Кострикин. Курс алгебры, задачник

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1600425 писал(а):

решаются же с помощью определения, данного в приложении второй части обсуждаемого курса:

Но вы же его ещё не знаете Судя по предыдущим упражнениям, может имелось в виду, что для начала матрицу надо привести к диагональному виду (для а) или к жордановой нормальной форме (для б). Но это вы тоже ещё не проходили На крайняк можно отложить упражнение до лучших времён. Не знаю, что и посоветовать

P.S. Там скорее всего степени матрицы просто вычисляются. Так что я зря всё усложнил. Однако, тут всё равно нужно воспользоваться определением из второго тома, которое, как тут сказали, с изъяном (я пока не уловил, в чём там дело). Я вообще пока не нашёл, где там Кострикин определяет логарифм от матрицы.

[Sinoid]

svv в сообщении #1600442 писал(а):

обратите внимание на пункт в) упражнения 17.10, который не попал в задачник из-за технической ошибки:

Интересно-интересно. А где это вы скачали задачник, где такое написано? Или это у вас такая бумажная книга?

[svv]

Это был небольшой розыгрыш (можно заметить, что шрифт «упражнения» немного другой). Впрочем, ошибка в определении вполне реальная и влияет на ответ. И в чём же она?

[Sinoid]

мат-ламер в сообщении #1600444 писал(а):

Но вы же его ещё не знаете

уже знаю

А если серьезно

мат-ламер в сообщении #1600444 писал(а):

Судя по предыдущим упражнениям, может имелось в виду, что для начала матрицу надо привести к диагональному виду (для а) или к жордановой нормальной форме (для б). Но это вы тоже ещё не проходили На крайняк можно отложить упражнение до лучших времён. Не знаю, что и посоветовать

P.S. Там скорее всего степени матрицы просто вычисляются. Так что я зря всё усложнил. Однако, тут всё равно нужно воспользоваться определением из второго тома,

Да, я это понимаю. Пока просто, чтоб иметь общее представление, степени матрицы-то мне уже, слава Богу, по силам.

мат-ламер в сообщении #1600444 писал(а):

Я вообще пока не нашёл, где там Кострикин определяет логарифм от матрицы.

В приложении параграф 1, пункт 4:

в моем издании 2000г., как видно из скрина, это 302-я стр.

-- 10.07.2023, 01:35 --

svv в сообщении #1600448 писал(а):

Впрочем, ошибка в определении вполне реальная и влияет на ответ. И в чём же она?

по-моему, вижу. Там в скобках приведена формула $\sum_{k\geqslant0}A^{k}$. Это мне видится идущим в полный разрез с самим духом экспоненты, даже несмотря на то, что я сейчас представляю лишь в общих чертах, что такое нормированное пространство и совсем не представляю, что такое банахово да для меня это сейчас и непринципиально. Получается, исходя из общих соображений, что формула там должна быть такой: $\sum_{k\geqslant0}\dfrac{1}{k!}A^{k}$. Спасибо за замечание.

[svv]

Да, конечно!
Вы можете проверить это во множестве книг, и в Википедии (Матричная экспонента), но и без этого можно догадаться. Ведь квадратная матрица $A$ порядка $n$ — это тоже линейный оператор, действующий в $\mathbb R^n$ и отображающий вектор $v$ в вектор $Av$. И было бы очень странно, если бы экспонента матрицы как матрицы не совпадала с экспонентой матрицы как оператора. Ну, и много других соображений. Например, ряд без факториалов более чем часто будет расходиться (вычислите хотя бы экспоненту от $E$). И в случае матрицы порядка 1 с одним элементом $a_{11}=x$ это определение не стыкуется с рядом Тейлора для экспоненты $e^x$. В общем, странностей предостаточно, и все они исправляются дописыванием $\frac 1 {k!}$.

Sinoid в сообщении #1600449 писал(а):

Это мне видится идущим в полный разрез с самим духом экспоненты

Вот! И это прекрасно, что так видится.

