Природа натуральных чисел

[zykov]

epros в сообщении #1595126 писал(а):

Я таких слов не вижу, так что это только интерпретация.

Нет, это контекст.
В данном случае общекультурный.
Для человеческого языка подразумеваемый контекст - стандартная вещь.
Никто и не ожидает от человеческого языка, чтобы каждая фраза была строго логически однозначной.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1595126 писал(а):

Вообще-то синтаксис это такая вещь, которая позволяет под словом "горшок" подразумевать что угодно, лишь бы не было явно сказано

В формальных дедуктивных системах да. Но для этого нужно явно ввести формальную теорию, ее грамматику, аксиомы, правила вывода, метатеорию и все в таком духе. Если имелось в виду это, то тогда и "критик", и "критикует" может значить что угодно и вопрос теряет смысл. А догадаться до этого без явного указания невозможно.

Anton_Peplov в сообщении #1595124 писал(а):

Ну давайте попробуем фразу "некоторые описания описывают только друг друга".

Так ведь тоже не математический объект.

Я понимаю эту фразу так. Берем некоторый язык (т.е. алфавит + грамматику). $T$ - множество текстов. С каждым таким текстом связываем некоторое множество объектов (интерпретация: текст описывает множество объектов). В этом универсуме объектов есть собственно сами тексты из $T$. Спрашивается, существует ли такое подмножество $S \subset T$, что каждый текст $s \in S$ описывает разве что объекты, принадлежащие $T$ (т.е. множество, связанное с каждым $s \in S$, является подмножеством множества $T$).

Я просто не очень понимаю, зачем все это. Гораздо интереснее распаковывать таким образом математические вещи.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1595127 писал(а):

Я не встречал в математике утверждений о никак не определенном множестве

Да ладно. В математике все аксиоматики начинаются с того, что ничего не определено, ибо их смысл в том и состоит, чтобы что-то определить. Например, утверждения, определяющие понятие "группа": группа - это множество ... Какое? А узнаем мы это только после того, как прочитаем формулировки аксиом группы.

EminentVictorians в сообщении #1595127 писал(а):

Даже если ни одного такого критика нету, подойдет $\varnothing$

Там есть специальная часть формулы, исключающая случай пустого множества, ибо в противном случае формула была бы тривиальной тавтологией. Кстати, там есть и часть формулы, исключающая случай, когда в множество входят вообще все критики.

EminentVictorians в сообщении #1595127 писал(а):

Для этого мне нужно четкое определение кто такие критики и что значит восхищаться.

Дать "чёткое определение" - это значит добавить к формуле ещё что-то. Зачем? Формула самодостаточна. А если начнёте добавлять, так можете никогда и не остановиться.

EminentVictorians в сообщении #1595127 писал(а):

Как видите, я все равно квантифицирую не в пустоту, а по какому-то множеству ($K$).

Да на здоровье, это называется интерпретацией. Можете интерпретировать как угодно. Даже можете интерпретировать "критиков" как "ёжиков", а "восхищаться" как "фыркать на", несмотря на "общечеловеческий контекст", о котором говорит zykov.

Но, повторю ещё раз: интерпретация получается интересной, если "множество критиков" окажется бесконечным. Тогда существование некоего его подмножества может оказаться весьма нетривиальным и по-сути никак не проверяемым фактом (типа существования чайника Рассела, только ещё хуже).

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1595154 писал(а):

Например, утверждения, определяющие понятие "группа": группа - это множество ... Какое? А узнаем мы это только после того, как прочитаем формулировки аксиом группы.

Так здесь как раз есть аксиомы. Есть хоть что-то, с чем можно работать. У Вас же просто "множество критиков" без единой аксиомы. Ну, возможно, с бинарным отношением "критиковать". Я не понимаю, как можно делать какие-то выводы в такой неопределенной ситуации.

epros в сообщении #1595154 писал(а):

Даже можете интерпретировать "критиков" как "ёжиков", а "восхищаться" как "фыркать на"

Ну да, я об этом и говорил. Я правда не понимаю, что с этими критиками не так. Если Вы спрашиваете про истинность или ложность некоторой формулы, то нужна модель. Если Вы спрашиваете про выводимость, то нужна формальная система.

