2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 ... 40  След.
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.07.2023, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7110
Sinoid в сообщении #1600425 писал(а):
решаются же с помощью определения, данного в приложении второй части обсуждаемого курса:

Но вы же его ещё не знаете :D Судя по предыдущим упражнениям, может имелось в виду, что для начала матрицу надо привести к диагональному виду (для а) или к жордановой нормальной форме (для б). Но это вы тоже ещё не проходили :-( На крайняк можно отложить упражнение до лучших времён. Не знаю, что и посоветовать :oops:

P.S. Там скорее всего степени матрицы просто вычисляются. Так что я зря всё усложнил. Однако, тут всё равно нужно воспользоваться определением из второго тома, которое, как тут сказали, с изъяном (я пока не уловил, в чём там дело). Я вообще пока не нашёл, где там Кострикин определяет логарифм от матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.07.2023, 23:53 


03/06/12
2872
svv в сообщении #1600442 писал(а):
обратите внимание на пункт в) упражнения 17.10, который не попал в задачник из-за технической ошибки:
Изображение

Интересно-интересно. А где это вы скачали задачник, где такое написано? Или это у вас такая бумажная книга?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.07.2023, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
:oops:
Это был небольшой розыгрыш (можно заметить, что шрифт «упражнения» немного другой). Впрочем, ошибка в определении вполне реальная и влияет на ответ. И в чём же она?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.07.2023, 00:10 


03/06/12
2872
мат-ламер в сообщении #1600444 писал(а):
Но вы же его ещё не знаете :D

уже знаю :D

А если серьезно
мат-ламер в сообщении #1600444 писал(а):
Судя по предыдущим упражнениям, может имелось в виду, что для начала матрицу надо привести к диагональному виду (для а) или к жордановой нормальной форме (для б). Но это вы тоже ещё не проходили :-( На крайняк можно отложить упражнение до лучших времён. Не знаю, что и посоветовать :oops:

P.S. Там скорее всего степени матрицы просто вычисляются. Так что я зря всё усложнил. Однако, тут всё равно нужно воспользоваться определением из второго тома,

Да, я это понимаю. Пока просто, чтоб иметь общее представление, степени матрицы-то мне уже, слава Богу, по силам.
мат-ламер в сообщении #1600444 писал(а):
Я вообще пока не нашёл, где там Кострикин определяет логарифм от матрицы.

В приложении параграф 1, пункт 4:
Изображение
в моем издании 2000г., как видно из скрина, это 302-я стр.

-- 10.07.2023, 01:35 --

svv в сообщении #1600448 писал(а):
Впрочем, ошибка в определении вполне реальная и влияет на ответ. И в чём же она?

по-моему, вижу. Там в скобках приведена формула $\sum_{k\geqslant0}A^{k}$. Это мне видится идущим в полный разрез с самим духом экспоненты, даже несмотря на то, что я сейчас представляю лишь в общих чертах, что такое нормированное пространство и совсем не представляю, что такое банахово да для меня это сейчас и непринципиально. Получается, исходя из общих соображений, что формула там должна быть такой: $\sum_{k\geqslant0}\dfrac{1}{k!}A^{k}$. Спасибо за замечание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.07.2023, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Да, конечно!
Вы можете проверить это во множестве книг, и в Википедии (Матричная экспонента), но и без этого можно догадаться. Ведь квадратная матрица $A$ порядка $n$ — это тоже линейный оператор, действующий в $\mathbb R^n$ и отображающий вектор $v$ в вектор $Av$. И было бы очень странно, если бы экспонента матрицы как матрицы не совпадала с экспонентой матрицы как оператора. Ну, и много других соображений. Например, ряд без факториалов более чем часто будет расходиться (вычислите хотя бы экспоненту от $E$). И в случае матрицы порядка 1 с одним элементом $a_{11}=x$ это определение не стыкуется с рядом Тейлора для экспоненты $e^x$. В общем, странностей предостаточно, и все они исправляются дописыванием $\frac 1 {k!}$. :-)
Sinoid в сообщении #1600449 писал(а):
Это мне видится идущим в полный разрез с самим духом экспоненты
Вот! И это прекрасно, что так видится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.07.2023, 01:14 


