Степень суммы

[Alek]

Для доказательства ВТФ, предлагаю пользоваться правилами суммы квадратов, и квадрата суммы.
По правилам форума, докажем теорему дя степени три:

Примем в выражении из ВТФ, за меньшее слагаемое – первое из них, для единообразия наших рассуждений.

Теперь надо сделать разложение каждого слагаемого на сумму квадратов.
Таким образом, когда разложим выражение из теоремы Ферма, то перед нами окажутся:

-- первое слагаемое в виде суммы одних, одинаковых квадратов;
-- и второе слагаемое, в виде суммы больших, одинаковых квадратов;
-- и самих квадратов в нём – будет тоже больше, поскольку больше основание.

{Применительно к степени три, количество квадратов, всегда равно числу основания}

Количество квадратов, для переменных с одинаковым показателем, но разными основаниями – тем больше, чем больше основание степени.

Исходя из этого соотношения, ясно, что у результата в правой части выражения Ферма, если бы вдруг равенство было истинным –
могло быть только самое большое количество квадратов, поскольку основание там наибольшее.

Получив в левой части сумму двух сумм разных квадратов, у нас есть варианты подсчёта:

первый – сразу начать попарно складывать квадраты из разных слагаемых.
и второй – сложить вместе по два одинаковых квадрата отдельно в каждом слагаемом, и только затем – сложить получившиеся квадраты – из разных слагаемых;

Во втором варианте, для каждой суммируемой пары, согласно формулам квадрата суммы, – необходимы дополнительные два таких же квадрата.

В итоге, общее количество новеньких, больших квадратов в первом слагаемом, полученных в ходе суммирования – станет ровно в четыре раза меньше, чем было.
И во втором слагаемом – такая же история.

Дальнейшее сложение квадратов между собой в любом порядке – утратило всякий смысл.
Поскольку в результате – после знака равно, ожидалось самое большое количество, самых больших квадратов.

Количество квадратов в сумме, в левой части, при дальнейшем суммировании – не достигнет даже их числа, какое было изначально в наибольшем, втором слагаемом. Ибо стало их, гораздо меньше.
Но количество квадратов в правой части, должно быть (при равенстве) – больше, чем в наибольшем слагаемом, чего не происходит.

Тода первый вариант:

-- каждый квадрат первого слагаемого, суммируется с одним из квадратов второго слагаемого, попарно.
<и это – только для Пифагоровых троек, иначе – всё ещё печальнее, по слишком малому количеству квадратов, см. выше>.

-- поскольку в первом слагаемом – количество квадратов – заведомо меньше чем во втором слагаемом, то новых, больших квадратов, получится ровно столько, как и было в первом.

-- ну и незадействованных в сложении квадратов от второго слагаемого, останется сколько-то.

Здесь важно то, что общее количество всех квадратов в левой части после первого же суммирования, резко уменьшится, и станет ровно такое же, какое было во втором слагаемом, до всех операций сложения.

Разве что часть из них, стали большего размера, вследствие слияния квадратов из второго слагаемого, с уже исчезнувшими без следа квадратами первого.

И уже на этом этапе, дальнейшее суммирование, теряет всякий смысл, поскольку результат, после знака равно, недвусмысленно обязывает наличие самых больших квадратов – в количестве заведомо большем, чем было в самом большом слагаемом.

Все основные варианты суммы квадратов в левой части исчерпаны, а любая перегруппировка квадратов, изменение их величин и количеств слева, за счёт друг друга – результат увеличить не в состоянии, этого не даст сделать переместительный закон.

В итоге, после любых мыслимых перегруппировок единиц между слагаемыми, с целью получить «удобные», в том числе Пифагоровы числа, мы будем вынуждены строго придерживаться условия, приведя всё к стандарту:

-- слагаемых в левой части только два;
-- основания в выражении все разные, а показатели одинаковые.

После чего, вновь приходим к разложению на квадраты, суммированию, и – в самом идеальном варианте, получим число всех квадратов в левой части, равное числу квадратов наибольшего слагаемого, тогда как число квадратов в правой части – заведомо всегда больше. Именно поэтому, равенство в выражении теоремы, невозможно как для степени три, так и для любой другой степени.

[Dedekind]

На что только люди не идут, чтобы не учиться писать формулы:)

[Alek]

И не говорите))
Просто я ранее уже публиковал это на других ресурсах, с формулами, а сейчас подумал – и что предъявять общественности формулы 7 класса – разложение квадрата суммы, суммы квадратов, Пифагоровых троек, и разложение степени на сумму квадратов?
Ну вроде как слишком просто, решил не рисовать «бином Полишинеля»))

[Dedekind]

Вы же понимаете, что никто это читать и разбираться не будет?