[Sinoid]

Ну, а все-таки

Sinoid в сообщении #1600425 писал(а):

Скажите, а вот 17.11, б):

решается угадыванием или с помощью аналога формулы разложения в ряд функции $\ln(1+x)$,

??? Я, конечно, все равно попробую и с помощью ряда)). Просто интересно знать, это
или нет имелось автором ввиду.

[svv]

В 17.11,a предполагалось, что студент угадает результат на основе результата упражнения 17.10,а. Но потом проверит это с помощью ряда. В 17.11,б — только с помощью ряда. В обоих случаях лишь ненулевыми будут лишь конечное число членов ряда.

Я согласен с мат-ламер, что упражнения на матричный логарифм даются несколько преждевременно. Это штука не такая простая. Во-первых, если матрица вообще имеет логарифм, она имеет бесконечное число логарифмов. Например, для матрицы $E_2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ логарифмом будет матрица $2\pi n\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ при любом целом $n$.
Во-вторых, ряд
$\ln (E+A)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac {(-1)^{k+1}}k A^k$
может расходиться, при том, что логарифм всё-таки существует.

[Sinoid]

svv в сообщении #1600454 писал(а):

В 17.11,a предполагалось, что студент угадает результат на основе результата упражнения 17.10,а. Но потом проверит это с помощью ряда.

Я так и решил. Только я тогда еще не знал про применение рядов и при вычислении логарифма тоже.

svv в сообщении #1600454 писал(а):

В обоих случаях лишь ненулевыми будут лишь конечное число членов ряда.

Да, я так и понял, что фишка подобных задач в нильпотентности даваемых в условии матриц. Поэтому-то я и писал:

Sinoid в сообщении #1600425 писал(а):

В обеих буквах упражнения даны нильпотентные матрицы. На мой взгляд, это намек в пользу моего предположения о способе решения этих задач.

как оказалось, подобный финт используется и при вычислении логарифма тоже. В принципе, ничего удивительного здесь нет: что экспонента, что логарифм вычисляется через ряды. Так почему бы для получения конкретного результата как вариант не сделать эти ряды конечными? Спасибо большое за участие в обсуждении.

[Sinoid]

svv в сообщении #1600451 писал(а):

Например, ряд без факториалов более чем часто будет расходиться

Да, но и ряд без факториалов в том ошибочном виде для данного определяемого понятия, для определения которого он и написан в приведенном на скрине фрагмента книги, может определять вполне себе наполненный смыслом объект. Вспомним формулу для матрицы, обратной к матрице $E-A$, где $A$ - нильпотентная матрица. Так. Просто интересно. А в связи с чем нильпотентные матрицы начали вообще рассматриваться как матрицы, имеющие некоторое свойство, заслуживающее внимания: в связи с этой формулой или все-таки как матрицы, на примере которых можно демонстрировать, что экспонента или логарифм матрицы могут иметь вполне себе определенные значения?

[svv]

Sinoid в сообщении #1600538 писал(а):

Да, но и ряд без факториалов в том ошибочном виде для данного определяемого понятия, для определения которого он и написан в приведенном на скрине фрагмента книги, может определять вполне себе наполненный смыслом объект.

Согласен.

Sinoid в сообщении #1600538 писал(а):

на примере которых можно демонстрировать, что экспонента или логарифм матрицы могут иметь вполне себе определенные значения?

Но Вы, конечно, понимаете, что определённые значения имеют далеко не только те матричные ряды, у которых члены нулевые, начиная с некоторого. Просто в общем случае сумма ряда — это предел. Но и пределы во многих случаях вполне вычисляются.