03/06/12
2872
Ну, а все-таки
Sinoid в сообщении #1600425 писал(а):
Скажите, а вот 17.11, б):
Изображение
решается угадыванием или с помощью аналога формулы разложения в ряд функции $\ln(1+x)$,

??? Я, конечно, все равно попробую и с помощью ряда)). Просто интересно знать, это
или нет имелось автором ввиду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.07.2023, 01:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
В 17.11,a предполагалось, что студент угадает результат на основе результата упражнения 17.10,а. Но потом проверит это с помощью ряда. В 17.11,б — только с помощью ряда. В обоих случаях лишь ненулевыми будут лишь конечное число членов ряда.

Я согласен с мат-ламер, что упражнения на матричный логарифм даются несколько преждевременно. Это штука не такая простая. Во-первых, если матрица вообще имеет логарифм, она имеет бесконечное число логарифмов. Например, для матрицы $E_2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ логарифмом будет матрица $2\pi n\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ при любом целом $n$.
Во-вторых, ряд
$\ln (E+A)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac {(-1)^{k+1}}k A^k$
может расходиться, при том, что логарифм всё-таки существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.07.2023, 04:34 


03/06/12
2872
svv в сообщении #1600454 писал(а):
В 17.11,a предполагалось, что студент угадает результат на основе результата упражнения 17.10,а. Но потом проверит это с помощью ряда.

Я так и решил. Только я тогда еще не знал про применение рядов и при вычислении логарифма тоже.
svv в сообщении #1600454 писал(а):
В обоих случаях лишь ненулевыми будут лишь конечное число членов ряда.

Да, я так и понял, что фишка подобных задач в нильпотентности даваемых в условии матриц. Поэтому-то я и писал:
Sinoid в сообщении #1600425 писал(а):
В обеих буквах упражнения даны нильпотентные матрицы. На мой взгляд, это намек в пользу моего предположения о способе решения этих задач.

как оказалось, подобный финт используется и при вычислении логарифма тоже. В принципе, ничего удивительного здесь нет: что экспонента, что логарифм вычисляется через ряды. Так почему бы для получения конкретного результата как вариант не сделать эти ряды конечными? Спасибо большое за участие в обсуждении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.07.2023, 23:25 


03/06/12
2872
svv в сообщении #1600451 писал(а):
Например, ряд без факториалов более чем часто будет расходиться

Да, но и ряд без факториалов в том ошибочном виде для данного определяемого понятия, для определения которого он и написан в приведенном на скрине фрагмента книги, может определять вполне себе наполненный смыслом объект. Вспомним формулу для матрицы, обратной к матрице $E-A$, где $A$ - нильпотентная матрица. Так. Просто интересно. А в связи с чем нильпотентные матрицы начали вообще рассматриваться как матрицы, имеющие некоторое свойство, заслуживающее внимания: в связи с этой формулой или все-таки как матрицы, на примере которых можно демонстрировать, что экспонента или логарифм матрицы могут иметь вполне себе определенные значения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение11.07.2023, 02:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1600538 писал(а):
Да, но и ряд без факториалов в том ошибочном виде для данного определяемого понятия, для определения которого он и написан в приведенном на скрине фрагмента книги, может определять вполне себе наполненный смыслом объект.
Согласен.
Sinoid в сообщении #1600538 писал(а):
на примере которых можно демонстрировать, что экспонента или логарифм матрицы могут иметь вполне себе определенные значения?
Но Вы, конечно, понимаете, что определённые значения имеют далеко не только те матричные ряды, у которых члены нулевые, начиная с некоторого. Просто в общем случае сумма ряда — это предел. Но и пределы во многих случаях вполне вычисляются.
Sinoid в сообщении #1600538 писал(а):
А в связи с чем нильпотентные матрицы начали вообще рассматриваться как матрицы, имеющие некоторое свойство, заслуживающее внимания
Они важны, например, при изучении структуры линейных операторов (оператор разлагается в сумму диагонализируемого оператора и нильпотента, аналогично квадратная матрица равна сумме некоторой диагонализируемой и нильпотентной). Или: корневое подпространство (важное понятие), отвечающее собственному значению $\lambda$ квадратной матрицы $A$, можно определить как максимальное подпространство, на котором оператор $A-\lambda E$ есть нильпотент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение11.07.2023, 09:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7110
Sinoid в сообщении #1600538 писал(а):
Просто интересно. А в связи с чем нильпотентные матрицы начали вообще рассматриваться как матрицы, имеющие некоторое свойство, заслуживающее внимания:

