживает быть чем-то большим, нежели повод для шуток).

[Doctor Boom]

Vladimir Pliassov в сообщении #1603051 писал(а):

Предел $\chi$ равен $2$ и недостижим для Ахиллеса, потому что последовательность $S_n$ не включает в себя свой предел.

Мне кажется

Vladimir Pliassov в сообщении #1603051 писал(а):

Если движение Ахиллеса это строго монотонная последовательность $x_n$ шагов:

$$x_n=1, \frac {1}{2}, \frac {1}{4}, \ldots \; , \frac {1}{2^{n-1}}$$

то имеем последовательность $S_n$ частичных сумм

тут есть небольшая концептуальная ошибка. Если определять движение Ахилесса через последовательность частичных сумм, то Ахиллес не догонит черепаху, т.к. состояние в момент времени $T$, по которому он должен догнать, не определено (а момент $T$ мы определяем исходя из вашего

Vladimir Pliassov в сообщении #1603061 писал(а):

и с точки зрения соотношения между расстоянием, временем и скоростью (для простоты возьмем постоянную)

$$v=\frac {s}{t}$$

потому что мы задаем множество положений Ахиллеса как члены этой последовательности.
Но если мы определим движение Ахиллеса как равномерное и непрерывное, по которому мы можем найти время встречи $T$, и теперь взглянем на это движение с точки зрения частичных сумм, то мы можем утверждать, что в момент времени $T$ Ахиллес догонит черепаху (т.к. пройдет расстояние, равное $2$). Потому что при $n \rightarrow \infty$ у нас $t \rightarrow T$ и $s \rightarrow S=2$, и движение непрерывно по определению.
Вот вам задачка. Пусть расстояние между Ахиллесом и черепахой определяется так - до момента встречи $T$, рассчитанной по простой формуле, и черепаха и Ахиллес движутся равномерно и непрерывно, с соответствующим сокращением расстояния между ними в сторону нуля при приближении к моменту времени $T$, а в момент времени $T$ расстояние между ними внезапно становится равным $2$, а они все останавливаются. Получается Ахиллес никогда не догонит черепаху, и рассуждения с суммированием ряда не работают. Почему?

[Vladimir Pliassov]

Doctor Boom в сообщении #1603136 писал(а):

Если определять движение Ахиллеса через последовательность частичных сумм, то Ахиллес не догонит черепаху ... потому что мы задаем множество положений Ахиллеса как члены этой последовательности.

Совершенно согласен, я это и говорю.

Doctor Boom в сообщении #1603136 писал(а):

Если определять движение Ахиллеса через последовательность частичных сумм, то Ахиллес не догонит черепаху, т.к. состояние в момент времени $T$, по которому он должен догнать, не определено ...

Снова согласен, но здесь надо разобраться. Вы говорите о состоянии (о положении) Ахиллеса и черепахи в момент времени $T$, но момент времени $T$ -- это из другой оперы, то есть из оперы

$$v=\frac {s}{t}$$

Зачем Вы упоминаете о нем в связи со сходящейся к конечному пределу строго монотонной последовательностью перемещений в пространстве? По-моему (то есть я даже уверен), относительно этой последовательности -- самой по себе -- время не определено, то есть оно здесь совсем ни при чем.

Повторюсь.

Мне кажется, что одна и та же ситуация рассматривается здесь с двух разных точек зрения:

1) с точки зрения строго монотонной последовательности с конечным пределом, который не включается в число ее членов и потому не достижим,

2) и с точки зрения соотношения между расстоянием, временем и скоростью (для простоты возьмем постоянную)

$$v=\frac {s}{t}$$

по которому, зная две из трех величин, можно однозначно определить третью.

Пока мы смотрим на ситуацию с одной из этих двух точек зрения (все равно, с какой), все кристально ясно, но как только пытаемся смешивать их, все портится, и это не может быть иначе, потому что эти точки зрения в вопросе "достигнет или не достигнет?" исключают друг друга.

Это именно то, что я стараюсь донести: не надо пытаться их смешивать! (Но, может быть, я не прав?)

Doctor Boom в сообщении #1603136 писал(а):

Но если мы определим движение Ахиллеса как равномерное и непрерывное, по которому мы можем найти время встречи $T$,

то есть определим его движение по формуле

$$v=\frac {s}{t}$$

Doctor Boom в сообщении #1603136 писал(а):

и теперь взглянем на это движение с точки зрения частичных сумм,

Вот здесь Вы пытаетесь смешивать.