-- 24.05.2023, 20:49 --

epros, я просто уже немного потерял нить разговора. Можете прямо сформулировать тезис, который Вы отстаиваете?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1595145 писал(а):

В формальных дедуктивных системах да. Но для этого нужно явно ввести формальную теорию, ее грамматику, аксиомы, правила вывода, метатеорию и все в таком духе. Если имелось в виду это, то тогда и "критик", и "критикует" может значить что угодно и вопрос теряет смысл. А догадаться до этого без явного указания невозможно.

Так ведь нет другого пути. Ибо "неформальные" и прочие "естественные" системы отличаются только:
1) Меньшими требованиями к строгости и однозначности формулировок. Типа, если кто-то не понял, так мы завсегда готовы уточнить.
2) Достаточно нестрого определённым контекстом, навешанным на каждый употребляемый термин. Типа, если уж сказали "трамвай", то это именно трамвай, а не автобус и даже не конка. А может быть даже и конкретно такой тип трамвая, который ходит у нас под окнами.

Формальные системы не могут себе позволить столько много неопределённости. Поэтому и всякий там "контекст" они должны оговаривать в явном виде, после чего он перестаёт быть "контекстом", а становится частью аксиоматики.

-- Ср май 24, 2023 22:07:13 --

EminentVictorians в сообщении #1595160 писал(а):

У Вас же просто "множество критиков" без единой аксиомы.

Дык, сама формула - и есть та аксиома, которая определяет всё то, что нам нужно.

EminentVictorians в сообщении #1595160 писал(а):

Я правда не понимаю, что с этими критиками не так.

С критиками всё так. Не так что-то с предикатными переменными и их квантификацией, которые Вы полагаете большим достижением сравнительно с логикой первого порядка. А я их полагаю скорее недоразумением (без которого, к сожалению, иногда никак не обойтись).

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1595166 писал(а):

Не так что-то с предикатными переменными и их квантификацией, которые Вы полагаете большим достижением сравнительно с логикой первого порядка.

Если честно, я и сам не знаю, как к ним относиться. Если есть теория множеств, зачем тогда кванторы по предикатам? Я был немножко в неправильном состоянии сознания, когда говорил про важность квантификации по предикатам))

Давайте я более внятно скажу, что я имел в виду (точнее даже не имел в виду, а просто ощущал).

Возьмем $PA^2$ (арифметику Пеано второго порядка). Там есть 2 вещи: аксиома индукции и схема аксиом свертки. Казалось бы, она должна быть про натуральные числа. Но в действительности мы можем говорить в этой теории про очень многие вещи (включая, например, вещественные числа). Разумеется, про все вещественные числа говорить не получится (т.к. формул счетное число), но про многие из них и даже про многие из их совокупностей можно. Похоже, что можно говорить даже о непрерывных функциях и многих теоремах анализа. Но, насколько я понял, не о всех (например не получится говорить о теореме Кантора-Бенедиксона; формальное обоснование я не знаю, но это прекрасно ложится на мою интуицию - очевидно, что $PA^2$ - это про счетность, а тут слишком сложные подмножества получаются). Так вот, дает ли эта $PA^2$ что-то большее по сравнению с $PA^1$? Видимо дает, причем много. Если я все правильно понял, то $PA^2$ эквивалентна ZF без аксиомы бесконечности и с ее отрицанием.

Собственно, мне нравится эта теория. Я даже верю в ее непротиворечивость (не по модулю ZF, а "вообще"). И я совсем не вижу проблем, связанных с квантификацией второго порядка. Когда я говорил, что мне нравится квантификация второго порядка, то я думал про эту теорию, а не вообще.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1595174 писал(а):

и схема аксиом свертки.

Что Вы имеете в виду? Насколько я знаю, в арифметике Пеано 2 порядка нет никаких схем. Её аксиоматика ничем не отличается от аксиоматики арифметики Пеано 1 порядка, причём схема индукции 1 порядка автоматически проглатывается одной аксиомой индукции 2 порядка.