Sinoid в сообщении #1600538 писал(а):

А в связи с чем нильпотентные матрицы начали вообще рассматриваться как матрицы, имеющие некоторое свойство, заслуживающее внимания

Они важны, например, при изучении структуры линейных операторов (оператор разлагается в сумму диагонализируемого оператора и нильпотента, аналогично квадратная матрица равна сумме некоторой диагонализируемой и нильпотентной). Или: корневое подпространство (важное понятие), отвечающее собственному значению $\lambda$ квадратной матрицы $A$, можно определить как максимальное подпространство, на котором оператор $A-\lambda E$ есть нильпотент.

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1600538 писал(а):

Просто интересно. А в связи с чем нильпотентные матрицы начали вообще рассматриваться как матрицы, имеющие некоторое свойство, заслуживающее внимания:

svv в сообщении #1600543 писал(а):

Они важны, например, при изучении структуры линейных операторов (оператор разлагается в сумму диагонализируемого оператора и нильпотента, аналогично квадратная матрица равна сумме некоторой диагонализируемой и нильпотентной).

Отсюда понятно, как возвести в произвольную степень любую матрицу. И это даёт намёк, как определить функцию от матриц.

Sinoid в сообщении #1600538 писал(а):

Вспомним формулу для матрицы, обратной к матрице $E-A$, где $A$ - нильпотентная матрица.

Тут ещё достаточно интересен вопрос, а для каких вообще матриц эта формула справедлива? Кострикин мог бы и поподробнее осветить этот вопрос.

[Утундрий]

мат-ламер в сообщении #1600553 писал(а):

Тут ещё достаточно интересен вопрос, а для каких вообще матриц эта формула справедлива?

Есть же конечное выражение через первые степени, справедливое для любой матрицы.

[svv]

Вспомнилось (см. в т.ч. оффтоп)

[Sinoid]

svv в сообщении #1600543 писал(а):

Но Вы, конечно, понимаете, что определённые значения имеют далеко не только те матричные ряды, у которых члены нулевые, начиная с некоторого.

Так это понятно.

svv в сообщении #1600543 писал(а):

Просто в общем случае сумма ряда — это предел. Но и пределы во многих случаях вполне вычисляются.

Вот-вот. Интересно было бы воочию увидеть пример такой матрицы хотя бы третьего порядка (матрица второго порядка будет менее интересна, хотя тоже взглянуть можно), у которой это реализуется. Я уверен, что такие примеры уже найдены и даже в достаточном количестве найдены, в том числе и среди матриц достаточно больших порядков. По возможности и сам пофантазирую, может быть.

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1600611 писал(а):

Вот-вот. Интересно было бы воочию увидеть пример такой матрицы хотя бы третьего порядка (матрица второго порядка будет менее интересна, хотя тоже взглянуть можно), у которой это реализуется

Не совсем понял вопрос. Что именно "это"? А если я понял, то для простоты вычислений возьмите матрицу третьего порядка, у которой на диагонали будут какие-то одинаковые не равные нулю числа. А два числа над диагональю $a(1,2)$ и $a(2,3)$ - две единицы. С такими матрицами проще вычислять. Попробуйте вычислить какую-нибудь функцию от такой матрицы с помощью бесконечного ряда. Кострикин доказывает, что ряд для экспоненты тут будет сходиться всегда (как впрочем и для любой другой матрицы).

-- Вт июл 11, 2023 20:57:47 --

Sinoid в сообщении #1600538 писал(а):

Вспомним формулу для матрицы, обратной к матрице $E-A$, где $A$ - нильпотентная матрица.

мат-ламер в сообщении #1600553 писал(а):

Тут ещё достаточно интересен вопрос, а для каких вообще матриц эта формула справедлива? Кострикин мог бы и поподробнее осветить этот вопрос.

Я имел в виду формулу $(E-A)^{-1}= \sum\limits_{n=0}^{\infty} A^n$ . Кострикин доказывает эту формулу для нильпотентных матриц и для матриц, у которых операторная норма меньше единицы. Однако в упражнениях после параграфа (первый параграф приложения к второму тому) тема находит своё развитие.