Ферма утверждал, что уравнение
не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.
Предположим, что такое решение существует
при
,
,
,
, где
,
,
- целые положительные взаимно простые числа и
, то есть
.
- целое нечётное
положительное число
1.1.
, где
- целое положительное число
, где
- целое положительное число.
1.2.
,
Перемножаем левые и правые части, получаем:
,
1.3.
,
(п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:
, следовательно,
.
2.1.1 функция
в точках
и
принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
, следовательно, между
и
существует точка ( назовем ее
, значение функции в которой равно
.
2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.
.
или
,
отсюда
или
.
Поскольку
,
,
-рациональное число.
3.1.1.Найдём критические точки функции
если
(при
и
3.1.1 Найдём точки перегиба функции
если
(при
) или
функция
является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения (
,
и
) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения (
,
и
).
Очевидно, что может существовать два варианта расположения
относительно
- точки перегиба функции (
и
и
два варианта расположения
,
,
,
относительно друг друга:
,
.
Рассмотрим случай существования двух точек перегибаПервый вариантПоскольку
-точка перегиба,
-целое число ,
- рациональное число.
.
не имеет общего делителя с
(Кроме возможных
и
),
и
не имеют общего делителя с
,
Поэтому этот вариант невозможен.
Второй вариант Поскольку
-точка перегиба,
.
- рациональное число.
,
Из равенства следует, что
-тоже рациональное число.
Но у нас
-рациональное число,
следовательно,
-рациональное число.
Отсюда
-рациональное число,
-рациональное число,
-рациональное число,
-рациональное число,
,
,
,
-рациональные числа.
,
Поскольку
, и
должно делиться на
,
должно быть целым числом, что невозможно, поскольку
,
и
,
,
- взаимно простые числа.
Мы пришли к противоречию, значит, этот вариант невозможен.
Рассмотрим случай существования одной точки перегиба (на примере
).
3.множество корней многочлена тождественно множеству корней соответствующего уравнения,
,
,
вариант
4.Выполним параллельный перенос и графика f(x) параллельно оси
.
Затем выполним параллельный перенос графика
параллельно оси
где
- точка перегиба функции
,
В результате этих двух последовательных параллельных переносов
получаем симметрию относительно
:
точка
симметрична точке
,
точка
симметрична точке
точка
симметрична точке
точка
симметрична точке
точка
симметрична точке
точка
симметрична точке
точка
симметрична точке
,
.
5.Выполним параллельный перенос и графика
параллельно оси
Получим точки
,
,
6.
,
,
.
, следовательно,
Аналогично
отсюда
7.
,
, следовательно
8.
,
;
.
Далее
,
,
.
Отсюда
- рациональное число,
- рациональное число.
9.
- рациональное число
,
, поскольку
не может быть целым числом,
следовательно
5.1.2.
- рациональное число.
аналогично
- рациональное число.
но у нас
- рациональное число.
- рациональное число,
,
- рациональное число, следовательно,
-рациональное число, следовательно,
,
,
- рациональные числа.
6.1.1
(4.1.3)
(5.1.1),
, следовательно,
-целое число, следовательно
должно иметь общий делитель с
, отличный от
. То есть, либо
, либо
( либо, и
, и
должны иметь общий делитель с
, отличный от
.
Но это невозможно, поскольку
,
,
,
и
- взаимно простые числа.
Вариант . Тогда
,
По аналогии с первым вариантом, этот вариант тоже невозможен.
Мы рассмотрели все возможные варианты и в каждом пришли к противоречию.
Значит, наше первоначальное предположение было ошибочно. уравнение
не имеет решений при
.
Теорема доказана.
PS:вариант с чётными степенями также доказывается этим методом