EminentVictorians в сообщении #1595174 писал(а):

Так вот, дает ли эта $PA^2$ что-то большее по сравнению с $PA^1$?

А как же! Как минимум, она доказывает теорему Гудстейна, которая недоказуема в арифметике Пеано 1 порядка. Как Вы думаете, что должно появиться нового в цепочке вывода, чтобы это могло произойти, с учётом того, что в аксиоматике ничего нового не появилось?

EminentVictorians в сообщении #1595174 писал(а):

И я совсем не вижу проблем, связанных с квантификацией второго порядка. Когда я говорил, что мне нравится квантификация второго порядка, то я думал про эту теорию, а не вообще.

Ну, это не то чтобы "проблемы", но логика второго порядка явно слишком много на себя берёт, выходя за рамки того, в чём заключается предназначение нормальной логики.

В частности, она без всякой прикладной аксиоматики доказывает существование кучи различных "множеств", включая бесконечные. А ведь это заведомо фантастические, воображаемые объекты, продукты нашего разума. Никакой объективности в утверждении об их существовании нет и быть не может. Отсюда какой вывод? Логика 2 порядка нас обманывает.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1595229 писал(а):

Что Вы имеете в виду?

$\exists X \forall x (X(x) \leftrightarrow \varphi (x))$ для всех формул $\varphi$ записанных в ее языке (т.е. включая те, которые имеют кванторы по большим переменным).

epros в сообщении #1595229 писал(а):

В частности, она без всякой прикладной аксиоматики доказывает существование кучи различных "множеств", включая бесконечные.

Так это же естественно. Натуральных чисел достаточно, чтобы закодировать и целые, и рациональные, многие вещественные числа и непрерывные функции (т.к. они определяются значениями на рациональных) и тому подобное. Мне наоборот это нравится.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1595240 писал(а):

$\exists X \forall x (X(x) \leftrightarrow \varphi (x))$ для всех формул $\varphi$ записанных в ее языке (т.е. включая те, которые имеют кванторы по большим переменным).

Это не прикладная аксиома, а доказуемое в логике 2 порядка общезначимое утверждение. Кстати, если подставить вместо формулы $\varphi$ тождественно ложное выражение, то получим утверждение о существовании пустого множества. О чём я и говорил: логика 2 порядка доказывает существование заведомо воображаемых сущностей.

EminentVictorians в сообщении #1595240 писал(а):

epros в сообщении #1595229 писал(а):

В частности, она без всякой прикладной аксиоматики доказывает существование кучи различных "множеств", включая бесконечные.

Так это же естественно. Натуральных чисел достаточно, чтобы закодировать и целые, и рациональные, многие вещественные числа и непрерывные функции (т.к. они определяются значениями на рациональных) и тому подобное. Мне наоборот это нравится.

Ну, я уже заметил, что Вы здесь пропагандировали Платоновский мир абсолютных истин. А я как-то привык самостоятельно определять истины.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1595251 писал(а):

Это не прикладная аксиома, а доказуемое в логике 2 порядка общезначимое утверждение.

Я думал, что если взять ее + аксиому индукции, то и получится $PA^2$ (или эквивалентная формализация). Может и ошибаюсь.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1595252 писал(а):

epros в сообщении #1595251 писал(а):

Это не прикладная аксиома, а доказуемое в логике 2 порядка общезначимое утверждение.

Я думал, что если взять ее + аксиому индукции, то и получится $PA^2$ (или эквивалентная формализация). Может и ошибаюсь.

Ни её, ни аксиому индукции специально брать (т.е. добавлять в аксиоматику) не нужно. Это утверждение, как я уже говорил, и так является общезначимым.

А что касается индукции, то в аксиоматике Пеано 1 порядка уже была схема индукции "для любой формулы $\varphi$". Нужно просто в качестве одной из "любых формул" подставить $Xx$. В результате этого получим формулу со свободной предикатной переменной $X$, на которой в силу правила обобщения второго порядка автоматически появляется квантор всеобщности. В конечном итоге всех этих манипуляций выводится та самая "аксиома индукции второго порядка".

