Учебники элементарной геометрии

[GAA]

В Геометрии, 1983 Погорелов вслед за Гильбертом вводит аксиомы порядка (которые и описывают неопределяемое понятие «лежать между») и уже затем аксиому меры для отрезков и углов. Кромке этого уже более аккуратно, чем в школьном курсе формулируется:

Цитата:

Основными понятиями в нашем изложении будут точка, прямая и плоскость, отношение принадлежности для точек, прямых и плоскостей, выражаемое словом «принадлежать», отношение порядка для точек на прямой, выражаемое словами «лежать между», «длина» для отрезков и «градусная мера» для углов. Эти понятия не определяются и все, что о них предполагается известным, выражается аксиомами.

[vpb]

GAA в сообщении #1593611 писал(а):

Можно, конечно, придраться к тому, что первым же предложением даётся «определение» стереометрии.

Боже упаси.

GAA в сообщении #1593568 писал(а):

строить вещественные числа

Да бог с ними. Считаем, что они даны.

GAA в сообщении #1593568 писал(а):

любой своей внутренней точкой.»

мелкая неточность, да.

Anton_Peplov в сообщении #1593555 писал(а):

Прочитал бы ее на заборе - сослался бы на забор.

Тут, по-моему, вы чуток душой кривите. Как я уже писал, на заборы ссылаться в сколько-то серьёзном разговоре не принято. Даже не просто не принято, а люди специально этого избегают, потому что это роняет их собственный авторитет.

Anton_Peplov в сообщении #1593555 писал(а):

Извините, если что-то не так сказал.

Хорошо, будем считать конфликт исчерпанным.

Mikhail_K в сообщении #1593552 писал(а):

а) Каждому отрезку (фактически, каждой неупорядоченной паре различных точек) ставится в соответствие число, большее нуля, называемое длиной этого отрезка;

Да, это понятно. В первом предложении аксиомы это фактически и написано, в других словах.

Mikhail_K в сообщении #1593552 писал(а):

Тогда длина $AB$ равна сумме длин $AC$ и $BC$.

А вот это непонятно. В Погорелове написано что-то совсем другое. Можете пояснить ?

[GAA]

vpb в сообщении #1593645 писал(а):

В Погорелове написано что-то совсем другое.

Так сразу ниже AIII у Погорелова приведено пояснение:

Цитата:

Это означает, что если на отрезке AB взять любую точку C, то длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и BC.

Т.е., видимо у Погорелова принято: если есть точки A, B, то точка C не совпадает c A и B. Явно в тексте это не указано, но из текста следует. На фоне остальных недостатков как-то не особо понятно нужно ли формальное доказательство эквивалентности второй части AIII и указанного выше утверждения. И вообще, в учебнике ничего о доказательствах / правилах вывода не рассказано. Учащийся просто на веру примет, что таков смысл [второй части] AIII.

-- Fri 12.05.2023 17:32:52 --

Перед формулировкой аксиомы III идёт неформальный текст о сумме длин отрезков. «...Длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и BC.» Это наводит на мысль, что отрезок «разбивается любой своей [внутренней] точкой», назовём её $C$, на два отрезка: $AC$ и $CB$.

-- Fri 12.05.2023 17:58:19 --

vpb в сообщении #1593550 писал(а):

Если кто считает, что в Погорелове всё в порядке, пусть разъяснит мне смысл этого утверждения, никак не опираясь на наглядность.

Естественно, это невозможно. Поскольку «лежать между», «разбивать» требуют аксиом порядка, которые в учебнике для 7—9 классов опущены.

[vpb]

GAA в сообщении #1593652 писал(а):

Естественно, это невозможно. Поскольку «лежать между», «разбивать» требуют аксиом порядка, которые в учебнике для 7—9 классов опущены.

Совершенно верно. И таких мест в Погорелове много. Это показывает, что пожелание "доказывать всё" имеет очень условный характер, чему Погорелов один из примеров.

[GAA]

Mihr в сообщении #1592929 писал(а):

Это может быть рекомендацией лишь для школьника

На мой взгляд, пожелание "доказывать всё" плохо именно для школьников (авторы на такое не обращают внимание). Когда я учил в школе планиметрию (не по Погорелову) мне многое в учебнике было непонятно. Отец предложил изучать по книге
Дьедоне А. Евклидова планиметрия. — М.: Наука, 1978. (Со слов Колмогорова — строгость соответствует стандарту строгости сложившемуся в начале 20 века, см. Предисловие редактора перевода.)
(Увы, эта книга очень трудна для 8 класса, а в 9–10 у меня была стереометрия.)

По поводу «как быть автору?» По мнению людей, которым я доверяю, работа должна быть полезной, а не строгой. Работа должна порождать дальнейшие исследования. Книга Гильберт Д. Основания геометрии, 1948 как раз пример такой работы. Во вступительной к книге статье П.К. Рашевского, это отмечается. Да и просто об этом мы все наслышаны.