svv в сообщении #1600543 писал(а):
Они важны, например, при изучении структуры линейных операторов (оператор разлагается в сумму диагонализируемого оператора и нильпотента, аналогично квадратная матрица равна сумме некоторой диагонализируемой и нильпотентной).

Отсюда понятно, как возвести в произвольную степень любую матрицу. И это даёт намёк, как определить функцию от матриц.
Sinoid в сообщении #1600538 писал(а):
Вспомним формулу для матрицы, обратной к матрице $E-A$, где $A$ - нильпотентная матрица.

Тут ещё достаточно интересен вопрос, а для каких вообще матриц эта формула справедлива? Кострикин мог бы и поподробнее осветить этот вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение11.07.2023, 14:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12587
мат-ламер в сообщении #1600553 писал(а):
Тут ещё достаточно интересен вопрос, а для каких вообще матриц эта формула справедлива?
Есть же конечное выражение через первые степени, справедливое для любой матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение11.07.2023, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Вспомнилось (см. в т.ч. оффтоп)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение11.07.2023, 17:10 


03/06/12
2872
svv в сообщении #1600543 писал(а):
Но Вы, конечно, понимаете, что определённые значения имеют далеко не только те матричные ряды, у которых члены нулевые, начиная с некоторого.

Так это понятно.
svv в сообщении #1600543 писал(а):
Просто в общем случае сумма ряда — это предел. Но и пределы во многих случаях вполне вычисляются.

Вот-вот. Интересно было бы воочию увидеть пример такой матрицы хотя бы третьего порядка (матрица второго порядка будет менее интересна, хотя тоже взглянуть можно), у которой это реализуется. Я уверен, что такие примеры уже найдены и даже в достаточном количестве найдены, в том числе и среди матриц достаточно больших порядков. По возможности и сам пофантазирую, может быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение11.07.2023, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7110
Sinoid в сообщении #1600611 писал(а):
Вот-вот. Интересно было бы воочию увидеть пример такой матрицы хотя бы третьего порядка (матрица второго порядка будет менее интересна, хотя тоже взглянуть можно), у которой это реализуется

Не совсем понял вопрос. Что именно "это"? А если я понял, то для простоты вычислений возьмите матрицу третьего порядка, у которой на диагонали будут какие-то одинаковые не равные нулю числа. А два числа над диагональю $a(1,2)$ и $a(2,3)$ - две единицы. С такими матрицами проще вычислять. Попробуйте вычислить какую-нибудь функцию от такой матрицы с помощью бесконечного ряда. Кострикин доказывает, что ряд для экспоненты тут будет сходиться всегда (как впрочем и для любой другой матрицы).

-- Вт июл 11, 2023 20:57:47 --

Sinoid в сообщении #1600538 писал(а):
Вспомним формулу для матрицы, обратной к матрице $E-A$, где $A$ - нильпотентная матрица.

мат-ламер в сообщении #1600553 писал(а):
Тут ещё достаточно интересен вопрос, а для каких вообще матриц эта формула справедлива? Кострикин мог бы и поподробнее осветить этот вопрос.

Я имел в виду формулу $(E-A)^{-1}= \sum\limits_{n=0}^{\infty} A^n$ . Кострикин доказывает эту формулу для нильпотентных матриц и для матриц, у которых операторная норма меньше единицы. Однако в упражнениях после параграфа (первый параграф приложения к второму тому) тема находит своё развитие.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 595 ]  На страницу Пред.  1 ... 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 ... 40  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group