[mihaild]

epros в сообщении #1595062 писал(а):

Вот здесь
приведён классический пример простого утверждения естественного языка, невыразимого в логике первого порядка: "Some critics admire only one another" ("Некоторые критики восхищаются только друг другом").

Это утверждение, а не рассуждение.
Правильный вопрос, видимо, такой - можно ли привести пример утверждения первого порядка (потому что нечестно спрашивать теорию первого порядка об утверждениях на неизвестном ей языке), которое доказуемо в какой-то "разумной" дедуктивной системе второго порядка, но не доказуемо в ZF?

[epros]

mihaild в сообщении #1595272 писал(а):

Правильный вопрос, видимо, такой - можно ли привести пример утверждения первого порядка (потому что нечестно спрашивать теорию первого порядка об утверждениях на неизвестном ей языке), которое доказуемо в какой-то "разумной" дедуктивной системе второго порядка, но не доказуемо в ZF?

Хм, в такой постановке задача становится реально сложной. С учётом того, что proof-theoretic ordinal неизестен ни для арифметики Пеано второго порядка, ни для ZF. Думаю, никто её сейчас не решит.

А вот попросить объяснить, за счёт чего арифметика Пеано 2 порядка ухитряется доказать теорему Гудстейна, и почему этого не может арифметика Пеано 1 порядка, было бы интересно. И, кажется, я где-то выше уже это сделал.

[EminentVictorians]

epros, я похоже совсем чуть-чуть в свертке ошибся. Там не совсем любая формула $\varphi$. Надо, чтобы она не содержала $X$ в качестве свободной, как я понял. Посмотрите тут. Вот цитата:

Цитата:

The formal theory of second-order arithmetic (in the language of second-order arithmetic) consists of the basic axioms, the comprehension axiom for every formula φ (arithmetic or otherwise), and the second-order induction axiom.

"the comprehension axiom for every formula φ" - это она и есть. Я просто на память писал, забыл про это дополнительное условие.

А так, ну даже если мы забудем про это доп. условие. Формула, грубо говоря, сможет определить пустое множество. Я как-то не очень понимаю, почему это запрещено.

-- 25.05.2023, 15:57 --

И как-то больно круто выглядит, что она общезначимая...

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1595302 писал(а):

epros, я похоже совсем чуть-чуть в свертке ошибся. Там не совсем любая формула $\varphi$. Надо, чтобы она не содержала $X$ в качестве свободной, как я понял.

Да, я в курсе, просто не стал заострять на этом внимание, как на не относящемся к делу.

Дело в том, что в исчислении предикатов есть правило для замены утвержения о конкретном $x$ утверждением о "существовании такого $x$, что...". В исчислении предикатов второго порядка есть аналогичное правило и для предикатной переменной ($X$). С помощью этого правила как раз выводится это утверждение. Если при выводе формула, в которой производится замена, будет содержать свободную предикатную переменную $X$, то эта переменная тоже заменится и ничего интересного не получится. А вот если не будет содержать, то выведется это самое утверждение - "аксиома свёртки".

Так что да, это утверждение - общезначимое, но только для $\varphi$, не содержащих свободной переменной $X$.

В той статье Википедии про арифметику второго порядка, которую Вы цитируете, есть некоторая некорректность, заключающаяся в том, что они пытаются описать аксиоматику теории отдельно от того, что уже есть в логике. На самом же деле арифметика второго порядка - это та же арифметика первого порядка, только в логике второго порядка.

EminentVictorians в сообщении #1595302 писал(а):

А так, ну даже если мы забудем про это доп. условие. Формула, грубо говоря, сможет определить пустое множество. Я как-то не очень понимаю, почему это запрещено.

Это дополнительное условие никак не помешает вывести утверждение о существовании пустого множества.

EminentVictorians в сообщении #1595302 писал(а):

И как-то больно круто выглядит, что она общезначимая...

Ну, дык, это логика второго порядка. Вот она такая.