[Alek]

Ну а вдруг будет? Раньше такое случалось))

[wrest]

Alek
Я правильно понял, что вы пишете о том, что любое натуральное число $n$ можно представить в виде суммы [квадратов] единиц $n=\sum \limits_{i=1}^{n} 1^2 $ и из этого как-то выводите теорему Ферма для 3 степени?

[Alek]

Если точно, то любое натуральное число с натуральным показателем*, представимо суммой квадратов.
Где основание каждого квадрата, равно этому числу.

[wrest]

Alek в сообщении #1598377 писал(а):

Если точно, то любое натуральное число с натуральным показателем*, представимо суммой квадратов.

Естественно, потому что любое натуральное число представимо в виде суммы [квадратов] единиц.

Alek в сообщении #1598377 писал(а):

Где основание каждого квадрата, равно этому числу.

Вот это в виде формулы напишите, если не трудно.

[Alek]

Пример:

$3^3 = 3^2 \cdot\ 3 = 3^2 + 3^2+ 3^2$

Сумма трёх квадратов, со стороной три каждый.

[Gagarin1968]

Alek
Вот это Ваш первый вывод:

Alek в сообщении #1598365 писал(а):

В итоге, общее количество новеньких, больших квадратов в первом слагаемом, полученных в ходе суммирования – станет ровно в четыре раза меньше, чем было.
И во втором слагаемом – такая же история.

А ниже - второй:

Alek в сообщении #1598365 писал(а):

-- поскольку в первом слагаемом – количество квадратов – заведомо меньше чем во втором слагаемом, то новых, больших квадратов, получится ровно столько, как и было в первом.

Это ни из чего не следует, это надо доказывать. Хотя я подозреваю, что это неверно. Контрпример в голову не лезет, но думаю, Вы и сами его найдёте.

[Alek]

Gagarin1968 в сообщении #1598382 писал(а):

Alek
Вот это Ваш первый вывод:

Alek в сообщении #1598365 писал(а):

В итоге, общее количество новеньких, больших квадратов в первом слагаемом, полученных в ходе суммирования – станет ровно в четыре раза меньше, чем было.
И во втором слагаемом – такая же история.

А ниже - второй:

Alek в сообщении #1598365 писал(а):

-- поскольку в первом слагаемом – количество квадратов – заведомо меньше чем во втором слагаемом, то новых, больших квадратов, получится ровно столько, как и было в первом.

Это ни из чего не следует, это надо доказывать. Хотя я подозреваю, что это неверно. Контрпример в голову не лезет, но думаю, Вы и сами его найдёте.

Касательно первого «..станет ровно в четыре раза меньше..»
Это из квадрата суммы.
Согласно разложению квадрата суммы $x^2 + 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2$, применительно к квадрату суммы одинаковых слагаемых, получаем: $x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$.

Что в свою очередь означает:
Для сложения двух одинаковых квадратов $x^2$, с целью плучить квадрат, им необходимо ещё два таҡих же.

[Нарисуйте квадрат допустим – в три клеточки« Тогда будет видно: чтобы образовать из таких* квадратов один, их* нужно ровно четыре шутки].

Соответственно, суммируя из четырёх одинаковых квадратов (из числа тех, на кои было разложено каждое слагаемое) – один большой квадрат, мы уменьшаем ҡоличество квадратов в слагаемом в четыре раза. Если слагаемое было нечётным, то останется один сиротливый незадействованый квадратик.
Что впрочем никак не изменит то, что и этот квадрат нужно будет потом сложить с квадратом из второго слагаемого))

Относительно «...то новых, больших квадратов, получится ровно столько, как и было в первом. >>>Это ни из чего не следует, это надо доказывать. »
В статье это оговорено. Квадраты суммируются попарно.
Из чего следует, что число квадратов из меньшего слагаемого, может быть сложено исключительно и только с таким же числом квадратов из большего слагаемого, Попарно))
Тут доказывать особо нечего, поскольку вещь очевидная. Попарное сложение, иных вариантов и не предусматривает.

Остаются незадействованные в этой итерации квадраты второго слагаемого, число которых, вместе с числом новообразованных квадратов, в точности равно количеству квадратов бо'льшего слагаемого, до всех суммирований.
Это так же в статье указано явным образом.

[mihaild]

Это невозможно читать, напишите формулы, в которых группировкой показано, что с чем Вы складываете.
Пока что понятно, что Вы записываете $\underbrace{x^2 + \ldots + x^2}_{x\text{ раз}} + \underbrace{y^2 + \ldots + y^2}_{y\text{ раз}} = \underbrace{z^2 + \ldots + z^2}_{z\text{ раз}}$.
Что происходит дальше - непонятно. Создается впечатление, что в итоге Вы доказываете, что при $x < y < z$ будет $x^3 + y^3 < z^3$, но это очевидно неправда.