Doctor Boom в сообщении #1603136 писал(а):

то мы можем утверждать, что в момент времени $T$ Ахиллес догонит черепаху (т.к. пройдет расстояние, равное $2$).

Да, мы можем это утверждать, но не с точки зрения частичных сумм, а просто потому что $s=vt$ (частичные суммы здесь совершенно ни при чем, согласны?).

Doctor Boom в сообщении #1603136 писал(а):

Вот вам задачка. Пусть расстояние между Ахиллесом и черепахой определяется так - до момента встречи $T$, рассчитанной по простой формуле, и черепаха и Ахиллес движутся равномерно и непрерывно, с соответствующим сокращением расстояния между ними в сторону нуля при приближении к моменту времени $T$, а в момент времени $T$ расстояние между ними внезапно становится равным $2$, а они все останавливаются. Получается Ахиллес никогда не догонит черепаху, и рассуждения с суммированием ряда не работают. Почему?

Если $T$ это момент встречи, то как в момент встречи расстояние между ними может быть $2$ метра?

Doctor Boom в сообщении #1603136 писал(а):

Потому что при $n \rightarrow \infty$ у нас $t \rightarrow T$ и $s \rightarrow S=2$, и движение непрерывно по определению.

Вот над этим мне надо еще как следует подумать.

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1603179 писал(а):

Это именно то, что я стараюсь донести: не надо пытаться их смешивать! (Но, может быть, я не прав?)

Мне нравится ход ваших мыслей и стойкость :)
Просто в человеческом языке слово "никогда" связано с временем, так мы мыслим. То что последовательность "никогда" не достигает предела -- это конечно не о времени.

[Doctor Boom]

Vladimir Pliassov в сообщении #1603179 писал(а):

но момент времени $T$ -- это из другой оперы, то есть из оперы

Его можно определить как предел моментов времени (супремум), если рассматривать с точки зрения частичных сумм

Vladimir Pliassov в сообщении #1603179 писал(а):

Зачем Вы упоминаете о нем в связи со сходящейся к конечному пределу строго монотонной последовательностью перемещений в пространстве?

Потому что оно является конечным пределом строго монотонной последовательности перемещений во времени

Vladimir Pliassov в сообщении #1603179 писал(а):

Пока мы смотрим на ситуацию с одной из этих двух точек зрения (все равно, с какой), все кристально ясно, но как только пытаемся смешивать их, все портится, и это не может быть иначе, потому что эти точки зрения в вопросе "достигнет или не достигнет?" исключают друг друга.

Это именно то, что я стараюсь донести: не надо пытаться их смешивать! (Но, может быть, я не прав?)

Не исключают, если добавить соображение непрерывности

Vladimir Pliassov в сообщении #1603179 писал(а):

Да, мы можем это утверждать, но не с точки зрения частичных сумм, а просто потому что $s=vt$ (частичные суммы здесь совершенно ни при чем, согласны?).

Нет, именно с помощью частичных сумм и соображений непрерывности

Vladimir Pliassov в сообщении #1603179 писал(а):

Если $T$ это момент встречи, то как в момент встречи расстояние между ними может быть $2$ метра?

А вот тут уже запутывает нашу интуицию равномерное движение) Собственно, в случае разрывной функции расстояния оно определяется так. Сначала расстояние между Ахилессом и черепахой уменьшается как при обычном равномерном движении (второй случай) до момента времени $T$ (который определяется из формулы), а в момент времени $T$ оно становится равным двум. Ну просто потому, что мы так можем задать разрывную функцию зависимости расстояния между бегунами от времени. Наша интуиция говорит нам, что расстояние между Ахиллесом и черепахой уменьшается сколь угодно мало и за конечное время должно обратится в ноль, а тут, бац, в самой последней точке оно сильно ненулевое. Тут уже легче понять с точки зрения первого случая - Ахиллес никогда не коснется черепахи до момента $T$, сколько близко бы он к ней не подходил, и в момент времени $T$ тоже не коснется, т.к. мы там задали ненулевое расстояние ручками

Vladimir Pliassov в сообщении #1603179 писал(а):

Вот над этим мне надо еще как следует подумать.

Подумайте, в этом вся суть