Кратко: придерживаться принятого на данный момент уровня строгости, а если найдут в будущем недостатки, то ничего — поправят.

Если об учебниках, то просто часть материала помещать в приложения к главам, например, связанный с основаниями материал.

[Честно говоря, я не совсем понял смысл вопроса. Если это был флейм, то не обращайте, пожалуйста, на моё сообщение внимание. Я, вроде, написал всем известную истину.]

[GAA]

GAA в сообщении #1593798 писал(а):

Дьедоне

Глюк: должно быть Донеддю.

[Mihr]

GAA в сообщении #1593798 писал(а):

На мой взгляд, пожелание "доказывать всё" плохо именно для школьников

Если Вы говорите о подобной цели, которую мог бы поставить перед собой не в меру усердный школьник, то да, конечно. Я имел в виду нечто другое. Целый ряд теорем (прежде всего, относящихся к началу курса геометрии) выглядит как очевидные утверждения. И школьники нередко "возмущаются": что, мол, тут доказывать, это же и так ясно! Вот тут учитель, как правило, и выдвигает противоположный тезис: вы должны доказывать всё, даже то, что вам кажется очевидным. Именно в таком смысле я говорил о "рекомендации школьнику". Но, конечно, эту рекомендацию практически никто не станет воспринимать совсем уж буквально.

GAA в сообщении #1593798 писал(а):

По поводу «как быть автору?»

Здесь я имел в виду, что для автора учебника подобный тезис ("доказывать всё") не может и не должен иметь никакого значения. Автор самостоятельно ищет оптимальный баланс между строгостью и наглядностью. При этом, конечно, оглядываясь на сложившиеся к моменту написания учебника традиции.

GAA в сообщении #1593798 писал(а):

работа должна быть полезной, а не строгой.

Согласен на 100%. Я тоже об этом как-то высказывался:

Mihr в сообщении #1421904 писал(а):

"Бурбакизация" если где-то и хороша, то точно не в школьном учебнике.

В общем, мне кажется, мы говорим практически об одном и том же, но в несколько различных выражениях.

GAA в сообщении #1593798 писал(а):

я не совсем понял смысл вопроса

Если Вы о вопросе "как быть автору?", то это был вопрос скорее риторический. И с ним достаточно ясно. А других вопросов в том посте я не увидел.

[GAA]

Mihr в сообщении #1593813 писал(а):

Если Вы о вопросе "как быть автору?

Да, об этом. Он меня удивил. Но теперь все разъяснилось. (Ох уж эти риторические вопросы на форуме...)

-- Sat 13.05.2023 22:33:16 --

Mihr в сообщении #1421904 писал(а):

"Бурбакизация" если где-то и хороша, то точно не в школьном учебнике.

"Бурбакизация" — это, грубо говоря, попытка единения всей математики. В идеале хорошо бы, чтобы и физики говорили с математиками на едином языке (и не только физики, но и химики, и…). Естественно, в учебник должен быть помещён поясняющий материал (возможно как-то помеченный), в частности: возможно избыточные графические иллюстрации (поскольку разным людям свойственно разное мышление), иллюстрации из смежных наук (физики, механики, химии), своевременные упражнения, демонстрирующие важность/плодотворность вводимых понятий, или ссылки на материал, который будет изложен позже. Часть материала имеющего малое прикладное значение или излишне прикладное значение можно поместить в приложения и т.п. [Это сделать, конечно, очень сложно: согласовать и написать не косноязычно.]
Чем легче общаться специалистам разных областей — тем лучше, тут польза очевидна.
Но, видимо, я опять не понял Вас.

Оказывается уже есть тема «Учебник геометрии Погорелова» и там обсуждалась аксиоматика.

[Mihr]

(GAA)

GAA в сообщении #1593817 писал(а):

Но, видимо, я опять не понял Вас.

Мне кажется, что слово "бурбакизация" нередко употребляют и в ином смысле. А именно, когда хотят сказать о безудержной погоне за формальной строгостью, за высочайшим уровнем абстрагирования. Вместо того, чтобы опираться на ясные и конкретные "приземлённые" образы. Примеры подобного употребления термина, честно говоря, искать лень, мне проще признать, что я употребил плохо подходящее слово Если это в самом деле так, прошу прощения за то, что уже не в первый раз невольно ввожу Вас в заблуждение

[vpb]

Кстати говоря, существует книжка Погорелова 1969 года, "Элементарная геометрия. Планиметрия.". По-моему, очень приличная книжка. Но она для обычных школьников сложная, а для физматшкол в самый раз. А распространенный учебник --- какой-то очень неудачный дериватив от неё. (То ли оттого, что автор уже немолод был ?).