[wrest]

Alek в сообщении #1598381 писал(а):

Сумма трёх квадратов, со стороной три каждый.

А, ок, то есть под "разложением куба на квадраты" вы понимаете следующее: $n^3=\sum \limits_{i=1}^{n}n^2$

Alek в сообщении #1598365 писал(а):

Применительно к степени три, количество квадратов, всегда равно числу основания}

"Количество квадратов" может быть и меньше, если раскладывать по-другому, например: $5^3=2^2+11^2$

[Alek]

Складываю квадраты.
В случае, когда сначала попарно суммируются одинаковые квадраты в каждом из слагаемых, то самих квадратов в них, становится минимум в четыре раза меньше, чем было, по формуле квадрата суммы, разъяснение этого в предыдущем комментарии.

В случае, когда попарно суммируются квадраты из разных слагаемых, то каждая пара, образует бо'льший квадрат.
Обратите внимание:
при этом, абсолютно все квадраты из меньшего слагаемого, «исчезают», поскольку сливаются с таким же количеством квадратов из второго слагаемого: $ x^2 + y^2 = z^2$...$ x^2 + y^2 = z^2$...$ x^2 + y^2 = z^2$...

Поскольку в меньшем слагаемом квадратов было меньше, то от второго слагаемого, остаётся некоторое количество незадействованных в суммировании квадратов, $y^2$.

Разумеется, после вышеуказанной первой (!) итерации суммирования, общее число всех квадратов в левой части выражения,, становится меньше, и теперь в точности равно количеству квадратов, сколько их было во втором слагаемом до всех операций сложения. Ибо количества квадратов из первого слагаемого, больше нет ни одного.

Между тем, из условия теоремы однозначно следует, что количество квадратов в правой части выражения (не вся числовая сумма!), обязано быть больше, чем количество квадратов в наибольшем слагаемом.
Потому что у результата, наибольшее основание степени.
А основание степени, прямо определяет количество квадратов.

Пример:

$3^3 = 3^2 \cdot\ 3 = 3^2 + 3^2 + 3^2$: три квадрата со стороной три каждый;
$4^3 = 4^2 \cdot\ 4 = 4^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2 $: четыре квадрата со стороной четыре;
$5^3 = 5^2 \cdot\ 5 = 5^2 + 5^2 + 5^2 + 5^2 + 5^2 $: пять квадратов со стороной пять.

Поэтому приходим к тому, что при любых вариантах сложения квадратов слева, их там окажется максимум – столько же, сколько и было в наибольшем слагаемом.
Но согласно условию, число квадратов справа, должно быть больше, чем число квадратов в наибольшем слагаемом.

Поскольку такое несоответствие неустранимо, то равенство выражения невозможно для любой степени.

-- 21.06.2023, 19:26 --

wrest в сообщении #1598392 писал(а):

Alek в сообщении #1598381 писал(а):

Сумма трёх квадратов, со стороной три каждый.

А, ок, то есть под "разложением куба на квадраты" вы понимаете следующее: $n^3=\sum \limits_{i=1}^{n}n^2$

Alek в сообщении #1598365 писал(а):

Применительно к степени три, количество квадратов, всегда равно числу основания}

"Количество квадратов" может быть и меньше, если раскладывать по-другому, например: $5^3=2^2+11^2$

Квадраты одинаковые))
Нет смысла раскладывать слагаемое на квадраты с разными основаниями. Переместительный закон, не даст вздохнуть свободно, ибо в окончательном результате – всё равно одно единственное основание, в той же степени. (Если док. от противного).
Как не комбинируй, всё так же придём к сумме двух слагаемых, или сумме сумм одинаковых квадратов.
Причём расклад на квадраты с разными основаниями, удлиннит цепочку вычислений, но результат не изменит))

[mihaild]

Alek, давайте с самого начала, по шагам и максимально подробно.
Вот у нас есть равенство $\underbrace{x^2 + \ldots + x^2}_{x\text{ раз}} + \underbrace{y^2 + \ldots + y^2}_{y\text{ раз}} = \underbrace{z^2 + \ldots + z^2}_{z\text{ раз}}$ - это так?
Если да, то дальше Вы пытаетесь как-то сгруппировать в нём слагаемые - это так?
Если да, то каким конкретно образом Вы их группируете?
(на группировке, если она правда происходит, предлагаю пока остановиться, если с ней всё будет понятно, то поедем дальше)